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摘 要：数形结合是中职数学最为基本的思想方法，在中职数学教学中渗透这种思想，有利于学生深入理解数学概念，提升数学素养，强化思维能力训练，同时有利于学生把握数学本质，进行技能提升和智能发展，还有利于创新型人才的发展与培养。就中职数学实施数形结合教学的途径而言，教师应联系数学学科发展，强化数形结合思想认识；借助直观的数学图形感知数学概念，体会数形结合思想的应用价值；根据图像分析感知函数形式，初步培养学生的数形结合思想；在三角函数和解析几何中强化数形结合思想。
关键词：中职数学；数形结合；有效性
中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）05-0087-03
DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.053
数形结合是数学最为重要的思想理念，能够实现抽象与具体的融合，真正做到把抽象数学知识具体化，将具体现象和问题理论化。从数学的起源和应用来看，数学知识是从具体现象和图形中概括出一般的定理和规律，数学应用则是用抽象的数学知识理论解决各种形式的形象化、具体化的生产、生活问题。中职数学教学中渗透数形结合思想，是培养学生思维和素养的根本要求，也是提高学生学习能力的重要方式，能为学生找到更为方便快捷的解题方式，训练学生的思维能力，提高学习效率。因此，教师要重视数形结合思想在教学中的渗透，采取有效策略，培养学生的数学思想，降低数学学习的难度系数，实现抽象的数学知识形象化以及数学教学的直观化、生动化，最终提高教学效率。
一、联系数学学科发展，强化数形结合思想认识
让学生记住一些概念，掌握一些公式、定理，做一些常规习题较为容易，但是，培养学生的数学思维、数学思想是一项综合性教育实践活动，既需要思想方面的引导，又需要意识领域的强化，还要做到理论与实践相结合、认识与现实相统一。培养学生的数形结合思想，首先应该认识数学的本质，从数学的起源感知数学的发展规律，让学生能够真正感知数形结合思想在数学学科发展和应用研究方面的重要性。在漫长的数学发展历史长河里，“数”产生的原因是现实生活中有太多的“形”需要进行计算，在处理各种生产生活中的问题时，必须通过一些数的对接和转化才能实现形的变化和衔接，通过建立数量关系能够非常方便、快捷地分析和处理各种问题。
比如，分数产生就是一个非常典型的例子，远古人类是打结计数，生活或生产中遇到了不能用整段绳子进行表示的问题，产生半数现象。
针对这个问题，先人创造性地发明了半数绳子的表现形式——分数，也就有了最初的分数与整数之间的换算，接着便有了分数之间的运算。这些数的确立和界定又需要通过具体的形表呈现和记录，还有很多的数量关系以及各种计算整合的技巧和方法都需要通过一些具体的形的方式进行标注，这样数量关系从产生到应用就有着非常紧密的关系。让学生感知数学的发展演变，感知数与形的特殊关系，强化学生的数形结合思想，让学生在学习数学的时候，看到各种数学问题，观察一些数据、算式的时候，要想到对应的图形；看到一些生活中的现象，一些生产应用的实际问题，要想到运用数来量化分析。
例如，函数是中职数学中最为重要的知识，应用非常广泛。学习掌握函数的相关知识时，要学会借助绘制图像的方式将各种函数关系具体直观地呈现出来，然后再借助函数图像感知函数的性质、特点，把握二者之间的关系。这样，教师引导学生学习函数时，不仅能够降低学习的难度，还能够教会学生如何分析数学问题，培养他们的数形结合思想，让学生更加形象、直观地感知、理解和应用函数知识。在分析现实生活中的一些特殊商品的价格波动时，可以引导学生运用图像和具体数据的融合，分析一些现象背后的问题。比如，从2015年10月开始，猪肉价格上涨，一直持续到现在，而与之相对应的活羊及羊肉的价格却一直呈现明显的下降趋势。让学生根据这一材料绘制出随时间变化的猪肉和羊肉价格走势曲线图，再进一步向前搜集更多的猪肉和羊肉价格的相关数据，绘制出最近几年猪羊肉价格的发展趋势。这样，能够将平时较为凌乱的价格数据转换成体现一定趋势和发展变化规律的图形，实现数形结合，以此分析价格走势的一般规律，找到影响价格走势的基本要素，这样有利于对以后的发展变化做出科学合理的预判，从而更好地指导存栏和出栏生产。这样能够让学生从数学学科的起源、发展和现实应用等方面感知数形结合思想。
