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“换位思考”即是通过变换角度或位置的方式去思考、理解和解决问题.数学课堂教学中的换位思考是指在课堂教学过程中，教师把自己置于学生的位置来认识体验、思考问题，用学生的眼光去审视教学内容，即教师还要扮演学生的角色，从而成为学生探究知识道路上的合作者.
在新课程标准下，相对原来的教学大纲，教学目标阐述的角度及落脚点发生了根本变化.以前，教学目标是从教师“教”的角度提出来的，规定的是教什么，如何教，缺乏对学生学习过程的关注；现在，课程标准直接从学生“学”的角度提出，以学生为主体，直接指向学生学习活动本身，关注的焦点是学什么，怎么学，学的如何.这就要求在实施教学过程中教师一方面扮演“教”的角色，成为学生学习知识、探究知识的引路人；另一方面就是要换位思考，只有站在学生的角度去思考，才能使师生在情感上达到共鸣，教师才会具有针对性、灵活性和教育性，从而使学生的知识和能力达到和谐发展.那么教师在数学课堂教学中如何实现换位思考呢？下面举例说明.
1 想学生之所想
在教学过程中，学生的思维是怎样的，在想什么？这是我们教师应当考虑的.这需要教师在备课中要先做好预设.学生未表露出自己的想法时，教师要洞察其心理，及时探测和巧妙地点出其想法，更好地实现与他们心理上的沟通.只有想学生之所想，教师才能在教学中随时把握住学生思维的脉搏，更好地实现与他们心理上的沟通，开启学生的数学思维，使学生对要学习的知识能有较为深刻的认识和理解.
案例1 已知m∈R，圆C：x2 y2-2mx 2（m-1）y 2m2-2m 12=0.
（1）求证：圆C的圆心必在一条直线上；
（2）若圆C与某定直线相切，求此直线的方程.
对于（1），学生易知圆C：（x-m）2 [y （m-1）]2=12，半径为22，圆心C（m，1-m）必在直线x y=1上.
核心问题是（2），有以下教学过程.
生1：已知圆C与一条定直线相切，那么圆心C（m，1-m）到该直线的距离等于圆的半径，若设所求直线的方程为y=kx b，那么可以得出km-m-1 mk2 1=22，对于任意m均成立.两边同时平方得
k2 1=2[（k 1）2m2 （b-1）2 2（k 1）m（b-1）].①
此式对于任意实数m均成立.
师（感到与自己的思路相差甚远，有些不耐烦）：你的思路看起来是正确的，可你怎么知道所求直线的斜率一定存在？且①式过于繁杂，含有k，b，m三个字母，欲想由此求得k的值，何其难也，你把简单问题复杂化了！请其他同学思考，能否找到比较简捷的解法.
（教师的这番言语大大挫伤了生1的积极性，后来虽然有学生给出了比较理想的解法，但心情沮丧的生1却久久缓不过神来，其他学生也“吸取教训，以后再发言可要谨慎了，弄得不好会立即遭到教师的彻底否定”，不如干脆说“不会”，等待教师的“喂饲”.这是课堂上常见的一种“状况”，笔者认为否定不如引导、堵塞不如疏浚，最好的办法则是“解铃还须系铃人”，给生1提供“第二次机会”，让他自己来改善解法或另选他法.在必要时还须给予适当的提示，体现的是对学生的厚爱与人性化的关怀.笔者在教学中是这样处理的：）
师（亲切地面对生1，以商量的口吻）：同学们思考、讨论如何解决？
生：由圆C的方程画出图形看看，也许能找到上佳的思路.
生1（非常珍惜这宝贵的“第二次机会”，
思维逐渐兴奋）：由图1知，所求直线必与
直线x y-1=0平行，即斜率为-1，且
两直线间的距离为圆的半径22.
可设其方程为x y c=0，则由平行线
间的距离公式得c 12=22，解得c=0，
或c=-2，故所求直线为x y=0，或x y=2.
