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定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的. 它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程. 注意实际应用问题，注意导数和其它函数问题的结合. 运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分利用定积分的性质化简后再求解.
求定积分
例1 由直线[x=-π3，x=π3，y=0]与曲线[y=cosx]所围成的封闭图形的面积为（ ）
A.[12] B.1 C.[32] D.[3]
分析 找出[f（x）=cosx]的原函数为[F（x）=sinx]，从而解题.
解法一 由定积分知识可得，
[S=-π3π3cosxdx=sinx|π3-π3=32-（-32）=3].
解法二 余弦函数是偶函数，根据对称性得，
[S=20π3cosxdx=2sinx|π30=3].
答案 D
点拨 应用奇偶函数的对称性可以简化运算.
变式1 求[02|x2-1|dx].
分析 [y=|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1]是分段函数，各段分别积分再求和.
解析 [∵0≤x≤2，∴|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1.]
[∴02|x2-1|dx=01（1-x2）dx+12（x2-1）dx]
[=（x-13x3）|10+（13x3-x）|21=2.]
点拨 与绝对值有关的函数均可化为分段函数.分段函数在区间[[a，b]]上的积分可分成几段积分的和的形式.
变式2 计算下列定积分：
（1） [121x2+2xdx]; （2）[π20sin2x2dx].
分析 （1）只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差;（2）我们要直接求[sin2x2]的原函数比较困难，但我们可以将[sin2x2]先变形为[1-cosx2=12-12cosx]，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果.
解 （1）[121x2+2xdx][=12121x-1x+2dx]
[=12lnx21-ln（x+2）21=12（ln3-ln2）.]
（2） [π20sin2x2dx=π201-cosx2dx]
[=π2012dx-12π20cosxdx=12x|π20-12sinx|π20]
[=π4-12.]
点拨 本题第（1）问由[121x2+2xdx]想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.
求平面图形的面积的
求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形;（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限;（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置;（4）写出平面图形面积的定积分的表达式;（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.
例2 求[y2=x]与[x-2y-3=0]所围图形的面积.
解法一 先求出抛物线与直线的交点[P（1，-1）]与[Q（9，3）]，如图把所求面积的平面图形分成[S1，S2]两部分，分别求得它们的面积.
[A1=01[x-（-x）]dx]=2[01xdx]=[43].
[A2=19（x-x-32）dx=283].
所以[S=43+][283][=1023].
解法二 本题也可把抛物线与直线方程写成[x=y2=g1（y），x=2y+3=g2（y）]， 应用公式对[y]求积分可得，
[S=-13[g2（y）-g1（y）]dy][=-13[（2y+3）-y2]dy][=1023].
点拨 求解时要灵活选择坐标系，积分变量. 由图形特点，适当选取积分变量对计算有很大影响，显然上述解法二简洁.
例3 函数[f（x）=sin（ωx+φ）]的导 函数[y=f（x）]的部分图象如图所示，其中，P为图象与[y]轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
（1）若[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]），则[ω=] ;
（2）若在曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域内随机取一点，则该点在[△ABC]内的概率为 .
分析 根据定积分知识求出曲边图形的面积，注意复合函数求导问题.
解 （1）[y=f（x）][=ωcos（ωx+φ）]，当[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]）时， [ωcosπ6=332，∴ω=3].
（2）由图知，[AC=T2=2πω2=πω，][S△ABC=12AC?ω=π2.]
设[A，B]的横坐标分别为[a，b]，
曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域的面积为[S].
[S=abf（x）dx=f（x）ba=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2.]
由几何概型知，该点在[△ABC]内的概率为
[P=S△ABCS=π22=π4].
点拨 本题考查三角函数的图象与性质、几何概型等. （1）利用点[P]在图象上求[ω]，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.<F：＼高中生2015＼学法指导＼2015-5-高二0＼Image＼image68.png>
例4 在区间[0，1]上给定曲线[y=x2]，试在此区间内确定点[t]的值，使图中的阴影部分的面积[S1]与[S2]之和最小，并求最小值.
分析 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值.
解 [S1]的面积等于边长为[t]，[t2]的矩形面积去掉曲线[y=x2]与[x]轴、直线[x=t]所围成的面积，即[S1=t?t2-0tx2dx=23t3].
[S2]的面积等于曲线[y=x2]与[x]轴，[x=t，x=1]围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为[t2]，[1-t]，即[S2=t1x2dx-t2?（1-t）=23t3-t2+13].
所以阴影部分面积[S=S1+S2=43t3-t2+13（0≤t≤1）.]
令[S=4t2-2t=4t（t-12）（0≤t≤1）]，
[S=4t（t-12）=0，则t=0或t=12].
[t=0时，S=13;t=12时，S=14;t=1时，S=23].
所以当[t=12]时，[S]最小，且最小值为[14].