二、借助直观的图形感知数学概念，体会数形结合思想的应用价值
概念教学是数学教学的重点和难点，学生感到很多数学概念较为抽象，不容易理解，不少学生不能快速分析判断和高效做题，一个重要的原因是未能真正理解概念的内涵。概念是思维逻辑的基本要素，也是学生学好数学的前提，学生记住了概念，不代表能够真正理解概念，也不能保证他们能够正确应用好数学概念。借助直观形象的图形引导学生感知理解数学概念，降低理解难度，提高教学效率，减少认知强度，增加学习乐趣；深入全面掌握數学概念，细致精准地把握数学内涵。
例如，学习集合的相关教学内容时，对于很多高一学生来说，一开始就接触这样抽象的数学概念，感到非常难以理解，涉及元素、子集、集合等关系也是非常迷茫。此时，运用图像展示的方式帮助学生感知具体概念，既是实现初中与高中教学方式的衔接过渡，也是一开始就渗透数形结合思想的具体表现。先用韦恩图来向学生展示集合的另一种体现方式。通过平面里面一条封闭曲线的内部体现一个集合，接着组织引导学生开展合作讨论，两条封闭曲线可以有几种位置关系，并鼓励学生通过实践来演示，学生非常积极，很快画出了4种位置关系，如图：
再组织学生观察图中四种位置关系的不同之处，运用刚刚学习的集合概念表述他们的关系，学生很容易就找到了恰当的表述语言：（1）中A和B没有重合的共同部分，也就可以判定他们没有共同的元素；（2）中两者有明显的重合部分，这就说明他们有着一部分共同的元素，还有一些彼此独有的元素；（3）中B完全将A包括进去了，而图（4）中的两个集合A和B是完全重合的。所以，可以再将子集划分为两大类：第一，真子集也就是集合A是集合B的子集，而且是集合B中至少有一个元素不属于集合A，而集合A中的所有的元素都属于集合B，如图（3）的关系；第二，集合相同，也就是说，集合A和集合B完全重合，集合A中的所有元素都属于集合B，且集合B中所有的元素都属于集合A，如图（4）的关系。通过韦恩图能够让学生非常直观地感知集合、元素、真子集、集合相等所有的较为抽象的概念和相互关系，让学生真正领悟集合的思想，更能够让学生以此类比，用集合的思维去分析现实生活中的各种关系。 然后，引导学生去感知集合的运算，让学生从字面上体会认知“交”“补”“并”的集合间的相互关系和内在含义，再指导学生用韦恩图图形来表述他们的内在含义，从最为直观的层面来感知分析他们的具体含义，真正理解集合语言，将数形结合思想渗透到集合教学的全过程，真正培养学生的数形结合思维。
三、根据图像分析感知函数形式，初步培养学生的数形结合思想
函数是数学教学的重点，也是最能体现数学思想的知识体系。传统的函数定义是从运动变化的角度来表述，而近代函数则是从映射与集合的观点分析阐释。虽然学生在初中阶段已经接触了简单的一次函数和二次函数，也能感知函数图像和函数的简单关系。但是，那时的学习内容非常简单，很多学生只是掌握一些基本的概念，会做一些最为简单的习题，尤其是初中让学生运用集合语言表述函数的定义、性质，运用代数的手段判断函数的奇偶性以及单调性，这样抽象的关系很多学生感到很不容易。为此，教师需要先做基本的引导，让学生逐步了解。
比如，学习了函数的基本概念以后，教师可以根据学生的理解和感悟程度，向学生设置这样一道习题：下列图像之中哪个不能够作为函数的图像。
