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函数图像不仅是函数知识中的重要组成部分，而且也是用函数思想和数形结合思想分析与解决问题的前提和载体。因此，在教学过程中要充分运用数形结合这一基本的数学思想，培养学生分析问题与解决问题的能力。在高考总复习时，教师一定要搞好函数图像的巩固与深化，细心解读图形的内涵和外延，提高学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。
一、准确做出函数图像
在数学教学和解题中，教师应要求学生准确做出函数的图像。能准确作图是解决数学问题的前提。为此，学生首先要掌握一些基本函数图像的形状，然后在此基础上“熟能生巧”，进而快速地做出一些常见函数的图像。另外，学生应掌握一些常规的作图方法，如平移变换、对称变换、翻折变换等，这是对函数图像的基本能力要求。
例：函数y=■（x≠0）的反函数的图像大致是（ ）
■
（A） （B）
■
（C） （D）
在教学实践和高考试题中不容易直接考查学生动手作图，多是借助选择题的形式进行这方面的能力考查。本题实际上就是考查学生如何作函数y=■（x≠0）或其反函数的图像。易求得函数y=■（x≠0）的反函数为y=■，其图像可由y=■的图像向左平移一个单位得到，故选B。
二、准确解读函数的图像
在数学教学和解题中，教师还应要求学生准确地解读函数的图像。读图不同于作图之处是要对所给函数图像进行全方位的观察，在此基础上进行信息加工，回答所问。只有准确解读函数的图像，准确把握和运用图像中对于解决问题的有利信息，才能快速准确地解决问题。目前，高考对读图的能力要求较高。
例：为了预防流感，某学校对教室用药物熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含藥量y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（■）t-a（a为常数），如图所示。根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。那么，从药物释放开始，至少需要经过____小时后，学生才能回到教室。
在图像中，我们不难看出：第一段的直线过（0，0）、（0.1，1）两点，易知函数关系式是y=10t。但对于第二段曲线，只需确定一下a值即可，这还要依据图像呈现的信息，即y=（■）t-a过点（0.1，1），容易求得a=0.1。
故（1）y=10t（0≤t≤0.1）（■）■（t>0.1）；
（2）令（■）t-0.1=0.25，则t-0.1=■，所以t=0.6。
三、准确把握函数图像的变形
在数学教学和解题中，教师应要求学生准确地把握图像的变形，熟练地进行函数图像的变换。当然，这方面的试题一般都伴随着对函数性质的考查。变换图形时，我们一定要把握函数图像所展示的规律，依顺序进行，提高准确性，避免盲目性。
例：在同一平面直角坐标系中，函数y=f（x）和y=g（x）的图像关于直线y=x对称，现将y=g（x） 的图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得到的图像是由两条线段组成的折线（如右图所示），则函数
f（x）的表达式为（ ）
A. f（x）=2x+2，-1≤x≤0■+2，0 B. f（x）=2x-2，-1≤x≤0■-2，0 C.f（x）=2x-2，1≤x≤2■+1，2 D. f（x）=2x-6，1≤x≤2■-3，2 此题开始给出图像变换，中间给出图像，最后是求函数式，怎么办呢？我们可先由给定图像，得函数解析式h（x）=■+1（-2≤x≤0）2x+1（0 四、运用函数图像解题
在解决数学问题中，对学生函数图像的能力要求不仅是会作图、会读图、会变图，而且更要会用图。这里所说的用图，意指善于用函数图像来分析与解决问题，强化数形结合的思想意识，准确做出函数的图像，快速解决数学问题。
例：若0 A.2x>3sinx B.2x<3sinx
C.2x=3sinx D.与x的取值有关
要确定两个函数的大小关系，学生们会想到很多种方法，但在众多的解决方法中，运用函数图像直观明了，是解决此题的最好方法。即在同一坐标系中作出函数y=2x和y=3sinx的图像（此略），可知在（0，■）上，y=2x的图像有一部分在y=3sinx的图像上方，有一部分在下方，故正确答案是D。
例：设定义域为R的函数f（x）=|1g|x-1||，x≠1，0，x=1，则关于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解的充要条件是（ ）
A.b<0且c>0 B.b>0且c<0
C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0
此题信息量大，综合性强，必须仔细解读。注意到“充要条件”具有双向可推性，因此不妨先考查特殊情形，如C、D。若c=0，则方程变为f 2（x）+bf（x）=0，即f（x）[f（x）+b]=0。那么，接下来该如何判断此方程的根的个数呢？因函数带绝对值，而且是两层符号，因此可以用函数图像来分析。即先作y=lg|x|的图像，然后将此图像向右平移一个单位得y=lg|x-1|的图像，再将此图像位于x轴下方的部分按“关于x轴对称，向上翻折”得y=|lg|x-1||的图像。显然 f（x）=0有三个根0、1、2，所以要使方程f（x）[f（x）+b]=0有7个根，f（x）+b=0必须有4个根，则由图像直观可知b<0，故正确答案应为C。
