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【摘要】张弛振荡与非张弛振荡是两类不同的振荡，从而这两类振荡对应的频率振幅关系会有差别.本文引用了计算神经科学中的INa，p+IK——模型和IK+IKir-模型，前者呈现张弛振荡，后者呈现非张弛振荡.通过数值模拟计算INa，p+IK-模型和IK+IKir-模型的分叉图、相图、频率振幅图，并进行对比，从分叉关系、频率-振幅关系和振荡轨道关系这三个侧面反映出张弛振荡与非张弛振荡频率-振幅关系的显著区别：张弛振荡的频率对振幅可调，而非张弛振荡的频率对振幅不可调.
【关键词】（非）张弛振荡；频率；振幅；分叉；相图；INa，p+IK-模型；IK+IKir-模型
一、引 言
振荡是生物学中普遍的生命现象，比如心脏跳动、细胞有氧呼吸、神经元发放、细胞质内Ca2+浓度调节等等.所谓振荡，是指某种生命现象周而复始循环往复，在数学角度讲，是指某个或某些量呈现周期性的变化.其中变化的范围用振幅来刻画，而振荡的快慢用频率来刻画.
生物振荡在生物体内到处可见.其中有一种生物振荡较为特殊，称为“张弛振荡”，这类振荡有一对反向的快变的趋势和一对反向的慢变的趋势构成.张弛振荡是由van der Pol于1926年首次发现的，当时他在研究三极管电路的性质，这种电路呈现出自我维持的振荡.van der Pol发现对于系统参数在某个范围取值，振荡几乎是正弦的，但对于不同的范围振荡呈现出突变.在第二种情况下，振荡的周期与系统的张弛时间（时间常数）成正比，因而命名为张弛振荡.van der Pol又给出了张弛振荡的定义特性，具体表述如下：
1.振荡的周期由张弛时间的某种形式所决定；
2.它们代表了典型的非周期现象的一种自治重复；
3.与正弦振荡或谐波振荡截然不同，它们展现出不连续的跳跃；
4.非线性系统使用隐式阈值，有“全—或—无”规律的特点.
张弛振荡模型在二维系统中有如下的形式：
μ=f(x,y)，=g(x,y).（1）
其中μ1是时间常数，μ的大小决定了振荡周期的大小，系统中x和y都是纯量，并且f和g都是连续的.
本文以神经元发放的生物学模型INa，p+IK-模型（张弛振荡的）和IK+IKir-模型（非张弛振荡的）为例，对两者进行数值模拟分析，将两者进行对比，对张弛振荡和非张弛振荡振幅-频率进行探讨，得出张弛振荡与非张弛振荡各自的频率-振幅的变化规律.
二、模型分析
INa，p+IK-模型（persistent sodium plus potassium model）和IK+IKir-模型（persistent plus inwardly rectifying potassium model）都是计算神经科学中最基本的模型，它们都是H-H模型的特例.
INa，p+IK-模型的动力学方程表示如下：
C=I-gL(V-EL）IL-gNam∞(V-ENa)INa，p-gKn(V-EK)IK，（2）
=(n∞(V)-n)/τn(V).（3）
其中C表示膜电容，V表示膜电压，gL，gNa和gK分别表示漏电电流、钠电流和钾电流的导电系数，EL，ENa和EK分别表示漏电电流、钠电流和钾电流的静息电位，n为n门开放的概率，τn(V)分别表示n的张弛时间.
IK+IKir-模型的动力学方程表示如下：
C=I-gKirh(V-EK)IKir-gKn(V-EK)IK，（4）
=(n∞(V)-n)/τn(V).（5）
其中C,V,gK，n,EK和τn(V)的生物意义如INa，p+IK-模型所解释，gKir表示Kir电流（向内整流K+电流）的导电系数，h表示h门开放的概率.
对上述两个系统进行计算机数值模拟，让τ(V)在某个范围变化，计算其分叉图、相图、频率-振幅图，如图1所示.
a.INa，p+IK-模型
b.IK+IKir-模型
图1 张弛振荡与非张弛振荡的分叉图、相图与频率-振幅图
其中a图对应的微分方程为（2），b图对应的微分方程为（4）.其系统（2）的参数有：I=10，gL=8，gNa=20，gK=10，C=1，EL=-80，ENa=60，EK=-90；m∞(V)的参数：V12=-20，k=15；n∞(V)的参数：V12=-25，k=5；系统（4）的参数有：I=68，gKir=20，gK=2，C=1，EK=-80.