（教室里爆发出热烈的掌声，这是对所有学生（更是对生1）的心灵慰藉和智慧欣赏，喜悦和兴奋的冲击波将在他们脑中长期发挥巨大的积极作用.正当教者欲结束此题的解答时，可喜的“状况”出现了.）
生2：①式并非无用，只要确认所求直线的斜率为-1，则①式变为2=2（b-1）2，……（下略）
生3：既然所有圆都与斜率为-1的直线相切，那么可任取m的一个特殊值，如取m=0，则圆心（0，1）到直线x y c=0的距离为圆的半径22，亦可得c 12=22，……（下略）
教者不能不惊叹于学生思维的活跃与发散，生2从本质上恢复了①式的勃勃生机，生3提出的方法蕴含着一种揭示“特殊与一般”关系的重要策略，一道“相貌平平”的题目竟演绎出如此精彩的华章！若教师没有换位思考，缺乏对学生的尊重，轻视源于学生的鲜活的教学素材，不引导学生把话说完，能取得如此丰富的教学效果吗？2 想学生之所遗
数学学科中有许多知识需要记忆，而记忆和遗忘又是相伴而生的孪生兄弟，就是我们教师自己，都会有这样的切身体会，在遇到某一个数学问题时，思路是清晰的，但具体的公式却一下子很难记起.学生更会出现这种现象.面对这一情况，教师要能换位学生角色，跟学生一起回忆、联想、推导，一起分析、比较、归纳、总结，从而战胜遗忘，达到巩固知识的目的.
案例2 “空间向量”的教学片段.
空间向量是在平面向量基础上，从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形.两者除维数不同外，在几何意义、坐标表示、运算等方面都有一致性.这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程.综观空间向量整章，学生需利用已有的关于平面向量的知识基础和学习经验，进行平面向量与空间向量之间的类比，但是通过笔者课前的调查，了解到学生的学情是：学生虽然学习了平面向量，但是对平面向量的知识已经记得不多了（这其实与教材的编排有关，平面向量是高一上半学期学的知识，空间向量是高二下半学期才开始学习的，时间间隔了一年多.），笔者在空间向量的教学前先通过问卷调查了解学生对平面向量还有哪些认识？然后采取相应的对策以实现知识的“螺旋上升”.笔者在空间向量开始之前，用了一节课的时间让学生从整体上掌握平面向量知识的基本结构，这样有助于学生更好地记忆知识，帮助学生构建平面向量知识的基本结构，就有助于学生保持较长时间的记忆，在平面向量类比到空间向量的学习中，学生就具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法，也切实减轻了学生的负担.而在空间向量的教学过程中，笔者又引导学生不断将平面向量的知识结构与模式进行丰富、扩增、推广，从而更有效地解决空间三维的问题.3 想学生之所疑 教师在课堂上常会碰到这样的情况：有些学生突然表情凝重，思维出现了“疙瘩”.此时，对学生思维中出现的“疑”若不及时排除，必然造成心理上的不平衡，成为学生继续思维、继续学习的障碍，使思维中断.因此，教师要采取措施，站到学生的位置上来，思考学生出现的“疑”，以便更好地释疑.
案例3 人教A版《数学2》“31直线的倾斜角与斜率”（第一课）.
在介绍完倾斜角这个概念之后，我们需要引入另一个新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接规定的.“我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率”.如果在实际教学中也这样引入的话，学生会提出这样的困惑：为何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面对这样的提问，有的教师会说这是统一规定；有的教师相对民主些，逐一验证为何正弦或余弦不好，但总给人“亡羊补牢”之嫌.其实，完全可以通过设计下面两个小问题引导斜率的概念.
问题1：请在同一平面直角坐标系中画出下列方程所表示的直线.
（1）y=x 1；（2）y=3x 1；（3）y=-x 1.
问题2：请在同一直角坐标系中画出过点（0，1），倾斜角分别是45°，60°，135°的直线.
师：通过画图，你们发现了什么？
生：两幅图是一样的.
师：问题1中的三条直线方程有何不同？
生：x前的系数不同，分别为1，3，-1.
师：问题2中的三条直线有何不同？
生：倾斜角不同，分别是45°，60°，135°.
师：大家发现了什么？
生：问题1中x前的系数恰好是问题2中对应的倾斜角的正切值.
师：这会是偶然现象吗？（此时，教师可利用“几何画板”演示当倾斜角变化时，直线倾斜角的正切值与直线x前的系数始终保持一致.）
师：看来，直线倾斜角的正切值与直线方程息息相关，那么我们不妨用直线倾斜角α的正切值来刻画直线的倾斜程度，并给它取个名字，叫做直线的斜率.