教师可先引导学生从形的角度来强化函数的定义和性质。再比如，研究一次函数与二次函数图像和性质时，在初中阶段已经掌握了基本的描点法做函数图像，由此，依照建构主义思想，让学生能够通过列表、描点、连线几个基本的步骤，画出函数的图像，再让学生从数的角度去感知函数的奇偶性和单调性，让学生借助图像能够非常直观地理解函数的奇偶和单调，再进一步鼓励学生根据图形来感知函数的对称性，让学生全面理解函数的定义和性质，既有文字的表述，又有数据的反映，更有图像的呈现，学生也就能够真正领悟到“数没有了形就不能直观，形离开了数就难以入微”。
在解函数问题时，进一步引导学生运用函数图像，达到简洁、直观、快捷的效果。让学生学会借助函数图像研究函数性质，并真正体会函数图像的几何特征与数量特征的紧密对应关系，掌握数形结合的特征和方法。
例如，已知函数
若，求a的取值范围。
分析，如果单一的让学生根据函数定义和条件，学生感到较为抽象，也难以理解，而运用数形结合思想，则显得直观而又快捷。
由
得
=
由
又，所以，
在同一个坐标系中，分别作出函数和函数的图像，如图所示，能够非常直观地断定两个图像相切，此时
可见，运用数形结合思想解决函数问题，能够根据函数的解析式画出函数的图像，又可以非常直观地利用函数图像分析解题。解决函数问题不是教学的根本目的，培养学生的思维方式才是教学的重点，引导学生能够在具体问题分析时实现数与形的结合，建立准确的对应关系，培养他们的数学素养。
四、在三角函数和解析几何中强化数形结合思想
三角函数和解析几何是中职数学教学的重要内容，占有相当大的比重。三角函数和解析几何都是数形结合的典范，是渗透数形结合思想的重要载体，是理解和解决数学问题的重要方式。一直以来，三角函数是学生理解的难点，也是解决比较数值大小及最值问题的设题重点。一般都是将函数化成基本三角函数的形式，通过三角函数的图像或者单位圆快速解决问题，是数形结合思想的典型应用。
例如，设函数则（ ）
A 在区间是增函数
B 在区间是减函数
C 在区间是增函数
D 在区间是减函数
分析：要想更好地解决这个问题，运用数形结合思想是最好的处理方式，画出函数的图像，根据具体的区间能够做出非常直观的判断。首先做出函数的图像，如下图，根据图像对应的自变量区间，准确判断该题的正确选项为A。
中职数学中，解析几何是学习的重点，也是考试命题的重点，更是培养学生数学应用能力的关键点。研究解析结合不仅让学生学会做一些习题，更为重要的是培养学生的应用能力，使其能够运用数学知识分析一些现实问题，同时培养学生的空间想象能力。解决解析几何问题的基本思想就是数形结合，在解析几何教学中渗透数形结合思想，提高学生的解题能力，又是强化学生数形结合思维方式的重要载体。研究几何图形的性质和定义，离不开对应的图像，解决相关的问题，需要画出相关的图形，无论是圆双曲线还是抛物线、双曲线以及一些空间图形的性质及定理。每年的高考都会设置立体几何和解析几何的试题，需要重点强化学生的数形结合思想，提升学生考试成绩，培养学生数学素养。
例如，如果直线与曲线无公共点，则 k，b需要满足的条件是 ，在分析讲解这道试题的時候，需要强化学生的数形结合思想。首先做出函数的图像，如图所示，由此可以看出，
总之，中职数学最为基本的思想方法是数形结合，中职数学重在培养学生的思维能力，强化他们的数学思想，以此更好地丰富他们的数学素养。在教学中重视数形结合思想，注重渗透这种思想，能够化抽象为具体，将枯燥的数学知识理论学习变得较为生动直观，激发他们的数学学习兴趣，展现数学的魅力。让学生既能够深入理解数学概念，高效解决数学问题，又能够强化数学素养，提升技能，促进自身智能发展。
参考文献：
[1] 杨薇.例谈中职数学中数形结合思想的渗透——等差数列前项和公式的推导[J].中国校外教育，2016（1）：148-149.
[2] 张志开.巧借数形结合思想提升中职数学解题效率[J].理科考试研究（初中版），2016（1）：2.
[3] 黄全胜.“数形结合”思想方法在中职数学教学中的应用[J].中学生数理化（教与学），2016（6）：33.
[4] 代德全，盘如春.数形结合的思想在高中数学课堂中的实施[J].数学学习与研究，2016（11）：109.