图1为张弛振荡与非张弛振荡的对照图.a图为张弛振荡（INa，p+IK-模型）的分叉图，其中嵌入了两个小图，频率-振幅图与相图，b图为非张弛振荡（IK+IKir-模型）的分叉图，其中也嵌入了频率-振幅图与相图两个小图.a，b两图中，左边的小图是相图（横坐标都是膜电压V，单位为mV；纵坐标都是n），右边的小图是频率-振幅图（横坐标都是频率f，单位为Hz；纵坐标都是振幅A，单位为mV）.
分析a图的分叉图，当τ取值于(0,a)时（计算可得a=0.13），系统只有一个稳定的焦点，不动点即为焦点，分叉图中τ取值于(0,a)时对应的曲线段的纵坐标即为对应于τ的不动点（焦点）的横坐标的值，即V的值.当τ=a时，系统发生Hopf分叉；当τ>a时，系统分叉出极限环，从分叉图中看即分叉上下两支.上支表示对应于不同的τ的极限环在V轴上投影的最大值，上支表示对应于不同的τ的极限环在V轴上投影的最小值，上下两支的高度差表示对应于τ的振幅.分叉图横轴为张弛时间（时间常数），不同的τ对应于不同的频率，从图中可以看出，当τ取值于(a,0.5)之间时，由Hopf分叉产生的上下两支陡峭地向上下两方扩张，即振幅由0开始迅速增加.当τ取值于(0.5,2)时，上下两支仍然向上下两方扩张，但扩张的程度逐渐减小；当τ取值大于2时，上下两支变化比较平缓，对应于振幅变化幅度不大.从而得出结论：当τ在某个合适的范围（此处可取τ>2）取值时，频率大幅度变化而振幅变化不大，即振幅基本上保持稳定；反过来说，让振幅取定某个适当的数值（允许振幅围绕这个数值作微小幅度的变化），对应的频率可以取遍某个较大范围的值，我们把这种现象叫作“频率对振幅可调”.
频率-振幅图中的曲线称为FAC（FrequencyAmplitude Curve）曲线.a图的频率-振幅图中，频率在(22,45)之间变化，FAC比较平坦，即当频率均匀变化时，振幅变化较小，基本上保持稳定.我们称使得振幅变化幅度较小的对应的τ的取值范围叫作τ的可调域.
从相图上看，该相图画出了τ=4,6,8（即τ属于可调域）时对应的相图，图中3个极限环相互之间非常靠近，对应其3个振幅也比较接近，相差不大，因此该相图也说明当张弛时间在可调域内取值时，其频率对振幅可调.
分析b图的分叉图，当τ取值于(0,b)时（计算可得b=1.51），系统只有一个稳定的焦点，分叉图中τ(0,b)时对应的曲线段即为τ与不动点（焦点）的V分量的关系曲线.当τ=b时，系统发生Hopf分叉；当τ>b时，系统分叉出极限环，类似于图a.从分叉图中可以看到，当τ在b右边的某个小邻域内取值时，由Hopf分叉产生的上下两支几乎成直线向上下两方扩张，即振幅由0开始迅速增加，当上下两支扩张到一定程度时，上下两支不平行地向右方扩张，对应于振幅变化较大.从而得出：在频率的任意范围内，非张弛振荡的频率与振幅不可调，频率大幅度变化而振幅的变化范围也较大.从频率-振幅图上也可看到，FAC是一条倾斜的曲线，并且是向上凸的，所以不存在一段平坦的曲线段FAC，使得在这段平坦曲线段上频率大幅度变化而振幅变化不大.再从相图上看，该相图画出了τ=5，15，25时对应的相图，发现3个相图大小形状各不相同，τ越大，对应相图水平方向的跨度也越大.因此，该相图也说明非张弛振荡的频率对振幅不可调.
三、结 论
本文通过对INa，p+IK-模型和IK+IKir-模型的讨论，得出张弛振荡与非张弛振荡的频率-振幅的关系特性.对于张弛振荡，让张弛时间参数取值于某个合适的范围，频率对振幅呈现出可调性；而对于非张弛振荡，无论张弛时间参数在任何范围取值，频率对振幅都不呈现可调性.
【参考文献】
［1］Tony,YuChen Tsai,Robust.Tunable Biological Oscillations from Interlinked Positive and negative Feedback Loops.Science：321，126（2008）.
