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学生在数学解题时，我们能看到给出的题目和他们给出的解答结果。从解答过程中，我们可以了解到学生在解题过程中应用的一些知识和方法，但我们不能从所给的解答中完全了解实际的解题过程。当我们在观察解题过程时也可看到学生的一些行为反应以及情绪反应，有时还可见到他们自言自语的现象，可见从学生接受问题到提供解答结果之间，其心理活动和思维活动是相当复杂的。目前已有大量实验和理论研究探讨过这些复杂的心理过程，且对解题行为已有相当程度的了解。这里，我们仅对解题过程中的两个重要环节作些简要的心理分析。
一、理解问题的过程
解题的第一步是理解问题。当学生面对数学问题时，首先阅读它，通过感知题目的条件和目标，在头脑中形成有关问题初始状态的表象（问题表象）。现代认识心理学家把这一过程称之为问题表征。表征是解题的一个中心环节，它说明问题与学生认知结构是如何联系的，在学生头脑里是如何呈现的，又是如何表现出来的。
一般说来，教师提出问题的同时就确定了一个任务领域，而学生接受（感知）任务之后，在头脑中形成的问题表象不一定与之一致，而这种不一致的效果是惊人的，它直接影响到解决问题的方法和处理问题的难度。例如：对于问题“把数1、2、3……一直到100连加起来”，不同的学生接受的是同一任务，但在各自的大脑中这个任务可能已经不同了，有人认为解题任务就是做连加法，而有的人头脑中的任务是求形如“（1 100） （2 99） … （50 51）”的一些数的和，前者需要进行彼此不同的99次加法运算，因而解题需要的时间长且容易产生解题错误，而后者需要进行的是求50个相同加数（101）的和，运用乘法101x50很容易得出正确答案。由此可见，对于同一任务领域，学生在头脑中建立起来的内部表征以及表征的方式可能各不相同，而这种差别正是数学能力的差别的一种反映。因此，问题表征在解题过程中具有十分重要的作用。
任何一个数学问题，总是包含着已知的元素和条件，要求的对象，指定的运算初始的状态，中间变化状态和最终状态等信息。对零乱信息的收集不等于理解了问题，还必须在信息之间建立有机联系，形成一个有意义的整体，这便是信息的组织与分工。建立问题表征，就是观察问题特征，联想相关的知识，将问题信息加以编码和加工，以获得对问题较全面的理解。这是解题中的一个重要过程，是学生从问题陈述到产生关于问题的内部表征不断变化的认知过程。通常对题意的理解有不同的水平层次，也不是一次完成的，一般都要有一个逐步积累逐步深入的过程，逐渐形成对问题的全面而深刻的认识，这往往贯穿在解题思维过程的始终，甚至在解题任务完成后还可能对题意产生新的理解。
对于算法式题，建立正确的内部表征是最主要的智力活动。例如， 。这里已知信息是给出的等式及根式的概念（这信息是隐含的），简单地应用这些信息还不能获得解题的方法，还必须对这些信息进行加工——把根式的性质和被开方数联系起来，得到3x-2≥0,且2-3x≥0，即建立起正确的内部表征，问题的解答只需由不等式组解出x，进而求出y和x y的值，这一过程是很容易完成的。
问题表征有各种各样的方式，每一形式的表征依赖于个体不同的知识和经验，而且可引出不同的知识和策略，得出问题的不同解法。人们在解答复杂的数学问题时，并不是只靠单一形式的表征，往往是选用表征形式来表述问题，直至最后解出。但对于某一特定的数学问题，某一方式的表征可能比其他种形式的表征更起作用，因为实用的表征能唤起长时记忆中的不同事实和程序，结果会影响解题成功的可能性。例如，历史上格尼斯堡七桥问题，有类似的各种不同的表征方式，只有欧拉斯形成的表征才是成功地解决问题的唯一表征。现在再看一个与中学数学有关的问题。
