众所周知，若a，b∈R+，则a+b2≥ab，（当且仅当a=b时取等号）称为均值不等式.均值不等式具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，尤其是运用它求函数最值更是高考中的热点内容.利用均值不等式求最值必须满足三个条件，即“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，然而在实际的教学中，学生对“定”的理解始终不够透彻，甚至因此经常出错.举列如下：
　　题目 已知x>0，求y=2x+1x2的最小值.
　　解 ∵x>0，∴y=2x+1x2≥22x•1x2=22x.
　　当且仅当2x=1x2，即x=2-13时取等号，
　　此时ymin=222-13=253.
　　对于上述解答的错误之处，绝大多数教师的解释是：运用均值不等式放缩过程中，没有同时满足“一正、二定、三相等”三个条件中的“定”，故解答错误！对于这样停留在表象上的解释学生并未心悦诚服.古人云：“知其然，还要知其所以然”.
　　其实，上述解答运用均值不等式进行放缩本身并没问题，只是最后一步下结论出错.当x=2-13时代入原函数，可求得y=222-13=253，不妨设P2-13，253，为了更直观的研究问题，我们不妨借助图形来分析：
　　①“当且仅当x=2-13时，2x+1x2=22x”即点P是y=2x+1x2(x>0)与y=22x两个函数图像的唯一公共点；
　　②“当x≠2-13时，2x+1x2>22x”即除去点P外，y=2x+1x2的图像都在y=22x图像的上方.
　　设f(x)=2x+1x2，求导f′(x)=2-2x3=2(x-1)(x2+x+1)x3.
　　当x∈(0,1)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
　　当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；于是x=1时，f(x)极小值=3.
　　设g(x)=22x,则g′(x)=-2x-32.
　　当x∈(0,+∞)时，g′(x)<0,则g(x)单调递减.
　　又f′(2-13)=g′(2-13)=2，则y=f(x)与y=g(x)在点P(2-13，253)处的切线斜率相等，因而切线必重合，故y=f(x)与y=g(x)图像切于点P.
　　由以上的分析，我们不难得到它们在同一坐标系中的图像，如图所示，从图形可以直观看出点P并不是函数y=2x+1x2(x>0)图像的最低点，即y=253只是切点处的函数值，并不是函数y=2x+1x2(x>0)的最小值.
　　大家知道，原题运用三个数的均值不等式可以如下解答：
　　∵x>0，则y=2x+1x2=x+x+x-2≥3•3x•x•x-2=3.
　　当且仅当x=1x2，即x=1时ymin=3.事实上函数y=2x+1x2(x>0)的图像与直线y=3切于点M(1,3)，除去切点M外，y=2x+1x2(x>0)的图像均在直线y=3的上方，故ymin=3.
　　 由以上分析可知，用均值不等式得求函数最值时，不等号两边的函数在平面直角坐标系中对应的图像是相切的，切点的横坐标即为取等号时自变量的值，只有当不等号右边是常数时切点才为图像的最低点，切点的纵坐标才为函数的最小值.
　　 在平常的学习中，大家对所犯的错误既要“知其然”，更要力求“知其所以然”.通过对一些典型错误的深入剖析，既有助于加深对错误本质的理解，更有助于养成科学、严谨的治学态度.