［2］Eugene M.Izhikevich.Dynamical Systems in Neuroscience:The Geometry of Excitability and Bursting.The MIT Press, London, England.
［3］James Keener, James Sney.Mathematical Physiology (Second Edition).Springer.
［4］DeLiang Wang.Relaxation Oscillators and Networks.In J.G.Webster(ed.),Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, Wiley & Sons, Vol.18：396-405,1999.
【关键词】（非）张弛振荡；频率；振幅；分叉；相图；INa，p+IK-模型；IK+IKir-模型
一、引 言
振荡是生物学中普遍的生命现象，比如心脏跳动、细胞有氧呼吸、神经元发放、细胞质内Ca2+浓度调节等等.所谓振荡，是指某种生命现象周而复始循环往复，在数学角度讲，是指某个或某些量呈现周期性的变化.其中变化的范围用振幅来刻画，而振荡的快慢用频率来刻画.
生物振荡在生物体内到处可见.其中有一种生物振荡较为特殊，称为“张弛振荡”，这类振荡有一对反向的快变的趋势和一对反向的慢变的趋势构成.张弛振荡是由van der Pol于1926年首次发现的，当时他在研究三极管电路的性质，这种电路呈现出自我维持的振荡.van der Pol发现对于系统参数在某个范围取值，振荡几乎是正弦的，但对于不同的范围振荡呈现出突变.在第二种情况下，振荡的周期与系统的张弛时间（时间常数）成正比，因而命名为张弛振荡.van der Pol又给出了张弛振荡的定义特性，具体表述如下：
1.振荡的周期由张弛时间的某种形式所决定；
2.它们代表了典型的非周期现象的一种自治重复；
3.与正弦振荡或谐波振荡截然不同，它们展现出不连续的跳跃；
4.非线性系统使用隐式阈值，有“全—或—无”规律的特点.
张弛振荡模型在二维系统中有如下的形式：
μ=f(x,y)，=g(x,y).（1）
其中μ1是时间常数，μ的大小决定了振荡周期的大小，系统中x和y都是纯量，并且f和g都是连续的.
本文以神经元发放的生物学模型INa，p+IK-模型（张弛振荡的）和IK+IKir-模型（非张弛振荡的）为例，对两者进行数值模拟分析，将两者进行对比，对张弛振荡和非张弛振荡振幅-频率进行探讨，得出张弛振荡与非张弛振荡各自的频率-振幅的变化规律.
二、模型分析
INa，p+IK-模型（persistent sodium plus potassium model）和IK+IKir-模型（persistent plus inwardly rectifying potassium model）都是计算神经科学中最基本的模型，它们都是H-H模型的特例.
INa，p+IK-模型的动力学方程表示如下：
C=I-gL(V-EL）IL-gNam∞(V-ENa)INa，p-gKn(V-EK)IK，（2）
=(n∞(V)-n)/τn(V).（3）
其中C表示膜电容，V表示膜电压，gL，gNa和gK分别表示漏电电流、钠电流和钾电流的导电系数，EL，ENa和EK分别表示漏电电流、钠电流和钾电流的静息电位，n为n门开放的概率，τn(V)分别表示n的张弛时间.
IK+IKir-模型的动力学方程表示如下：
C=I-gKirh(V-EK)IKir-gKn(V-EK)IK，（4）
=(n∞(V)-n)/τn(V).（5）
其中C,V,gK，n,EK和τn(V)的生物意义如INa，p+IK-模型所解释，gKir表示Kir电流（向内整流K+电流）的导电系数，h表示h门开放的概率.
对上述两个系统进行计算机数值模拟，让τ(V)在某个范围变化，计算其分叉图、相图、频率-振幅图，如图1所示.
a.INa，p+IK-模型
b.IK+IKir-模型
图1 张弛振荡与非张弛振荡的分叉图、相图与频率-振幅图
其中a图对应的微分方程为（2），b图对应的微分方程为（4）.其系统（2）的参数有：I=10，gL=8，gNa=20，gK=10，C=1，EL=-80，ENa=60，EK=-90；m∞(V)的参数：V12=-20，k=15；n∞(V)的参数：V12=-25，k=5；系统（4）的参数有：I=68，gKir=20，gK=2，C=1，EK=-80.
图1为张弛振荡与非张弛振荡的对照图.a图为张弛振荡（INa，p+IK-模型）的分叉图，其中嵌入了两个小图，频率-振幅图与相图，b图为非张弛振荡（IK+IKir-模型）的分叉图，其中也嵌入了频率-振幅图与相图两个小图.a，b两图中，左边的小图是相图（横坐标都是膜电压V，单位为mV；纵坐标都是n），右边的小图是频率-振幅图（横坐标都是频率f，单位为Hz；纵坐标都是振幅A，单位为mV）.