案例中，教师针对学生的质疑：为何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？创造性地使用教材，给学生提供两个问题，引导学生操作、观察、思考、归纳，从而自然地引入斜率的概念.在教学过程中，老师总是处于引导者的状态，对学生的探究问题不是急于肯定或否定，而是引导学生去探究，在探究的过程中去寻求答案，充分体现了学生的参与、师生的合作.这样，既肯定了学生有意义的想法，又自然地引导学生对问题展开进一步的思考，达到了知其然，更知其所以然的目的.
4 想学生之所难
有些内容在教师看来似乎很容易，三言两语就可说清楚，但站在学生的角度上来接受这一知识，学习这一内容就有相当大的困难.教师精心设计教学，就必须想学生所“难”.学生在概念理解上有什么困难？学生在探求思路中有什么困难？等等，这些问题要求教师在备课中反复研究，通过研究达到学生学习与研究的高质量.
案例4 学习初中数学“反比例函数图象与性质”一课，老师们知道学生在取点、描点、连线等环节都会出现困难，而为了突破教学难点，有些老师会直接利用几何画板演示函数的图象，还有的老师会在每个环节都预先给出提示，比如带着学生取点、填表、描点、连线，这样做当然能够顺利得到完美的函数图象.但是这样做真能够突破学生学习的难点吗？笔者在高中数学课堂观察到的情况表明答案是否定的.
在一所示范高中的“正弦函数的图象与性质”一课上，笔者观察到，教师本来给了学生机会让他们独立作图，但是当发现学生作图的能力很差，许多同学毫无思路和章法时，老师很着急.由于担心完不成教学任务，老师采取了与上述初中教师相似的方式，转而利用几何画板软件直接演示得到了正弦函数的图象，然后告诉了学生“五点作图法”，学生根据老师画出的图象和给出的方法描出了图象.然而接下来，同一个班在学习“正切函数的图象”时，这一幕几乎重演，学生仍然感到很困难，甚至有同学在列表取点时毫不思考地直接利用画正
弦函数图象时用到的五个点，连正切函数在一些点（例如在x=π2点）没有意义也毫无觉察，而面对这种情况，老师又再次采取演示作图的方式进行了处理.
为什么老师通过铺垫、演示的方式并不能真正突破教学难点呢？根本原因在于通过老师的铺垫、演示，学生并没有遭遇难点，也没有机会思考为什么取这些点，为什么要将点用平滑曲线而非折线连结.因此，这种表面的顺利是以牺牲学生学会怎样思考为代价的，后果就是学生依靠记忆结论学会了画反比例函数这种具体函数的图象，但是并没有真正学会怎么画一个新的函数图象，也就是没有学会方法.这种做法与其说是突破了难点，不如说是回避了难点.
学生在数学学习中真正需要突破的是思维上的难点，而思维上的难点通常是由于思维方式的局限性造成的，因此帮助学生完成思维方式的转变是突破难点真正有效的方式.而这种转变的基础和前提就是先让学生在解决问题过程中展现出自己已有的思维，当发现自己已有思维方式不能解决问题时，就感受到了自己已有思维的局限性和新思维方式形成的价值，而老师的任务则是创设情境、提供问题让学生展现出自己的思维，帮助学生分析已有思维中的智慧与困境，再推动学生走出困境，找到出路，从而真正突破难点.5 想学生之所错
当代科学家、哲学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试误方法.”学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程.犯错误是任何人都不可避免的.教师应善待学生错误，提供以错误为源泉的学习反应刺激，引导学生分析错误、反思错误、辩论错误等，从而暴露学生的思维过程，使学生从中审视、体验和反思，引起知错、改错、防错的良性反应，提高思维能力和课堂教学效益.
案例5 已知数列{an}的通项公式为an=n cn，若对任意n∈N*，都有an≥a3，则实数c的取值范围是 . 师：生1，你来说说看.
生1：老师，我做错了.
师：那我找你就对了，（学生哄堂大笑）别怕，没关系的，说说你的想法.
