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摘 要在高中数学考试中，圆锥曲线问题始终是主要的考点，特别是直线和圆锥曲线交汇的问题，出现的频率相对较高。借助这种类型的试题，能够对我们掌握圆锥曲线性质、公式运用与解析几何当中的数学思想予以综合考查，与考试大纲提出的要求相吻合。为此，作为高中生，在学习与练习的过程中，对直线与圆锥曲线交汇问题的解答技巧进行了归纳与总结，以期能够为广大高中生对这部分知识的学习提供有价值的参考。
【关键词】直线；圆锥曲线；交汇问题；解答
1 设而不求的解答方法
通常情况下，对于直线和圆锥曲线综合问题解答的最常见方法就是对其交点坐标进行设置，在直线方程和圆锥曲线方程联立的基础上，代入并消元，进而转变成仅含有一个变量的一元二次方程。随后，借助判别式、根与系数之间存在的关系即可获得两个坐标的和、乘积和斜率关系。通过对关系的灵活运动来代表弦长和焦点三角形面积等等，最终求解出题目的结果。
例题一：已知，椭圆的方程为
，同时，椭圆的离心率是。其中，F代表了椭圆右焦点，且直线AF斜率是
，坐标原点由点O表示。
问题：假设过点A动直线m和椭圆相交，交点分别为P与Q两点，在三角形OPQ面积取得最大值的情况下，试求出直线m的方程式。
试题解析：首先，需根据已知条件求解出椭圆的方程式，即为
。其次，考虑直线m与x轴相互垂直的情况，与题意不相吻合。在这种情况下，即可将直线m的解析式设成y=kx-2，与此同时，交点P和Q的坐标分别设置为。随后，可以将直线m的方程带入到椭圆方程当中，即可得出。而，所以在
的情况下，可以计算出P与Q两点之间的距离，即
。在此基础上，计算坐标原点O与直线m之间的距离是
。所以，三角形OPQ的面积即可表示为
。我们可以假设，那么在t大于零的情况下，三角形OPQ的面积就是
。然而，由于，且在t取值为2的时候，
的等号成立，并且与相吻合。为此，在三角形OPQ面积取最大值的情况下，k的取值为
，所以最终求得直线m的方程式为
或者是。
总结：在例题一当中，主要将椭圆作为重要载体的一种解析几何综合试题，同时也考查了分类讨论、划归与转化思想以及计算能力等等。其中，在解答此试题的过程中，充分体现出坐标法、判别式法以及代入消元法等诸多思想方法。除此之外，在计算出三角形面积表达式以后，通过对结构的观察，借助基本的不等式数学知识计算其最大值。但是，在求取的过程中，我们必须具备一定的变形与配凑能力，由此可见，在解决直线和圆锥曲线交汇问题中，要注重基本不等式的应用训练。
2 借助定义的解答方法
一般情况下，解析几何的运算十分复杂，所以在解题的过程中，应当尽可能对试题当中图形几何性质予以深入挖掘，并且对定义进行灵活地使用，最终找出合理的解题方式与思路，探寻试题解答的具体规律，这样能够在更短的时间内完成解答。
例题二：抛物线方程为，经过其焦点做直线，倾斜角是60°，并且和抛物线的交点为A和B。其中，点A位于x轴的上方，试求出
的数值。
试题解析：根据题目中的已知条件，可以做出图像，如图1所示。
经过点A与点B作出准线垂直线，即AC与BD。经过点B再做出与直线AC垂直的线，即BE。因为AE是AC与CE的差，而CE与BD 相等，由此可以得出，AE是AF与BF的差。而在三角形ABE当中，由于角AFx的度数是60°，因而AE是AB长度的一半，且角ABE的度数为30°。基于此，
，最终求取的数值为3。
总结：借助圆锥曲线的定义对问题进行解答，通常都和焦点亦或是准线存在一定的关系。借助定义通常可以实现互相地转化。而针对椭圆与双曲线则能够在定义的帮助下，对与焦点距离和与准线距离予以转化。对于定义的灵活应用，并与数形结合数学思想综合运用，可以找出问题本质，并且规避繁杂计算，简化了问题的解答过程，对于试题解答十分有利。
3 化繁为简的解答方法
通常，解析几何综合试题的推理与运算相对复杂，所以在解答的过程中很容易出现错误。所以，解析几何问题的解答重点就是规避复杂运算。而解析几何主要是对代数方法合理运用，进而对几何问题进行深入地研究。但从本质上来讲，始终属于几何问题。为此，我们在解答的过程，特别是直线和圆锥曲线的交汇问题，应对圆锥曲线几何性质予以充分地挖掘，进而将其所具备的幾何本质找出来，即可简化解答的过程，获得意想不到的问题解答效果。
4 结束语
综上所述，直线和圆锥曲线位置关系的问题是高中数学的重点知识，同时也是综合运用多种数学思想方法的解题方式，在高考数学中占据较大分值比重。为此，我们在日常学习与练习的过程中，应注重知识的归纳与总结，掌握圆锥曲线与直线交汇问题的解答方式和技巧，只有这样，才能够将复杂的解题过程简单化，回归圆锥曲线的几何本质，在短时间内解决直线和圆锥曲线的交汇问题，为解析几何知识的学习奠定坚实的基础，并取得理想的学习成绩。
参考文献
[1]顾忠华.直线与圆锥曲线交汇问题的合理解答[J].中学数学，2015（01）：81-83.