[5] 伊建军.玩转数形结合提升数学思维——数学思想与解题方法专题之数形结合思想[J].中学教研（数学），2016（2）：31-34.
[6] 王绍凤.数形结合方法在高中数学教学中的融入[J].数学学习与研 究，2016（3）：58.
[责任编辑 齐真]
关键词：中职数学；数形结合；有效性
中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）05-0087-03
DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.053
数形结合是数学最为重要的思想理念，能够实现抽象与具体的融合，真正做到把抽象数学知识具体化，将具体现象和问题理论化。从数学的起源和应用来看，数学知识是从具体现象和图形中概括出一般的定理和规律，数学应用则是用抽象的数学知识理论解决各种形式的形象化、具体化的生产、生活问题。中职数学教学中渗透数形结合思想，是培养学生思维和素养的根本要求，也是提高学生学习能力的重要方式，能为学生找到更为方便快捷的解题方式，训练学生的思维能力，提高学习效率。因此，教师要重视数形结合思想在教学中的渗透，采取有效策略，培养学生的数学思想，降低数学学习的难度系数，实现抽象的数学知识形象化以及数学教学的直观化、生动化，最终提高教学效率。
一、联系数学学科发展，强化数形结合思想认识
让学生记住一些概念，掌握一些公式、定理，做一些常规习题较为容易，但是，培养学生的数学思维、数学思想是一项综合性教育实践活动，既需要思想方面的引导，又需要意识领域的强化，还要做到理论与实践相结合、认识与现实相统一。培养学生的数形结合思想，首先应该认识数学的本质，从数学的起源感知数学的发展规律，让学生能够真正感知数形结合思想在数学学科发展和应用研究方面的重要性。在漫长的数学发展历史长河里，“数”产生的原因是现实生活中有太多的“形”需要进行计算，在处理各种生产生活中的问题时，必须通过一些数的对接和转化才能实现形的变化和衔接，通过建立数量关系能够非常方便、快捷地分析和处理各种问题。
比如，分数产生就是一个非常典型的例子，远古人类是打结计数，生活或生产中遇到了不能用整段绳子进行表示的问题，产生半数现象。
针对这个问题，先人创造性地发明了半数绳子的表现形式——分数，也就有了最初的分数与整数之间的换算，接着便有了分数之间的运算。这些数的确立和界定又需要通过具体的形表呈现和记录，还有很多的数量关系以及各种计算整合的技巧和方法都需要通过一些具体的形的方式进行标注，这样数量关系从产生到应用就有着非常紧密的关系。让学生感知数学的发展演变，感知数与形的特殊关系，强化学生的数形结合思想，让学生在学习数学的时候，看到各种数学问题，观察一些数据、算式的时候，要想到对应的图形；看到一些生活中的现象，一些生产应用的实际问题，要想到运用数来量化分析。
例如，函数是中职数学中最为重要的知识，应用非常广泛。学习掌握函数的相关知识时，要学会借助绘制图像的方式将各种函数关系具体直观地呈现出来，然后再借助函数图像感知函数的性质、特点，把握二者之间的关系。这样，教师引导学生学习函数时，不仅能够降低学习的难度，还能够教会学生如何分析数学问题，培养他们的数形结合思想，让学生更加形象、直观地感知、理解和应用函数知识。在分析现实生活中的一些特殊商品的价格波动时，可以引导学生运用图像和具体数据的融合，分析一些现象背后的问题。比如，从2015年10月开始，猪肉价格上涨，一直持续到现在，而与之相对应的活羊及羊肉的价格却一直呈现明显的下降趋势。让学生根据这一材料绘制出随时间变化的猪肉和羊肉价格走势曲线图，再进一步向前搜集更多的猪肉和羊肉价格的相关数据，绘制出最近几年猪羊肉价格的发展趋势。这样，能够将平时较为凌乱的价格数据转换成体现一定趋势和发展变化规律的图形，实现数形结合，以此分析价格走势的一般规律，找到影响价格走势的基本要素，这样有利于对以后的发展变化做出科学合理的预判，从而更好地指导存栏和出栏生产。这样能够让学生从数学学科的起源、发展和现实应用等方面感知数形结合思想。