生1：我看题目中有an=n cn，且a3=3 c3是最小值，因为an≥a3，所以n cn≥3 c3，所以（1n-13）c≥3-n，即c≥3-n1n-13=3n（n≠3）的最大值，其中n≥1且n∈N，所以c≥3.又当n=3时成立.综上可得c≥3.
师：此解法是分离参数的思想，即将已知量和未知量进行分离，想法很好，值得肯定.可是结果为什么是错的呢？
生1：我不知道啊.
师：请你想想在处理不等式的时候有什么值得注意的地方.
生1：（思考后恍然大悟）是（1n-13）c≥3-n转化到c≥3-n1n-13时，没有考虑符号的正负性，要分类的.
师：非常好，在解题过程中，你的可取之处在于对n=3和n≠3进行分类，可惜没有注意到将（1n-13）c≥3-n转化到c≥3-n1n-13时应该考虑不等号的方向是否改变.知道怎么改了吗？
生1：解法修正：因为an≥a3，所以n cn≥3 c3，即（1n-13）c≥3-n.
当n=3时，不等式恒成立，c∈R；
当1≤n<3且n∈N*时，c≥3-n1n-13=3n的最大值，将n=2代入，得c≥6；
当n>3且n∈N*时，c≤3-n1n-13=3n的最小值，将n=4代入，得c≤12.
综上，6≤c≤12.
师：很好.
这样，教师想学生之所错，在数学活动中将学生的错误解答呈现出来，让学生自己分析，自己审视，通过变换角度、改换类型、改变条件等方式，以吸引其他学生的注意力，激发学生产生新的疑问，找到自己的最近发展区，促其深思.让学生自己来点评、辨析、纠偏，这既有利于拓展学生思维，调节其情绪，也便于学生形成系统的认知结构.
总之，《数学课程标准》强调的是以人为本，学生是教学的主体，数学课上要充分体现学科特点，突出师生平等、互助的地位，鼓励学生主动交流，积极合作，教师随时通过心理换位调控教学方法，改变教学预设，动态处置教学程序，充当好管理者和组织者，让学生乐于参与，使学生素质在轻松、和谐的教学氛围中得到培养和提高.
作者简介 赵绪昌，男，1963年生，四川宣汉人，中学特级教师，四川省学术和技术带头人，苏步青数学教育奖和国务院政府特殊津贴获得者，四川省中小学教育专家培养对象，主要从事中学数学教学研究和中小学教育科学研究.
在新课程标准下，相对原来的教学大纲，教学目标阐述的角度及落脚点发生了根本变化.以前，教学目标是从教师“教”的角度提出来的，规定的是教什么，如何教，缺乏对学生学习过程的关注；现在，课程标准直接从学生“学”的角度提出，以学生为主体，直接指向学生学习活动本身，关注的焦点是学什么，怎么学，学的如何.这就要求在实施教学过程中教师一方面扮演“教”的角色，成为学生学习知识、探究知识的引路人；另一方面就是要换位思考，只有站在学生的角度去思考，才能使师生在情感上达到共鸣，教师才会具有针对性、灵活性和教育性，从而使学生的知识和能力达到和谐发展.那么教师在数学课堂教学中如何实现换位思考呢？下面举例说明.
1 想学生之所想
在教学过程中，学生的思维是怎样的，在想什么？这是我们教师应当考虑的.这需要教师在备课中要先做好预设.学生未表露出自己的想法时，教师要洞察其心理，及时探测和巧妙地点出其想法，更好地实现与他们心理上的沟通.只有想学生之所想，教师才能在教学中随时把握住学生思维的脉搏，更好地实现与他们心理上的沟通，开启学生的数学思维，使学生对要学习的知识能有较为深刻的认识和理解.
案例1 已知m∈R，圆C：x2 y2-2mx 2（m-1）y 2m2-2m 12=0.
（1）求证：圆C的圆心必在一条直线上；
（2）若圆C与某定直线相切，求此直线的方程.
对于（1），学生易知圆C：（x-m）2 [y （m-1）]2=12，半径为22，圆心C（m，1-m）必在直线x y=1上.
核心问题是（2），有以下教学过程.
生1：已知圆C与一条定直线相切，那么圆心C（m，1-m）到该直线的距离等于圆的半径，若设所求直线的方程为y=kx b，那么可以得出km-m-1 mk2 1=22，对于任意m均成立.两边同时平方得
k2 1=2[（k 1）2m2 （b-1）2 2（k 1）m（b-1）].①
此式对于任意实数m均成立.