例：为赴北京考察学习，思诚小朋友的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆小轿车(平均速度为60千米／时)从家里出发赶往距家45千米的重庆江北机场，此时，距规定到达机场的时间仅剩90分钟。7点30分时思诚小朋友发现爸爸忘了带身份证，急忙通知爸爸返同，同时他乘坐出租车以40千米／时的平均速度直奔机场(打电话和上出租车的时间忽略不计)，与此同时，爸爸接到通知后继续往机场方向行驶了5分钟后返回，结果不到30分钟就遇上了思诚(拿身份证的时间忽略不计)，并立即赶赴机场，请问：思诚的爸爸能否在规定的时间内赶到机场？
由此易得欲求证之结论。
证法二：由图形特点试用翻折方法，可充分利用三角形内角平分线性质，如图3，以OP为轴，将△POQ进行翻折，可得：
由① ②易得欲求证之结论。
证法四：用面积法证明。
由此易得欲求证之结论。
证法五：用数形结合方式来证明，如图5
则有P（a,0）,
从上述简略的思路分析中可以看出,一定的策略与相应的知识相结合才有可能发现相应的解法。
在发现解法的过程中，有些问题一出现在我们面前，就能通过问题的已知信息轻易地联想起相应的知识和解法程序。但另一些问题则不同，需经历一系列甚至艰苦的探索过程，而探索的方式有试误式、顿悟式两种。所谓试误式，是对由知识与策略的作用产生的解题途径进行尝试，纠正尝试中的错误，直到发现解题途径。这种方式在中学生中较为常见。在发现解法的过程中，学生一般是进行无定向的尝试，根据头脑中形成的假想进行检验，却不知道能否达到目的，或许一开始，考虑问题的方向就出错了，不得不变换方式重新思考，放弃一些想法或吸收一些新的想法，在多次无效尝试后，思路才走上正轨，得以发现解题途径，试误成功；所谓顿悟式指经过长时间的思考，由于受到某种情境的启发而突然出现灵感，一个仿佛偶然的想法瞬时冒将出来，问题便很快得以解决。顿悟式解题要求问题的初始状态和目标状态与学生的经验、认知结构有着非人为的、实质性的联系，这种联系建立得越牢固，顿悟越容易产生，它是直觉思维能力在解题过程中的体现。
我们应清晰地认识到：尝试错误与顿悟并不能绝对分开。在同一探索过程中，这两种方式常交替进行，相互补充。波利亚的解题教学思想中，提出了一系列一般性的解题建议，正是为了减少试误的次数，促使顿悟的产生，形成系统的解题计划。
（作者电话：13883900066；信箱：gcl_1956@126.com）
一、理解问题的过程
解题的第一步是理解问题。当学生面对数学问题时，首先阅读它，通过感知题目的条件和目标，在头脑中形成有关问题初始状态的表象（问题表象）。现代认识心理学家把这一过程称之为问题表征。表征是解题的一个中心环节，它说明问题与学生认知结构是如何联系的，在学生头脑里是如何呈现的，又是如何表现出来的。
一般说来，教师提出问题的同时就确定了一个任务领域，而学生接受（感知）任务之后，在头脑中形成的问题表象不一定与之一致，而这种不一致的效果是惊人的，它直接影响到解决问题的方法和处理问题的难度。例如：对于问题“把数1、2、3……一直到100连加起来”，不同的学生接受的是同一任务，但在各自的大脑中这个任务可能已经不同了，有人认为解题任务就是做连加法，而有的人头脑中的任务是求形如“（1 100） （2 99） … （50 51）”的一些数的和，前者需要进行彼此不同的99次加法运算，因而解题需要的时间长且容易产生解题错误，而后者需要进行的是求50个相同加数（101）的和，运用乘法101x50很容易得出正确答案。由此可见，对于同一任务领域，学生在头脑中建立起来的内部表征以及表征的方式可能各不相同，而这种差别正是数学能力的差别的一种反映。因此，问题表征在解题过程中具有十分重要的作用。
