摘要：为探讨2017年江苏高考理科数学第12题的多种解法，本文通过分析平面向量的本质，阐述了从数和形的角度来解决本例的几何法和代数法，总结了平面向量问题的通性通法。
　　关键词：平面向量；通性通法；几何法；代数法
　　首先看一道高考题：
　　2017江苏，理12.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°。若OC=mOA nOB（m，n∈R），则m n=。
　　下面来看本题给出的标准解答：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根据向量的分解，
　　易得ncos45° mcosα=2
　　nsin45°-msinα=0，即
　　22n 210m=2
　　22n-7210m=0，即5n m=105n-7m=0。即得m=54，n=74，所以m n=3。
　　对本题的再回顾本题考查的知识点是平面向量的表示。平面向量既有“数”的特征又有“形”的特征，是“数”与“形”的完美结合。因此，能否从“数”与“形”的角度来思考本题呢？也就是说，解决平面向量问题的通性通法是什么呢？如果理清了这个问题，那么所有有关平面向量的一类问题都可以寻找到一个突破口，进而得到解答。下面以这一道高考题为例，笔者谈一谈这个通性通法。
　　在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。笔者认为包含两个方面的含义：第一是从某一个知识出发引出的若干思考；其次是解决一类问题的一般思维出发点。理解通性通法的本质，其实就是吃透知识点的本质。题目仅仅是知识点的载体，就像我们说平面向量是数和形的载体一样，平面向量的本质就是数和形。从数的角度看，解决平面向量的方法就是建立平面直角坐标系，用坐标表示有关向量，进而进行坐标运算，从而解决问题；从形的角度看，平面向量沟通了平面几何，可以用解决平面几何问题的方法解决它。
　　从形的角度看本题条件，OC=mOA nOB（m，n∈R），这个条件可以理解为向量的加法，自然就可以考虑到平行四边形法则，从而产生了该题的几何法：
　　作平行四边形OMCN，其中OM=mOA，ON=nOB
　　易得|OM|=|NC|=m，|ON|=n
　　∵OC=2，则在△OCN中，由正弦定理
　　2sin∠ONC=nsinα=msin45°
　　即2sinα 45°=nsinα=msin45°
　　又tanα=7，∴α为锐角
　　∴sinα=750，cosα=150
　　∴sinα 45°=45
　　可得m=54，n=74，∴m n=3
　　从数的角度看本题条件，OC=mOA nOB（m，n∈R），这个条件可以理解为向量的基底表示，而基底又产生了坐标，所以可以建立平面直角坐标系来表示OA，OB，OC的坐标，然后用坐标运算解决，这就是这道题目的代数法：以O為原点，以OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易得
　　A（1，0），B（cos（α 45°），sin（α 45°）），C（2cosα，2sinα）
　　即B-35，45，C15，75
　　由OC=mOA nOB
　　∴15，75=m1，0 n-35，45
　　∴m=54
　　n=74∴m n=3
　　另外，考虑到本题条件有向量的模和夹角，所以还可以考虑用向量的数量积，得到另外的解法：
　　由OC=mOA nOB，将该式两边同时乘OA和OB
　　得
　　OC·OA=mOA·OA nOB·OA
　　OC·OB=mOA·OB nOB·OB
　　∴2cosα=m ncos（α 45°）
　　2cos45°=mcos（α 45°） n
　　∴15=m-35n
　　1=-35m n∴m=54
　　n=74∴m n=3
　　由此可见，平面向量作为数和形的载体，处理这一类问题的通性通法无外乎几何法（基底表示）和代数法（坐标法）。
　　参考文献：
　　[1]黄耿跃.向量思想方法及其应用研究[D].福建师范大学，2008.
　　[2]曹金明.高中数学课程中向量教学研究[D].西北师范大学，2004.
　　作者简介：
　　曹东方，福建省泉州市第七中学。