师（感到与自己的思路相差甚远，有些不耐烦）：你的思路看起来是正确的，可你怎么知道所求直线的斜率一定存在？且①式过于繁杂，含有k，b，m三个字母，欲想由此求得k的值，何其难也，你把简单问题复杂化了！请其他同学思考，能否找到比较简捷的解法.
（教师的这番言语大大挫伤了生1的积极性，后来虽然有学生给出了比较理想的解法，但心情沮丧的生1却久久缓不过神来，其他学生也“吸取教训，以后再发言可要谨慎了，弄得不好会立即遭到教师的彻底否定”，不如干脆说“不会”，等待教师的“喂饲”.这是课堂上常见的一种“状况”，笔者认为否定不如引导、堵塞不如疏浚，最好的办法则是“解铃还须系铃人”，给生1提供“第二次机会”，让他自己来改善解法或另选他法.在必要时还须给予适当的提示，体现的是对学生的厚爱与人性化的关怀.笔者在教学中是这样处理的：）
师（亲切地面对生1，以商量的口吻）：同学们思考、讨论如何解决？
生：由圆C的方程画出图形看看，也许能找到上佳的思路.
生1（非常珍惜这宝贵的“第二次机会”，
思维逐渐兴奋）：由图1知，所求直线必与
直线x y-1=0平行，即斜率为-1，且
两直线间的距离为圆的半径22.
可设其方程为x y c=0，则由平行线
间的距离公式得c 12=22，解得c=0，
或c=-2，故所求直线为x y=0，或x y=2.
（教室里爆发出热烈的掌声，这是对所有学生（更是对生1）的心灵慰藉和智慧欣赏，喜悦和兴奋的冲击波将在他们脑中长期发挥巨大的积极作用.正当教者欲结束此题的解答时，可喜的“状况”出现了.）
生2：①式并非无用，只要确认所求直线的斜率为-1，则①式变为2=2（b-1）2，……（下略）
生3：既然所有圆都与斜率为-1的直线相切，那么可任取m的一个特殊值，如取m=0，则圆心（0，1）到直线x y c=0的距离为圆的半径22，亦可得c 12=22，……（下略）
教者不能不惊叹于学生思维的活跃与发散，生2从本质上恢复了①式的勃勃生机，生3提出的方法蕴含着一种揭示“特殊与一般”关系的重要策略，一道“相貌平平”的题目竟演绎出如此精彩的华章！若教师没有换位思考，缺乏对学生的尊重，轻视源于学生的鲜活的教学素材，不引导学生把话说完，能取得如此丰富的教学效果吗？2 想学生之所遗
数学学科中有许多知识需要记忆，而记忆和遗忘又是相伴而生的孪生兄弟，就是我们教师自己，都会有这样的切身体会，在遇到某一个数学问题时，思路是清晰的，但具体的公式却一下子很难记起.学生更会出现这种现象.面对这一情况，教师要能换位学生角色，跟学生一起回忆、联想、推导，一起分析、比较、归纳、总结，从而战胜遗忘，达到巩固知识的目的.
案例2 “空间向量”的教学片段.
空间向量是在平面向量基础上，从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形.两者除维数不同外，在几何意义、坐标表示、运算等方面都有一致性.这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程.综观空间向量整章，学生需利用已有的关于平面向量的知识基础和学习经验，进行平面向量与空间向量之间的类比，但是通过笔者课前的调查，了解到学生的学情是：学生虽然学习了平面向量，但是对平面向量的知识已经记得不多了（这其实与教材的编排有关，平面向量是高一上半学期学的知识，空间向量是高二下半学期才开始学习的，时间间隔了一年多.），笔者在空间向量的教学前先通过问卷调查了解学生对平面向量还有哪些认识？然后采取相应的对策以实现知识的“螺旋上升”.笔者在空间向量开始之前，用了一节课的时间让学生从整体上掌握平面向量知识的基本结构，这样有助于学生更好地记忆知识，帮助学生构建平面向量知识的基本结构，就有助于学生保持较长时间的记忆，在平面向量类比到空间向量的学习中，学生就具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法，也切实减轻了学生的负担.而在空间向量的教学过程中，笔者又引导学生不断将平面向量的知识结构与模式进行丰富、扩增、推广，从而更有效地解决空间三维的问题.3 想学生之所疑 教师在课堂上常会碰到这样的情况：有些学生突然表情凝重，思维出现了“疙瘩”.此时，对学生思维中出现的“疑”若不及时排除，必然造成心理上的不平衡，成为学生继续思维、继续学习的障碍，使思维中断.因此，教师要采取措施，站到学生的位置上来，思考学生出现的“疑”，以便更好地释疑.