任何一个数学问题，总是包含着已知的元素和条件，要求的对象，指定的运算初始的状态，中间变化状态和最终状态等信息。对零乱信息的收集不等于理解了问题，还必须在信息之间建立有机联系，形成一个有意义的整体，这便是信息的组织与分工。建立问题表征，就是观察问题特征，联想相关的知识，将问题信息加以编码和加工，以获得对问题较全面的理解。这是解题中的一个重要过程，是学生从问题陈述到产生关于问题的内部表征不断变化的认知过程。通常对题意的理解有不同的水平层次，也不是一次完成的，一般都要有一个逐步积累逐步深入的过程，逐渐形成对问题的全面而深刻的认识，这往往贯穿在解题思维过程的始终，甚至在解题任务完成后还可能对题意产生新的理解。
对于算法式题，建立正确的内部表征是最主要的智力活动。例如， 。这里已知信息是给出的等式及根式的概念（这信息是隐含的），简单地应用这些信息还不能获得解题的方法，还必须对这些信息进行加工——把根式的性质和被开方数联系起来，得到3x-2≥0,且2-3x≥0，即建立起正确的内部表征，问题的解答只需由不等式组解出x，进而求出y和x y的值，这一过程是很容易完成的。
问题表征有各种各样的方式，每一形式的表征依赖于个体不同的知识和经验，而且可引出不同的知识和策略，得出问题的不同解法。人们在解答复杂的数学问题时，并不是只靠单一形式的表征，往往是选用表征形式来表述问题，直至最后解出。但对于某一特定的数学问题，某一方式的表征可能比其他种形式的表征更起作用，因为实用的表征能唤起长时记忆中的不同事实和程序，结果会影响解题成功的可能性。例如，历史上格尼斯堡七桥问题，有类似的各种不同的表征方式，只有欧拉斯形成的表征才是成功地解决问题的唯一表征。现在再看一个与中学数学有关的问题。
例：为赴北京考察学习，思诚小朋友的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆小轿车(平均速度为60千米／时)从家里出发赶往距家45千米的重庆江北机场，此时，距规定到达机场的时间仅剩90分钟。7点30分时思诚小朋友发现爸爸忘了带身份证，急忙通知爸爸返同，同时他乘坐出租车以40千米／时的平均速度直奔机场(打电话和上出租车的时间忽略不计)，与此同时，爸爸接到通知后继续往机场方向行驶了5分钟后返回，结果不到30分钟就遇上了思诚(拿身份证的时间忽略不计)，并立即赶赴机场，请问：思诚的爸爸能否在规定的时间内赶到机场？
由此易得欲求证之结论。
证法二：由图形特点试用翻折方法，可充分利用三角形内角平分线性质，如图3，以OP为轴，将△POQ进行翻折，可得：
由① ②易得欲求证之结论。
证法四：用面积法证明。
由此易得欲求证之结论。
证法五：用数形结合方式来证明，如图5
则有P（a,0）,
从上述简略的思路分析中可以看出,一定的策略与相应的知识相结合才有可能发现相应的解法。
在发现解法的过程中，有些问题一出现在我们面前，就能通过问题的已知信息轻易地联想起相应的知识和解法程序。但另一些问题则不同，需经历一系列甚至艰苦的探索过程，而探索的方式有试误式、顿悟式两种。所谓试误式，是对由知识与策略的作用产生的解题途径进行尝试，纠正尝试中的错误，直到发现解题途径。这种方式在中学生中较为常见。在发现解法的过程中，学生一般是进行无定向的尝试，根据头脑中形成的假想进行检验，却不知道能否达到目的，或许一开始，考虑问题的方向就出错了，不得不变换方式重新思考，放弃一些想法或吸收一些新的想法，在多次无效尝试后，思路才走上正轨，得以发现解题途径，试误成功；所谓顿悟式指经过长时间的思考，由于受到某种情境的启发而突然出现灵感，一个仿佛偶然的想法瞬时冒将出来，问题便很快得以解决。顿悟式解题要求问题的初始状态和目标状态与学生的经验、认知结构有着非人为的、实质性的联系，这种联系建立得越牢固，顿悟越容易产生，它是直觉思维能力在解题过程中的体现。
我们应清晰地认识到：尝试错误与顿悟并不能绝对分开。在同一探索过程中，这两种方式常交替进行，相互补充。波利亚的解题教学思想中，提出了一系列一般性的解题建议，正是为了减少试误的次数，促使顿悟的产生，形成系统的解题计划。
（作者电话：13883900066；信箱：gcl_1956@126.com）