分析a图的分叉图，当τ取值于(0,a)时（计算可得a=0.13），系统只有一个稳定的焦点，不动点即为焦点，分叉图中τ取值于(0,a)时对应的曲线段的纵坐标即为对应于τ的不动点（焦点）的横坐标的值，即V的值.当τ=a时，系统发生Hopf分叉；当τ>a时，系统分叉出极限环，从分叉图中看即分叉上下两支.上支表示对应于不同的τ的极限环在V轴上投影的最大值，上支表示对应于不同的τ的极限环在V轴上投影的最小值，上下两支的高度差表示对应于τ的振幅.分叉图横轴为张弛时间（时间常数），不同的τ对应于不同的频率，从图中可以看出，当τ取值于(a,0.5)之间时，由Hopf分叉产生的上下两支陡峭地向上下两方扩张，即振幅由0开始迅速增加.当τ取值于(0.5,2)时，上下两支仍然向上下两方扩张，但扩张的程度逐渐减小；当τ取值大于2时，上下两支变化比较平缓，对应于振幅变化幅度不大.从而得出结论：当τ在某个合适的范围（此处可取τ>2）取值时，频率大幅度变化而振幅变化不大，即振幅基本上保持稳定；反过来说，让振幅取定某个适当的数值（允许振幅围绕这个数值作微小幅度的变化），对应的频率可以取遍某个较大范围的值，我们把这种现象叫作“频率对振幅可调”.
频率-振幅图中的曲线称为FAC（FrequencyAmplitude Curve）曲线.a图的频率-振幅图中，频率在(22,45)之间变化，FAC比较平坦，即当频率均匀变化时，振幅变化较小，基本上保持稳定.我们称使得振幅变化幅度较小的对应的τ的取值范围叫作τ的可调域.
从相图上看，该相图画出了τ=4,6,8（即τ属于可调域）时对应的相图，图中3个极限环相互之间非常靠近，对应其3个振幅也比较接近，相差不大，因此该相图也说明当张弛时间在可调域内取值时，其频率对振幅可调.
分析b图的分叉图，当τ取值于(0,b)时（计算可得b=1.51），系统只有一个稳定的焦点，分叉图中τ(0,b)时对应的曲线段即为τ与不动点（焦点）的V分量的关系曲线.当τ=b时，系统发生Hopf分叉；当τ>b时，系统分叉出极限环，类似于图a.从分叉图中可以看到，当τ在b右边的某个小邻域内取值时，由Hopf分叉产生的上下两支几乎成直线向上下两方扩张，即振幅由0开始迅速增加，当上下两支扩张到一定程度时，上下两支不平行地向右方扩张，对应于振幅变化较大.从而得出：在频率的任意范围内，非张弛振荡的频率与振幅不可调，频率大幅度变化而振幅的变化范围也较大.从频率-振幅图上也可看到，FAC是一条倾斜的曲线，并且是向上凸的，所以不存在一段平坦的曲线段FAC，使得在这段平坦曲线段上频率大幅度变化而振幅变化不大.再从相图上看，该相图画出了τ=5，15，25时对应的相图，发现3个相图大小形状各不相同，τ越大，对应相图水平方向的跨度也越大.因此，该相图也说明非张弛振荡的频率对振幅不可调.
三、结 论
本文通过对INa，p+IK-模型和IK+IKir-模型的讨论，得出张弛振荡与非张弛振荡的频率-振幅的关系特性.对于张弛振荡，让张弛时间参数取值于某个合适的范围，频率对振幅呈现出可调性；而对于非张弛振荡，无论张弛时间参数在任何范围取值，频率对振幅都不呈现可调性.
【参考文献】
［1］Tony,YuChen Tsai,Robust.Tunable Biological Oscillations from Interlinked Positive and negative Feedback Loops.Science：321，126（2008）.
［2］Eugene M.Izhikevich.Dynamical Systems in Neuroscience:The Geometry of Excitability and Bursting.The MIT Press, London, England.
［3］James Keener, James Sney.Mathematical Physiology (Second Edition).Springer.
［4］DeLiang Wang.Relaxation Oscillators and Networks.In J.G.Webster(ed.),Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, Wiley & Sons, Vol.18：396-405,1999.