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[摘 要]数学思想是解决线段和角相关问题的常用思想，主要通过例题对数学思想中的方程思想、分类讨论思想、整体思想、类比思想进行了阐述，以此说明数学思想在解决线段和角问题过程中的重要作用.
[关键词]线段 角 数学思想 应用
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230036
在解决有关线段与角的问题中，常用到一些数学思想，现针对方程思想、分类讨论思想、整体思想、类比思想，列举这几个数学思想在有关线段与角的问题中的应用.
一、方程思想
方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程来使问题获解.在解决有关线段与角的问题中常用到这种思想.
图1
【例1】 如图1，在直线上，AB∶BC∶CD=2∶3∶4，点M、N分别是AB、CD的中点，已知MN=60cm，求AD的长.
分析：根据条件AB∶BC∶CD=2∶3∶4这一特点，
设AB=2x，则BC=3x，CD=4x，由点M、N分别是AB、CD的中点，
可将MN用含x的式子表示.根据MN=60cm，建立方程，求出x，从而求得AD的长.
解：设AB=2xcm，则BC=3xcm，CD=4xcm.
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴MB=12AB，CN=12CD，
∴MN=MB BC CN=12AB BC 12CD=12×2x 3x 12×4x=6x.
∵MN=60cm，
∴6x=60，得x=10.
∴AD=AB BC CD=2x 3x 4x=9x=9×10=90cm.
点评：当已知线段被分成几条线段的长度比时，可根据比例设未知数x，用含x的式子表示相关线段的长度，然后列方程，求出x的值，进而求出线段的长.
【例2】 一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数.
分析：设出这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°，根据这个角的补角比它的余角的4倍还多15°，可列出方程求出x的值.
解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°.
根据题意，得180-x=4×（90-x） 15，解这个方程得x=65.
故这个角是65°.
点评：求解此类问题的关键是正确理解互为余角和互为补角的概念.对于较为复杂的数量关系，可设其中的一个未知角为未知数，利用方程思想找出相关角之间的关系，列出方程，求出未知数，解决问题.
二、分类讨论的思想
分类讨论思想在解决有关线段与角的问题中经常用到.当题目中的条件不确定时，一般解题时必须分情况进行讨论.
【例3】 已知线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，求线段AC的长.
分析：本题中没有给出图形，画出符合题意的图形是解题的关键，点C既可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，故要分两种情况讨论.
解：分两种情况：
图2图3
（1）当点C在线段AB上时，如图2，AC=AB-BC=7-3=4（cm）；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图3，AC=AB BC=7 3=10（cm）.
所以线段AC的长为4cm或10cm.
点评：本题没有指明图形的位置，且题目中没有图形，因此图形位置具有不确定性，所以解题时要分类讨论.
【例4】 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数.
分析：根据已知条件不能确定OC的位置，OC可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，所以要分两种情况讨论.
图4
解：（1）当OC在∠AOB的内部时，如图4所示.
因为OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，
所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=50°-30°=20°.
图5
（2）当OC在∠AOB的内部时，如图5所示.
因为OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，
所以∠DOE=∠BOD ∠BOE=50° 30°=80°.
综上所述，∠DOE的度数为20°或80°.
点评：在解决没给出图形的几何题时，若已知条件中图形的位置
关系不明确，往往要进行分类讨论，注意多解.
三、整体思想
整体思想就是从整体的角度思考问题，将局部放在整体中去解决问题.
图6
【例5】 如图6，已知C、D是线段AB上的两点，点E、F分别为AC、BD的中点，AB=15，CD=6，求线段EF的长度.
分析：由于EF=EC CD DF，但无法求出线段AC、BD的长度，也就无法求出线段EC、DF的长度，只能把线段EC DF看作一个整体.
解：因为点E、F分别为AC、BD的中点，
所以EC=12AC，DF=12BD，
所以EF=EC CD DF=12AC CD 12BD=12（AC BD） CD=12（AB-CD） CD=12×（15-6） 6
[关键词]线段 角 数学思想 应用
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230036
在解决有关线段与角的问题中，常用到一些数学思想，现针对方程思想、分类讨论思想、整体思想、类比思想，列举这几个数学思想在有关线段与角的问题中的应用.
一、方程思想
方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程来使问题获解.在解决有关线段与角的问题中常用到这种思想.
图1
【例1】 如图1，在直线上，AB∶BC∶CD=2∶3∶4，点M、N分别是AB、CD的中点，已知MN=60cm，求AD的长.
分析：根据条件AB∶BC∶CD=2∶3∶4这一特点，
设AB=2x，则BC=3x，CD=4x，由点M、N分别是AB、CD的中点，
可将MN用含x的式子表示.根据MN=60cm，建立方程，求出x，从而求得AD的长.
解：设AB=2xcm，则BC=3xcm，CD=4xcm.
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴MB=12AB，CN=12CD，
∴MN=MB BC CN=12AB BC 12CD=12×2x 3x 12×4x=6x.
∵MN=60cm，
∴6x=60，得x=10.
∴AD=AB BC CD=2x 3x 4x=9x=9×10=90cm.
点评：当已知线段被分成几条线段的长度比时，可根据比例设未知数x，用含x的式子表示相关线段的长度，然后列方程，求出x的值，进而求出线段的长.
【例2】 一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数.
分析：设出这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°，根据这个角的补角比它的余角的4倍还多15°，可列出方程求出x的值.
解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°.
根据题意，得180-x=4×（90-x） 15，解这个方程得x=65.
故这个角是65°.
点评：求解此类问题的关键是正确理解互为余角和互为补角的概念.对于较为复杂的数量关系，可设其中的一个未知角为未知数，利用方程思想找出相关角之间的关系，列出方程，求出未知数，解决问题.
二、分类讨论的思想
分类讨论思想在解决有关线段与角的问题中经常用到.当题目中的条件不确定时，一般解题时必须分情况进行讨论.
【例3】 已知线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，求线段AC的长.
分析：本题中没有给出图形，画出符合题意的图形是解题的关键，点C既可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，故要分两种情况讨论.
解：分两种情况：
图2图3
（1）当点C在线段AB上时，如图2，AC=AB-BC=7-3=4（cm）；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图3，AC=AB BC=7 3=10（cm）.
所以线段AC的长为4cm或10cm.
点评：本题没有指明图形的位置，且题目中没有图形，因此图形位置具有不确定性，所以解题时要分类讨论.
【例4】 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数.
分析：根据已知条件不能确定OC的位置，OC可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，所以要分两种情况讨论.
图4
解：（1）当OC在∠AOB的内部时，如图4所示.
因为OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，
所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=50°-30°=20°.
图5
（2）当OC在∠AOB的内部时，如图5所示.
因为OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，
所以∠DOE=∠BOD ∠BOE=50° 30°=80°.
综上所述，∠DOE的度数为20°或80°.
点评：在解决没给出图形的几何题时，若已知条件中图形的位置
关系不明确，往往要进行分类讨论，注意多解.
三、整体思想
整体思想就是从整体的角度思考问题，将局部放在整体中去解决问题.
图6
【例5】 如图6，已知C、D是线段AB上的两点，点E、F分别为AC、BD的中点，AB=15，CD=6，求线段EF的长度.
分析：由于EF=EC CD DF，但无法求出线段AC、BD的长度，也就无法求出线段EC、DF的长度，只能把线段EC DF看作一个整体.
解：因为点E、F分别为AC、BD的中点，
所以EC=12AC，DF=12BD，
所以EF=EC CD DF=12AC CD 12BD=12（AC BD） CD=12（AB-CD） CD=12×（15-6） 6