案例3 人教A版《数学2》“31直线的倾斜角与斜率”（第一课）.
在介绍完倾斜角这个概念之后，我们需要引入另一个新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接规定的.“我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率”.如果在实际教学中也这样引入的话，学生会提出这样的困惑：为何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面对这样的提问，有的教师会说这是统一规定；有的教师相对民主些，逐一验证为何正弦或余弦不好，但总给人“亡羊补牢”之嫌.其实，完全可以通过设计下面两个小问题引导斜率的概念.
问题1：请在同一平面直角坐标系中画出下列方程所表示的直线.
（1）y=x 1；（2）y=3x 1；（3）y=-x 1.
问题2：请在同一直角坐标系中画出过点（0，1），倾斜角分别是45°，60°，135°的直线.
师：通过画图，你们发现了什么？
生：两幅图是一样的.
师：问题1中的三条直线方程有何不同？
生：x前的系数不同，分别为1，3，-1.
师：问题2中的三条直线有何不同？
生：倾斜角不同，分别是45°，60°，135°.
师：大家发现了什么？
生：问题1中x前的系数恰好是问题2中对应的倾斜角的正切值.
师：这会是偶然现象吗？（此时，教师可利用“几何画板”演示当倾斜角变化时，直线倾斜角的正切值与直线x前的系数始终保持一致.）
师：看来，直线倾斜角的正切值与直线方程息息相关，那么我们不妨用直线倾斜角α的正切值来刻画直线的倾斜程度，并给它取个名字，叫做直线的斜率.
案例中，教师针对学生的质疑：为何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？创造性地使用教材，给学生提供两个问题，引导学生操作、观察、思考、归纳，从而自然地引入斜率的概念.在教学过程中，老师总是处于引导者的状态，对学生的探究问题不是急于肯定或否定，而是引导学生去探究，在探究的过程中去寻求答案，充分体现了学生的参与、师生的合作.这样，既肯定了学生有意义的想法，又自然地引导学生对问题展开进一步的思考，达到了知其然，更知其所以然的目的.
4 想学生之所难
有些内容在教师看来似乎很容易，三言两语就可说清楚，但站在学生的角度上来接受这一知识，学习这一内容就有相当大的困难.教师精心设计教学，就必须想学生所“难”.学生在概念理解上有什么困难？学生在探求思路中有什么困难？等等，这些问题要求教师在备课中反复研究，通过研究达到学生学习与研究的高质量.
案例4 学习初中数学“反比例函数图象与性质”一课，老师们知道学生在取点、描点、连线等环节都会出现困难，而为了突破教学难点，有些老师会直接利用几何画板演示函数的图象，还有的老师会在每个环节都预先给出提示，比如带着学生取点、填表、描点、连线，这样做当然能够顺利得到完美的函数图象.但是这样做真能够突破学生学习的难点吗？笔者在高中数学课堂观察到的情况表明答案是否定的.
在一所示范高中的“正弦函数的图象与性质”一课上，笔者观察到，教师本来给了学生机会让他们独立作图，但是当发现学生作图的能力很差，许多同学毫无思路和章法时，老师很着急.由于担心完不成教学任务，老师采取了与上述初中教师相似的方式，转而利用几何画板软件直接演示得到了正弦函数的图象，然后告诉了学生“五点作图法”，学生根据老师画出的图象和给出的方法描出了图象.然而接下来，同一个班在学习“正切函数的图象”时，这一幕几乎重演，学生仍然感到很困难，甚至有同学在列表取点时毫不思考地直接利用画正
弦函数图象时用到的五个点，连正切函数在一些点（例如在x=π2点）没有意义也毫无觉察，而面对这种情况，老师又再次采取演示作图的方式进行了处理.