点拨 本题先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于定积分的题境中.
求定积分
例1 由直线[x=-π3，x=π3，y=0]与曲线[y=cosx]所围成的封闭图形的面积为（ ）
A.[12] B.1 C.[32] D.[3]
分析 找出[f（x）=cosx]的原函数为[F（x）=sinx]，从而解题.
解法一 由定积分知识可得，
[S=-π3π3cosxdx=sinx|π3-π3=32-（-32）=3].
解法二 余弦函数是偶函数，根据对称性得，
[S=20π3cosxdx=2sinx|π30=3].
答案 D
点拨 应用奇偶函数的对称性可以简化运算.
变式1 求[02|x2-1|dx].
分析 [y=|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1]是分段函数，各段分别积分再求和.
解析 [∵0≤x≤2，∴|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1.]
[∴02|x2-1|dx=01（1-x2）dx+12（x2-1）dx]
[=（x-13x3）|10+（13x3-x）|21=2.]
点拨 与绝对值有关的函数均可化为分段函数.分段函数在区间[[a，b]]上的积分可分成几段积分的和的形式.
变式2 计算下列定积分：
（1） [121x2+2xdx]; （2）[π20sin2x2dx].
分析 （1）只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差;（2）我们要直接求[sin2x2]的原函数比较困难，但我们可以将[sin2x2]先变形为[1-cosx2=12-12cosx]，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果.
解 （1）[121x2+2xdx][=12121x-1x+2dx]
[=12lnx21-ln（x+2）21=12（ln3-ln2）.]
（2） [π20sin2x2dx=π201-cosx2dx]
[=π2012dx-12π20cosxdx=12x|π20-12sinx|π20]
[=π4-12.]
点拨 本题第（1）问由[121x2+2xdx]想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.
求平面图形的面积的
求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形;（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限;（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置;（4）写出平面图形面积的定积分的表达式;（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.
例2 求[y2=x]与[x-2y-3=0]所围图形的面积.
解法一 先求出抛物线与直线的交点[P（1，-1）]与[Q（9，3）]，如图把所求面积的平面图形分成[S1，S2]两部分，分别求得它们的面积.
[A1=01[x-（-x）]dx]=2[01xdx]=[43].
[A2=19（x-x-32）dx=283].
所以[S=43+][283][=1023].
解法二 本题也可把抛物线与直线方程写成[x=y2=g1（y），x=2y+3=g2（y）]， 应用公式对[y]求积分可得，
[S=-13[g2（y）-g1（y）]dy][=-13[（2y+3）-y2]dy][=1023].
点拨 求解时要灵活选择坐标系，积分变量. 由图形特点，适当选取积分变量对计算有很大影响，显然上述解法二简洁.
例3 函数[f（x）=sin（ωx+φ）]的导 函数[y=f（x）]的部分图象如图所示，其中，P为图象与[y]轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
（1）若[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]），则[ω=] ;
（2）若在曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域内随机取一点，则该点在[△ABC]内的概率为 .
分析 根据定积分知识求出曲边图形的面积，注意复合函数求导问题.
解 （1）[y=f（x）][=ωcos（ωx+φ）]，当[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]）时， [ωcosπ6=332，∴ω=3].
（2）由图知，[AC=T2=2πω2=πω，][S△ABC=12AC?ω=π2.]
设[A，B]的横坐标分别为[a，b]，
曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域的面积为[S].
[S=abf（x）dx=f（x）ba=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2.]
由几何概型知，该点在[△ABC]内的概率为
[P=S△ABCS=π22=π4].
点拨 本题考查三角函数的图象与性质、几何概型等. （1）利用点[P]在图象上求[ω]，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.<F：＼高中生2015＼学法指导＼2015-5-高二0＼Image＼image68.png>
例4 在区间[0，1]上给定曲线[y=x2]，试在此区间内确定点[t]的值，使图中的阴影部分的面积[S1]与[S2]之和最小，并求最小值.
分析 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值.
解 [S1]的面积等于边长为[t]，[t2]的矩形面积去掉曲线[y=x2]与[x]轴、直线[x=t]所围成的面积，即[S1=t?t2-0tx2dx=23t3].
[S2]的面积等于曲线[y=x2]与[x]轴，[x=t，x=1]围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为[t2]，[1-t]，即[S2=t1x2dx-t2?（1-t）=23t3-t2+13].
所以阴影部分面积[S=S1+S2=43t3-t2+13（0≤t≤1）.]
令[S=4t2-2t=4t（t-12）（0≤t≤1）]，
[S=4t（t-12）=0，则t=0或t=12].
[t=0时，S=13;t=12时，S=14;t=1时，S=23].
所以当[t=12]时，[S]最小，且最小值为[14].
点拨 本题先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于定积分的题境中.