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【摘要】数学解题教学设计具有系统性，构成它具有三个环节节点：其一，教师要认真独立地解题，尽可能穷尽解决数学问题的所有方法；其二，基于某些目标标准，从教师所获得的解题方案中，选择某一种、或两种解法进行课堂教学设计；其三，设计方案经由课堂教学实施后的反思.通过实例具体说明完善教学设计活动，渗透数学观念的教学目标的途径，实现数学解题教学的价值.
【关键词】数学解题；解题教学；数学观念；教学目标
新一轮课改以来，数学解题教学受到了多项诟病.多数情况下，特别是数学教育理论家认为，解题教学总是教师将解题探究好了的方法与过程直接传递于学生，因而与实现新课程所设置的诸多教学目标失去了联系，甚至于干扰教学这些目标的实现.这些是将某些教师（為数确实不少）的教学（技艺）方式上的一些薄弱环节无端地与解题教学价值（教学目标的内在依据）及其实现混为一谈，这是有失公正的.其实，与数学概念、数学原理一样，数学解题活动是极具创造性的课程资源，甚至于比数学概念原理更具培养学生创造性的教学价值，学生由探究稍微复杂些的数学问题，可以感受到更具直观的体验.问题是，教师必须通过创新的教学设计途径，才能实现这种教学目标.
1数学解题教学设计的课例
一方面，在数学新课程实施过程中，偏重于利用优质数学知识资源，培养受教育者的创新能力，它需要多方面的素材，这些素材中解题活动占有举足轻重的地位；另一方面，不管是有意还是无意，从某种程度上说，数学解题（特别在高考复习时）必定内含了数学教育目标的成分，部分地具有发挥数学教学的指挥棒的功能.因此，解题教学应该有意识地纳入新课程数学教育的评价目标之中，而不能游离于这个体系之外，才能引领数学课程的实施方向[1].本研究通过解题教学设计指向教学目标的实例，旨在纠正数学解题教学落后的手段与教学目标之间混淆与混乱的认识，从而达到厘清解题教学理念的目的.
课例 （2016年全国高考天津卷·理21·Ⅱ问）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b①，其中x∈R，a>0.若f（x）存在极值点x0②，且f（x1）=f（x0）③，其中x1≠x0④，求证：x1 2x0=3⑤.
教学方案1师：在过去的解题教学活动中，已经生成的解题经验是：问题的解决总是从问题的条件产生结论的.对这个问题，同学们有什么想法？
生1：在这四项条件中，条件③应该是起着主导性作用的条件，因为通过它可以将其他条件集中起来[2].因此，可以从条件③入手：
由条件③与条件①，知（x0-1）3-ax0-b=（x1-1）3-ax1-b，知（x0-1）3-（x1-1）3 a（x1-x0）=0，知（x0-x1）[（x0-1）2 （x0-x1）（x0 x1） （x1-1）2]-a（x0-x1）=0，知（x0-x1）{[（x0-1）2 （x0-x1）（x0 x1） （x1-1）2]-a}=0⑥，……
师：哪位同学就生1中断的思路提出新的想法，从而提供思维活动展开的动力？
生2：结论⑤作为解题的目标，它一定隐含在等式⑥中，如何从等式⑥导出结论⑤，发现应该消去等式⑥中一个与结论⑤无关的元素a.由条件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，即a=3（x0-1）2，代入⑥，知（x0-x1）{[（x0-1）2 （x0-x1）（x0 x1） （x1-1）2]-3（x0-1）2}=0，知（x0-x1）[（x1-1）2 （x0-x1）（x0 x1）-2（x0-1）2]=0，继续分解因式，知（x0-x1）2（x1 2x0-3）=0 ，由条件④，知x1 2x0-3=0，知结论⑤成立.
师：大家从生1与生2同学合作所得到的这种解法中，可以获得哪些有价值的东西？
生3：问题的条件具有层级性，在解题时，必须通过试探与选择，确定主导性条件，由此启动思维，逐步将辅助性条件纳入解题的思路中，这些构成了解题思路的关键性的环节.
生4：问题的结论在解题活动中始终具有指向性作用，在探究解题思路时，结论的指向性作用可以提示着某些数学观念的生成，从而在这种观念指导下展开新的思维活动.
教学方案2师：生4同学对方案1中的收获的要旨是有价值的.更有甚者，在探究解题思维活动的思路中，我们也可以将结论转化为条件，从而将综合性的思维活动转化为分析性的思维活动，以此可以提高了解题的效率[3].对于本例，我们也可以运用这种观念吗？
生5：在“如何运用题设条件f（x1）=f（x0）③”时，这个等式中有两个自变量x1与x0，使我感到特别不舒服.我想通过消元化去一个自变量，将条件③这个等式中的自变量变成一个，肯定对问题的解决有帮助，但是……
师：生5提出了一种有价值的消元的观念.如何消元？
生6：考虑到结论⑤，知x1=3-2x0.于是，将x0与x1=3-2x0代入①，得f（3-2x0）=8（1-x0）3-a（2-3x0）-b⑦，f（x0）=（x0-1）3-ax0-b⑧，……
师：怎么办？
生7：由于计算复杂，我没有完成计算过程.
师：可以找到途径简化计算过程吗？
生8：考虑简化（x0-1）3的计算.由条件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，知（x0-1）2=a3，将其分别代入⑦、⑧，化简，得f（3-2x0）=-2a3x0-a3-b，f（x0）=-2a3x0-a3-b，从而，知f（x0）=f（3-2x0）⑨，由于3-2x0≠x0（否则a=3（x0-1）2=0，与条件a>0矛盾），于是，可设3-2x0=x1⑩，从而结论⑤成立.
