谈求函数最值问题的四种常用方法

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  [摘 要]求函数最值问题是高中数学教学的重点之一,也是高考必考内容.探究求函数最值的方法有实际意义.
  [关键词]函数;最值问题;方法
  [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058(2018)02003101
  求函数最值问题对培养学生分析问题的能力、思维能力、数形结合能力和运算能力等有着重要意义.求函数最值问题对学生来讲是重点和难点,在教学中教师要千方百计加以突破.
  一、函数最值的定义
  一般的,设函数y=f(x)的定义域为Ⅰ,如果存在实数m满足,
  (1)对于任意的x∈Ⅰ,都有f(x)≤m.(f(x)≥m)
  (2)存在x0∈Ⅰf(x0)=m.
  那么,我们称m是函数y=f(x)的最大值(最小值).
  在实际生产实践中,为了提高经济效益,必须考虑在一定的条件下,怎样才能使用料最省,费用最低,收益最大等问题.
  二、几种常见的求最值的方法
  1.配方法
  主要用于二次函数或可转化为二次函数的函数.解题过程中要注意自变量的取值范围.
  【例1】 已知函数y=(ex-1)2 (e-x-1)2,求函数y的最小值.
  分析:将函数按ex e-x配方,转化为变量ex e-x的二次函数.
  解:y=(ex-1)2 (e-x-1)2=
  利用二次函数的性质求最值时,要注意自变量的取值范围以及对称轴与区间的相对位置.
  2.换元法
  换元法主要有三角换元法和代数换元法.在换元时要注意中间变量的取值范围.
  【例2】 求函数y=x
   1-x
  的最大值与最小值.
  解:先求函数的定义域,得0≤x≤1.
  则令x=sin2θ,θ∈0,π2,
  则y=sinθ cosθ=
  3.反函数法
  先求自变量的表达式,利用自变量范围推导y的范围.
  【例3】 求函数y=x2x2 1(x∈R)
  的最小值.
  解:由
  本题用求反函数的方法,通过x2≥0,推导出y的范圍.
  4.不等式法
  【例4】 某村计划建造一个室内面积800m2的矩形菜温室.在温室内,沿左右两侧与后侧内墙各保留1m高的通道,沿前侧内墙保留3m高的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜种植面积最大?
  解:设温室的左侧边长为xm,则后墙边长为800xm.
  答:当左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜种植面积最大.本题利用均值不等式解决问题时,要考虑“一正、二定、三相等”.
  (责任编辑 黄桂坚)
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