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本文从准确做出函数的图像、准确解读函数的图像、准确把握函数图像的变形、运用函数图像解题四个方面阐述了运用函数图像解决高考数学问题的重要性和必要性，这也是数学学习、高考对函数图像能力的基本要求。
（责编 张晶晶）
一、准确做出函数图像
在数学教学和解题中，教师应要求学生准确做出函数的图像。能准确作图是解决数学问题的前提。为此，学生首先要掌握一些基本函数图像的形状，然后在此基础上“熟能生巧”，进而快速地做出一些常见函数的图像。另外，学生应掌握一些常规的作图方法，如平移变换、对称变换、翻折变换等，这是对函数图像的基本能力要求。
例：函数y=■（x≠0）的反函数的图像大致是（ ）
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（A） （B）
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（C） （D）
在教学实践和高考试题中不容易直接考查学生动手作图，多是借助选择题的形式进行这方面的能力考查。本题实际上就是考查学生如何作函数y=■（x≠0）或其反函数的图像。易求得函数y=■（x≠0）的反函数为y=■，其图像可由y=■的图像向左平移一个单位得到，故选B。
二、准确解读函数的图像
在数学教学和解题中，教师还应要求学生准确地解读函数的图像。读图不同于作图之处是要对所给函数图像进行全方位的观察，在此基础上进行信息加工，回答所问。只有准确解读函数的图像，准确把握和运用图像中对于解决问题的有利信息，才能快速准确地解决问题。目前，高考对读图的能力要求较高。
例：为了预防流感，某学校对教室用药物熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含藥量y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（■）t-a（a为常数），如图所示。根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。那么，从药物释放开始，至少需要经过____小时后，学生才能回到教室。
在图像中，我们不难看出：第一段的直线过（0，0）、（0.1，1）两点，易知函数关系式是y=10t。但对于第二段曲线，只需确定一下a值即可，这还要依据图像呈现的信息，即y=（■）t-a过点（0.1，1），容易求得a=0.1。
故（1）y=10t（0≤t≤0.1）（■）■（t>0.1）；
（2）令（■）t-0.1=0.25，则t-0.1=■，所以t=0.6。
三、准确把握函数图像的变形
在数学教学和解题中，教师应要求学生准确地把握图像的变形，熟练地进行函数图像的变换。当然，这方面的试题一般都伴随着对函数性质的考查。变换图形时，我们一定要把握函数图像所展示的规律，依顺序进行，提高准确性，避免盲目性。
例：在同一平面直角坐标系中，函数y=f（x）和y=g（x）的图像关于直线y=x对称，现将y=g（x） 的图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得到的图像是由两条线段组成的折线（如右图所示），则函数
f（x）的表达式为（ ）
A. f（x）=2x+2，-1≤x≤0■+2，0
在解决数学问题中，对学生函数图像的能力要求不仅是会作图、会读图、会变图，而且更要会用图。这里所说的用图，意指善于用函数图像来分析与解决问题，强化数形结合的思想意识，准确做出函数的图像，快速解决数学问题。
例：若0
C.2x=3sinx D.与x的取值有关
要确定两个函数的大小关系，学生们会想到很多种方法，但在众多的解决方法中，运用函数图像直观明了，是解决此题的最好方法。即在同一坐标系中作出函数y=2x和y=3sinx的图像（此略），可知在（0，■）上，y=2x的图像有一部分在y=3sinx的图像上方，有一部分在下方，故正确答案是D。
例：设定义域为R的函数f（x）=|1g|x-1||，x≠1，0，x=1，则关于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解的充要条件是（ ）
A.b<0且c>0 B.b>0且c<0
C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0
此题信息量大，综合性强，必须仔细解读。注意到“充要条件”具有双向可推性，因此不妨先考查特殊情形，如C、D。若c=0，则方程变为f 2（x）+bf（x）=0，即f（x）[f（x）+b]=0。那么，接下来该如何判断此方程的根的个数呢？因函数带绝对值，而且是两层符号，因此可以用函数图像来分析。即先作y=lg|x|的图像，然后将此图像向右平移一个单位得y=lg|x-1|的图像，再将此图像位于x轴下方的部分按“关于x轴对称，向上翻折”得y=|lg|x-1||的图像。显然 f（x）=0有三个根0、1、2，所以要使方程f（x）[f（x）+b]=0有7个根，f（x）+b=0必须有4个根，则由图像直观可知b<0，故正确答案应为C。
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本文从准确做出函数的图像、准确解读函数的图像、准确把握函数图像的变形、运用函数图像解题四个方面阐述了运用函数图像解决高考数学问题的重要性和必要性，这也是数学学习、高考对函数图像能力的基本要求。
（责编 张晶晶）