二、借助直观的图形感知数学概念，体会数形结合思想的应用价值
概念教学是数学教学的重点和难点，学生感到很多数学概念较为抽象，不容易理解，不少学生不能快速分析判断和高效做题，一个重要的原因是未能真正理解概念的内涵。概念是思维逻辑的基本要素，也是学生学好数学的前提，学生记住了概念，不代表能够真正理解概念，也不能保证他们能够正确应用好数学概念。借助直观形象的图形引导学生感知理解数学概念，降低理解难度，提高教学效率，减少认知强度，增加学习乐趣；深入全面掌握數学概念，细致精准地把握数学内涵。
例如，学习集合的相关教学内容时，对于很多高一学生来说，一开始就接触这样抽象的数学概念，感到非常难以理解，涉及元素、子集、集合等关系也是非常迷茫。此时，运用图像展示的方式帮助学生感知具体概念，既是实现初中与高中教学方式的衔接过渡，也是一开始就渗透数形结合思想的具体表现。先用韦恩图来向学生展示集合的另一种体现方式。通过平面里面一条封闭曲线的内部体现一个集合，接着组织引导学生开展合作讨论，两条封闭曲线可以有几种位置关系，并鼓励学生通过实践来演示，学生非常积极，很快画出了4种位置关系，如图：
再组织学生观察图中四种位置关系的不同之处，运用刚刚学习的集合概念表述他们的关系，学生很容易就找到了恰当的表述语言：（1）中A和B没有重合的共同部分，也就可以判定他们没有共同的元素；（2）中两者有明显的重合部分，这就说明他们有着一部分共同的元素，还有一些彼此独有的元素；（3）中B完全将A包括进去了，而图（4）中的两个集合A和B是完全重合的。所以，可以再将子集划分为两大类：第一，真子集也就是集合A是集合B的子集，而且是集合B中至少有一个元素不属于集合A，而集合A中的所有的元素都属于集合B，如图（3）的关系；第二，集合相同，也就是说，集合A和集合B完全重合，集合A中的所有元素都属于集合B，且集合B中所有的元素都属于集合A，如图（4）的关系。通过韦恩图能够让学生非常直观地感知集合、元素、真子集、集合相等所有的较为抽象的概念和相互关系，让学生真正领悟集合的思想，更能够让学生以此类比，用集合的思维去分析现实生活中的各种关系。 然后，引导学生去感知集合的运算，让学生从字面上体会认知“交”“补”“并”的集合间的相互关系和内在含义，再指导学生用韦恩图图形来表述他们的内在含义，从最为直观的层面来感知分析他们的具体含义，真正理解集合语言，将数形结合思想渗透到集合教学的全过程，真正培养学生的数形结合思维。
三、根据图像分析感知函数形式，初步培养学生的数形结合思想
函数是数学教学的重点，也是最能体现数学思想的知识体系。传统的函数定义是从运动变化的角度来表述，而近代函数则是从映射与集合的观点分析阐释。虽然学生在初中阶段已经接触了简单的一次函数和二次函数，也能感知函数图像和函数的简单关系。但是，那时的学习内容非常简单，很多学生只是掌握一些基本的概念，会做一些最为简单的习题，尤其是初中让学生运用集合语言表述函数的定义、性质，运用代数的手段判断函数的奇偶性以及单调性，这样抽象的关系很多学生感到很不容易。为此，教师需要先做基本的引导，让学生逐步了解。
比如，学习了函数的基本概念以后，教师可以根据学生的理解和感悟程度，向学生设置这样一道习题：下列图像之中哪个不能够作为函数的图像。
教师可先引导学生从形的角度来强化函数的定义和性质。再比如，研究一次函数与二次函数图像和性质时，在初中阶段已经掌握了基本的描点法做函数图像，由此，依照建构主义思想，让学生能够通过列表、描点、连线几个基本的步骤，画出函数的图像，再让学生从数的角度去感知函数的奇偶性和单调性，让学生借助图像能够非常直观地理解函数的奇偶和单调，再进一步鼓励学生根据图形来感知函数的对称性，让学生全面理解函数的定义和性质，既有文字的表述，又有数据的反映，更有图像的呈现，学生也就能够真正领悟到“数没有了形就不能直观，形离开了数就难以入微”。
