为了九年制义务教育的需要，初中数学教学大纲降低了二次函数的教学要求，降低后具体要求为两点：第一，理解二次函数与抛物线的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴；第二，会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。学生升入高中后，仅凭初中所学的一点二次函数知识，是远远不能适应高中数学教学要求的，这就必须对二次函数知识内容与教学要求在衔接的基础上给予加深、拓广和拔高。
　　
　　一、进一步深入理解函数概念
　　
　　初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数。这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来更深入地认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A中的元素x对应，记为f(x)=ax2+ bx+c(a≠0)。这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　类型1：已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+1)。
　　这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　类型2：设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)。
　　这个问题可理解为已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　(1)把所给表达式表示成x+1的多项式
　　f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代替x+1，得：f(x)=x2－6x+6
　　(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用
　　令t=x+1，则x=t-1
　　 ∴f(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6
　　从而f(x)= x2－6x+6
　　
　　二、二次函数的单调性、最值与图象
　　
　　在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间及上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上。与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
　　类型3：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性：
　　（1）y=x2+2|x-1|-1；
　　（2）y=|x2-1|；
　　（3）y=x2+2|x|-1。
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象的方法。
　　
　　三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维
　　
　　类型4：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0　　(1)当x∈(0,x1)时，求证：x　　(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，求证：x0<。
　　解题思路：本题要证明的是x　　现以思路②为例解决这道题：
　　(1)先证明x　　因为00,又a＞0,因此f(x)＞0,即f(x)-x＞0。至此,证得x　　根据韦达定理,有x1x2=
　　∵ 0＜x1＜x2<，c=ax1x2　　又c=f(0)
　　∴f(0)　　根据二次函数的性质，曲线y=f(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=f(x)在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f(x1)>f(0)，所以当x∈(0,x1)时f(x)　　即x　　(2)∵f(x)=ax2+bx+c=a（x+）2+(c-)（a>0）
　　函数f(x)的图象的对称轴为直线x=－,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意得x0=－，因为x1、x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据韦达定理得x1+x2=－。
　　∵x2－<0
　　∴x0=－=（x1+x2－）<,即x0=
　　综上所述，二次函数具有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　
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