[2]刘静.直线与圆锥曲线问题的套路解法[J].科学咨询，2011（23）：68-69.
[3]柏文峰.直线与圆锥曲线位置关系高考综合题初探[J].考试周刊，2015（06）：1-2.
作者单位
湖南省常德市第一中学 湖南省常德市 415000
【关键词】直线；圆锥曲线；交汇问题；解答
1 设而不求的解答方法
通常情况下，对于直线和圆锥曲线综合问题解答的最常见方法就是对其交点坐标进行设置，在直线方程和圆锥曲线方程联立的基础上，代入并消元，进而转变成仅含有一个变量的一元二次方程。随后，借助判别式、根与系数之间存在的关系即可获得两个坐标的和、乘积和斜率关系。通过对关系的灵活运动来代表弦长和焦点三角形面积等等，最终求解出题目的结果。
例题一：已知，椭圆的方程为
，同时，椭圆的离心率是。其中，F代表了椭圆右焦点，且直线AF斜率是
，坐标原点由点O表示。
问题：假设过点A动直线m和椭圆相交，交点分别为P与Q两点，在三角形OPQ面积取得最大值的情况下，试求出直线m的方程式。
试题解析：首先，需根据已知条件求解出椭圆的方程式，即为
。其次，考虑直线m与x轴相互垂直的情况，与题意不相吻合。在这种情况下，即可将直线m的解析式设成y=kx-2，与此同时，交点P和Q的坐标分别设置为。随后，可以将直线m的方程带入到椭圆方程当中，即可得出。而，所以在
的情况下，可以计算出P与Q两点之间的距离，即
。在此基础上，计算坐标原点O与直线m之间的距离是
。所以，三角形OPQ的面积即可表示为
。我们可以假设，那么在t大于零的情况下，三角形OPQ的面积就是
。然而，由于，且在t取值为2的时候，
的等号成立，并且与相吻合。为此，在三角形OPQ面积取最大值的情况下，k的取值为
，所以最终求得直线m的方程式为
或者是。
总结：在例题一当中，主要将椭圆作为重要载体的一种解析几何综合试题，同时也考查了分类讨论、划归与转化思想以及计算能力等等。其中，在解答此试题的过程中，充分体现出坐标法、判别式法以及代入消元法等诸多思想方法。除此之外，在计算出三角形面积表达式以后，通过对结构的观察，借助基本的不等式数学知识计算其最大值。但是，在求取的过程中，我们必须具备一定的变形与配凑能力，由此可见，在解决直线和圆锥曲线交汇问题中，要注重基本不等式的应用训练。
2 借助定义的解答方法
一般情况下，解析几何的运算十分复杂，所以在解题的过程中，应当尽可能对试题当中图形几何性质予以深入挖掘，并且对定义进行灵活地使用，最终找出合理的解题方式与思路，探寻试题解答的具体规律，这样能够在更短的时间内完成解答。
例题二：抛物线方程为，经过其焦点做直线，倾斜角是60°，并且和抛物线的交点为A和B。其中，点A位于x轴的上方，试求出
的数值。
试题解析：根据题目中的已知条件，可以做出图像，如图1所示。
经过点A与点B作出准线垂直线，即AC与BD。经过点B再做出与直线AC垂直的线，即BE。因为AE是AC与CE的差，而CE与BD 相等，由此可以得出，AE是AF与BF的差。而在三角形ABE当中，由于角AFx的度数是60°，因而AE是AB长度的一半，且角ABE的度数为30°。基于此，
，最终求取的数值为3。
总结：借助圆锥曲线的定义对问题进行解答，通常都和焦点亦或是准线存在一定的关系。借助定义通常可以实现互相地转化。而针对椭圆与双曲线则能够在定义的帮助下，对与焦点距离和与准线距离予以转化。对于定义的灵活应用，并与数形结合数学思想综合运用，可以找出问题本质，并且规避繁杂计算，简化了问题的解答过程，对于试题解答十分有利。
3 化繁为简的解答方法
通常，解析几何综合试题的推理与运算相对复杂，所以在解答的过程中很容易出现错误。所以，解析几何问题的解答重点就是规避复杂运算。而解析几何主要是对代数方法合理运用，进而对几何问题进行深入地研究。但从本质上来讲，始终属于几何问题。为此，我们在解答的过程，特别是直线和圆锥曲线的交汇问题，应对圆锥曲线几何性质予以充分地挖掘，进而将其所具备的幾何本质找出来，即可简化解答的过程，获得意想不到的问题解答效果。
4 结束语
综上所述，直线和圆锥曲线位置关系的问题是高中数学的重点知识，同时也是综合运用多种数学思想方法的解题方式，在高考数学中占据较大分值比重。为此，我们在日常学习与练习的过程中，应注重知识的归纳与总结，掌握圆锥曲线与直线交汇问题的解答方式和技巧，只有这样，才能够将复杂的解题过程简单化，回归圆锥曲线的几何本质，在短时间内解决直线和圆锥曲线的交汇问题，为解析几何知识的学习奠定坚实的基础，并取得理想的学习成绩。
参考文献
[1]顾忠华.直线与圆锥曲线交汇问题的合理解答[J].中学数学，2015（01）：81-83.
[2]刘静.直线与圆锥曲线问题的套路解法[J].科学咨询，2011（23）：68-69.
[3]柏文峰.直线与圆锥曲线位置关系高考综合题初探[J].考试周刊，2015（06）：1-2.
作者单位
湖南省常德市第一中学 湖南省常德市 415000