在解函数问题时，进一步引导学生运用函数图像，达到简洁、直观、快捷的效果。让学生学会借助函数图像研究函数性质，并真正体会函数图像的几何特征与数量特征的紧密对应关系，掌握数形结合的特征和方法。
例如，已知函数
若，求a的取值范围。
分析，如果单一的让学生根据函数定义和条件，学生感到较为抽象，也难以理解，而运用数形结合思想，则显得直观而又快捷。
由
得
=
由
又，所以，
在同一个坐标系中，分别作出函数和函数的图像，如图所示，能够非常直观地断定两个图像相切，此时
可见，运用数形结合思想解决函数问题，能够根据函数的解析式画出函数的图像，又可以非常直观地利用函数图像分析解题。解决函数问题不是教学的根本目的，培养学生的思维方式才是教学的重点，引导学生能够在具体问题分析时实现数与形的结合，建立准确的对应关系，培养他们的数学素养。
四、在三角函数和解析几何中强化数形结合思想
三角函数和解析几何是中职数学教学的重要内容，占有相当大的比重。三角函数和解析几何都是数形结合的典范，是渗透数形结合思想的重要载体，是理解和解决数学问题的重要方式。一直以来，三角函数是学生理解的难点，也是解决比较数值大小及最值问题的设题重点。一般都是将函数化成基本三角函数的形式，通过三角函数的图像或者单位圆快速解决问题，是数形结合思想的典型应用。
例如，设函数则（ ）
A 在区间是增函数
B 在区间是减函数
C 在区间是增函数
D 在区间是减函数
分析：要想更好地解决这个问题，运用数形结合思想是最好的处理方式，画出函数的图像，根据具体的区间能够做出非常直观的判断。首先做出函数的图像，如下图，根据图像对应的自变量区间，准确判断该题的正确选项为A。
中职数学中，解析几何是学习的重点，也是考试命题的重点，更是培养学生数学应用能力的关键点。研究解析结合不仅让学生学会做一些习题，更为重要的是培养学生的应用能力，使其能够运用数学知识分析一些现实问题，同时培养学生的空间想象能力。解决解析几何问题的基本思想就是数形结合，在解析几何教学中渗透数形结合思想，提高学生的解题能力，又是强化学生数形结合思维方式的重要载体。研究几何图形的性质和定义，离不开对应的图像，解决相关的问题，需要画出相关的图形，无论是圆双曲线还是抛物线、双曲线以及一些空间图形的性质及定理。每年的高考都会设置立体几何和解析几何的试题，需要重点强化学生的数形结合思想，提升学生考试成绩，培养学生数学素养。
例如，如果直线与曲线无公共点，则 k，b需要满足的条件是 ，在分析讲解这道试题的時候，需要强化学生的数形结合思想。首先做出函数的图像，如图所示，由此可以看出，
总之，中职数学最为基本的思想方法是数形结合，中职数学重在培养学生的思维能力，强化他们的数学思想，以此更好地丰富他们的数学素养。在教学中重视数形结合思想，注重渗透这种思想，能够化抽象为具体，将枯燥的数学知识理论学习变得较为生动直观，激发他们的数学学习兴趣，展现数学的魅力。让学生既能够深入理解数学概念，高效解决数学问题，又能够强化数学素养，提升技能，促进自身智能发展。
参考文献：
[1] 杨薇.例谈中职数学中数形结合思想的渗透——等差数列前项和公式的推导[J].中国校外教育，2016（1）：148-149.
[2] 张志开.巧借数形结合思想提升中职数学解题效率[J].理科考试研究（初中版），2016（1）：2.
[3] 黄全胜.“数形结合”思想方法在中职数学教学中的应用[J].中学生数理化（教与学），2016（6）：33.
[4] 代德全，盘如春.数形结合的思想在高中数学课堂中的实施[J].数学学习与研究，2016（11）：109.
[5] 伊建军.玩转数形结合提升数学思维——数学思想与解题方法专题之数形结合思想[J].中学教研（数学），2016（2）：31-34.
[6] 王绍凤.数形结合方法在高中数学教学中的融入[J].数学学习与研 究，2016（3）：58.
[责任编辑 齐真]