为什么老师通过铺垫、演示的方式并不能真正突破教学难点呢？根本原因在于通过老师的铺垫、演示，学生并没有遭遇难点，也没有机会思考为什么取这些点，为什么要将点用平滑曲线而非折线连结.因此，这种表面的顺利是以牺牲学生学会怎样思考为代价的，后果就是学生依靠记忆结论学会了画反比例函数这种具体函数的图象，但是并没有真正学会怎么画一个新的函数图象，也就是没有学会方法.这种做法与其说是突破了难点，不如说是回避了难点.
学生在数学学习中真正需要突破的是思维上的难点，而思维上的难点通常是由于思维方式的局限性造成的，因此帮助学生完成思维方式的转变是突破难点真正有效的方式.而这种转变的基础和前提就是先让学生在解决问题过程中展现出自己已有的思维，当发现自己已有思维方式不能解决问题时，就感受到了自己已有思维的局限性和新思维方式形成的价值，而老师的任务则是创设情境、提供问题让学生展现出自己的思维，帮助学生分析已有思维中的智慧与困境，再推动学生走出困境，找到出路，从而真正突破难点.5 想学生之所错
当代科学家、哲学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试误方法.”学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程.犯错误是任何人都不可避免的.教师应善待学生错误，提供以错误为源泉的学习反应刺激，引导学生分析错误、反思错误、辩论错误等，从而暴露学生的思维过程，使学生从中审视、体验和反思，引起知错、改错、防错的良性反应，提高思维能力和课堂教学效益.
案例5 已知数列{an}的通项公式为an=n cn，若对任意n∈N*，都有an≥a3，则实数c的取值范围是 . 师：生1，你来说说看.
生1：老师，我做错了.
师：那我找你就对了，（学生哄堂大笑）别怕，没关系的，说说你的想法.
生1：我看题目中有an=n cn，且a3=3 c3是最小值，因为an≥a3，所以n cn≥3 c3，所以（1n-13）c≥3-n，即c≥3-n1n-13=3n（n≠3）的最大值，其中n≥1且n∈N，所以c≥3.又当n=3时成立.综上可得c≥3.
师：此解法是分离参数的思想，即将已知量和未知量进行分离，想法很好，值得肯定.可是结果为什么是错的呢？
生1：我不知道啊.
师：请你想想在处理不等式的时候有什么值得注意的地方.
生1：（思考后恍然大悟）是（1n-13）c≥3-n转化到c≥3-n1n-13时，没有考虑符号的正负性，要分类的.
师：非常好，在解题过程中，你的可取之处在于对n=3和n≠3进行分类，可惜没有注意到将（1n-13）c≥3-n转化到c≥3-n1n-13时应该考虑不等号的方向是否改变.知道怎么改了吗？
生1：解法修正：因为an≥a3，所以n cn≥3 c3，即（1n-13）c≥3-n.
当n=3时，不等式恒成立，c∈R；
当1≤n<3且n∈N*时，c≥3-n1n-13=3n的最大值，将n=2代入，得c≥6；
当n>3且n∈N*时，c≤3-n1n-13=3n的最小值，将n=4代入，得c≤12.
综上，6≤c≤12.
师：很好.
这样，教师想学生之所错，在数学活动中将学生的错误解答呈现出来，让学生自己分析，自己审视，通过变换角度、改换类型、改变条件等方式，以吸引其他学生的注意力，激发学生产生新的疑问，找到自己的最近发展区，促其深思.让学生自己来点评、辨析、纠偏，这既有利于拓展学生思维，调节其情绪，也便于学生形成系统的认知结构.
总之，《数学课程标准》强调的是以人为本，学生是教学的主体，数学课上要充分体现学科特点，突出师生平等、互助的地位，鼓励学生主动交流，积极合作，教师随时通过心理换位调控教学方法，改变教学预设，动态处置教学程序，充当好管理者和组织者，让学生乐于参与，使学生素质在轻松、和谐的教学氛围中得到培养和提高.
作者简介 赵绪昌，男，1963年生，四川宣汉人，中学特级教师，四川省学术和技术带头人，苏步青数学教育奖和国务院政府特殊津贴获得者，四川省中小学教育专家培养对象，主要从事中学数学教学研究和中小学教育科学研究.