师：通过生6与生8同学合作的这种解法，你获得哪些有价值的东西？
生9：问题的条件与结论是可以转化的一对矛盾.在探究解题思路时，往往将结论转化为条件，参与条件的计算或推理，使我们更容易启动思维，获得思路.
【关键词】数学解题；解题教学；数学观念；教学目标
新一轮课改以来，数学解题教学受到了多项诟病.多数情况下，特别是数学教育理论家认为，解题教学总是教师将解题探究好了的方法与过程直接传递于学生，因而与实现新课程所设置的诸多教学目标失去了联系，甚至于干扰教学这些目标的实现.这些是将某些教师（為数确实不少）的教学（技艺）方式上的一些薄弱环节无端地与解题教学价值（教学目标的内在依据）及其实现混为一谈，这是有失公正的.其实，与数学概念、数学原理一样，数学解题活动是极具创造性的课程资源，甚至于比数学概念原理更具培养学生创造性的教学价值，学生由探究稍微复杂些的数学问题，可以感受到更具直观的体验.问题是，教师必须通过创新的教学设计途径，才能实现这种教学目标.
1数学解题教学设计的课例
一方面，在数学新课程实施过程中，偏重于利用优质数学知识资源，培养受教育者的创新能力，它需要多方面的素材，这些素材中解题活动占有举足轻重的地位；另一方面，不管是有意还是无意，从某种程度上说，数学解题（特别在高考复习时）必定内含了数学教育目标的成分，部分地具有发挥数学教学的指挥棒的功能.因此，解题教学应该有意识地纳入新课程数学教育的评价目标之中，而不能游离于这个体系之外，才能引领数学课程的实施方向[1].本研究通过解题教学设计指向教学目标的实例，旨在纠正数学解题教学落后的手段与教学目标之间混淆与混乱的认识，从而达到厘清解题教学理念的目的.
课例 （2016年全国高考天津卷·理21·Ⅱ问）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b①，其中x∈R，a>0.若f（x）存在极值点x0②，且f（x1）=f（x0）③，其中x1≠x0④，求证：x1 2x0=3⑤.
教学方案1师：在过去的解题教学活动中，已经生成的解题经验是：问题的解决总是从问题的条件产生结论的.对这个问题，同学们有什么想法？
生1：在这四项条件中，条件③应该是起着主导性作用的条件，因为通过它可以将其他条件集中起来[2].因此，可以从条件③入手：
由条件③与条件①，知（x0-1）3-ax0-b=（x1-1）3-ax1-b，知（x0-1）3-（x1-1）3 a（x1-x0）=0，知（x0-x1）[（x0-1）2 （x0-x1）（x0 x1） （x1-1）2]-a（x0-x1）=0，知（x0-x1）{[（x0-1）2 （x0-x1）（x0 x1） （x1-1）2]-a}=0⑥，……
师：哪位同学就生1中断的思路提出新的想法，从而提供思维活动展开的动力？
生2：结论⑤作为解题的目标，它一定隐含在等式⑥中，如何从等式⑥导出结论⑤，发现应该消去等式⑥中一个与结论⑤无关的元素a.由条件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，即a=3（x0-1）2，代入⑥，知（x0-x1）{[（x0-1）2 （x0-x1）（x0 x1） （x1-1）2]-3（x0-1）2}=0，知（x0-x1）[（x1-1）2 （x0-x1）（x0 x1）-2（x0-1）2]=0，继续分解因式，知（x0-x1）2（x1 2x0-3）=0 ，由条件④，知x1 2x0-3=0，知结论⑤成立.
师：大家从生1与生2同学合作所得到的这种解法中，可以获得哪些有价值的东西？
生3：问题的条件具有层级性，在解题时，必须通过试探与选择，确定主导性条件，由此启动思维，逐步将辅助性条件纳入解题的思路中，这些构成了解题思路的关键性的环节.
生4：问题的结论在解题活动中始终具有指向性作用，在探究解题思路时，结论的指向性作用可以提示着某些数学观念的生成，从而在这种观念指导下展开新的思维活动.
教学方案2师：生4同学对方案1中的收获的要旨是有价值的.更有甚者，在探究解题思维活动的思路中，我们也可以将结论转化为条件，从而将综合性的思维活动转化为分析性的思维活动，以此可以提高了解题的效率[3].对于本例，我们也可以运用这种观念吗？
生5：在“如何运用题设条件f（x1）=f（x0）③”时，这个等式中有两个自变量x1与x0，使我感到特别不舒服.我想通过消元化去一个自变量，将条件③这个等式中的自变量变成一个，肯定对问题的解决有帮助，但是……
师：生5提出了一种有价值的消元的观念.如何消元？
生6：考虑到结论⑤，知x1=3-2x0.于是，将x0与x1=3-2x0代入①，得f（3-2x0）=8（1-x0）3-a（2-3x0）-b⑦，f（x0）=（x0-1）3-ax0-b⑧，……
师：怎么办？
生7：由于计算复杂，我没有完成计算过程.
师：可以找到途径简化计算过程吗？
生8：考虑简化（x0-1）3的计算.由条件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，知（x0-1）2=a3，将其分别代入⑦、⑧，化简，得f（3-2x0）=-2a3x0-a3-b，f（x0）=-2a3x0-a3-b，从而，知f（x0）=f（3-2x0）⑨，由于3-2x0≠x0（否则a=3（x0-1）2=0，与条件a>0矛盾），于是，可设3-2x0=x1⑩，从而结论⑤成立.
师：通过生6与生8同学合作的这种解法，你获得哪些有价值的东西？
生9：问题的条件与结论是可以转化的一对矛盾.在探究解题思路时，往往将结论转化为条件，参与条件的计算或推理，使我们更容易启动思维，获得思路.