在工科线性代数教学中渗透科学计算能力的培养

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  摘 要:本文针对工科线性代数教学中关于渗透科学计算能力培养的若干问题进行了研究,主要是把科学计算软件MATLAB引入线性代数的教学,提出一种新的“了解——应用——扩展”三阶段教学方法。
  关键词:线性代数教学;科学计算能力;MATLAB软件
  线性代数是高等工科院校的一门重要基础课,它以讨论有限维空间线性理论为主,具有较强的抽象性与逻辑性。该课程不仅有自身的理论体系,而且还是一门应用性很强的课程,它在理工科各专业中得到广泛的应用,对培养学生掌握基本的理论基础知识,形成严密的逻辑思维能力和综合运用所学知识开拓创新的能力,奠定开展后续专业课程学习的基础具有重要作用。随着互联网和计算机技术的迅速发展,科学计算在工程技术中的基础地位日益突出,用矩阵方法解决实际问题已渗透到众多领域,因此,提高大学生用计算机解决线性代数问题的实践能力,是后续课现代化的迫切要求。
  一、在工科线性代数教学中培养科学计算能力的必要性
  现有的工科线性代数教学内容和教学方法只往往注重自身的理论体系,强调线性代数的基本定义、定理及其证明,对线性代数的方法和应用重视不够,几乎不涉及数值计算。存在的不足主要包括[1]:
  ①它的大纲不能满足后续课的需求,目前所教的方法后续课无法用来解题;
  ②它不教计算机解题,停留在手工计算,不符合现代化的要求,落后于美国约15年。
  学生到大学来培养四年,不仅仅是学习了很多课程,掌握了一定的知识。更重要的应该掌握了一些科学方法,获得了比中学高一个层次的能力。这些能力包括:获取新知识的能力,科学概括和建模的能力,分析和计算能力,实际动手能力、形象表达自己思维的能力等等。环顾目前我国各大学的线性代数教学计划,在科学计算能力方面几乎都只是一句抽象的口号,没有系统的安排。因此大学生四年中对各门课程的解题,基本上还是用计算器来完成,其效率极低,不仅浪费了大量宝贵的学习时间,而且使学生在建模思维的创新上,受到很大的限制。
  而科学计算软件通常都以矩阵为模型实现成群数据的计算,这对于工科的许多课程都带来了特别的方便,除了节省学生做题时间外,还可使理论课达到课时精简或内容增加的效果。在知识爆炸的今天,要提高教学的效率,利用计算工具革命带来的好处,是一个不可忽视的方面。
  二、工科线性代数教学中培养科学计算能力的方法
  为进一步把线性代数的理论和实践统一起来,促进工科线性代数课程教学内容和教学方法的改革,把科学计算软件MATLAB引入线性代数的改革,使学生不仅仅知道MATLAB在线性代数中的应用,而且让学生掌握了一个科学的工程计算工具。但数学软件的认知、学习到掌握并不是一个简单的、短时间的过程,它需要一个系统地、分步实施的计划,只有由浅入深、由认识到实践这样一个循序渐进的过程才能使学生在整个大学学习阶段逐步掌握软件的使用和编程技术,出才能真正使学生的运用数学软件解决实际问题的能力和动手能力的培养落到实处。为此,提出一种新的“了解——应用——扩展”三阶段教学方法。
  第一阶段:运用数学软件对线性代数的学习内容进行验证。
  通过在线性代数课堂是运用软件展示知识、验证知识以及初步地介绍软件的常用功能和使用方法,使学生对数学软件有初步的了解,达到通过运用数学软件理解所学知识和简单地运用数学软件验证所学知识的目标,进而起到辅助教学的作用。具体包括:
  (1)使用det函数验证方阵A的行列式。
  (2)使用+,-,*和′分别验证矩阵的加法、减法、乘法和转置。
  (3)使用函数rref(A)验证矩阵的行阶梯形式。
  (4)使用函数inv(A)验证矩阵的逆。
  (5)使用运算符/和\验证可逆矩阵方程的解。
  (6)使用函数rank(A)验证矩阵的秩。
  (7)使用函数rref(A)验证向量组的最大无关组及线性方程组解的结构。
  (8)使用函数eig(A)验证方阵的特征值与特征向量,进行矩阵的对角化与二次型化标准形。
  第二阶段:通过各章课后的实践性习题,进一步提高科学计算能力。
  通过各章课后的实践性习题,补充、完善数学软件在一些简单的实际问题中的应用,指导学生亲自动手完成一定量的软件实验课题,提高运用数学软件解决简单的实际问题的能力,实现理论与实践的结合。具体包括:
  (1)在MATLAB中使用相关函数进行各种符号计算,包括求行列式、矩阵运算、代数方程的求解及特征多项式的计算。
  (2)在MATLAB中利用相关函数对矩阵进行Cholesky、LU以及OR分解,为相关问题的分析奠定基础。
  (3)在MATLAB中利用矩阵的各种分解进行大型线性方程组的求解。
  (4)在MATLAB中利用矩阵除法运算\和广义逆求超定方程组的最小二乘解。
  (5)用MATLAB计算多种函数插值及作线性最小二乘拟合。
  第三阶段:通过开设数学软件的专题讲座,使学生的数学软件应用能力得到更大的提升。
  通过实际数学建模问题的引导,开设数学软件的专题讲座,并对学生进行分组个别指导,辅以一定的练习,让学生更熟练地其多种软件的编程和操作方法,能综合运用多种软件解决更复杂的问题,而且还能通过编程实现更复杂的实际问题的求解。如:①用曲线拟合的方法实现水塔流量的估计;
  ②利用矩阵的特征值和特征向量对循环比赛的名次进行判定。
  三、工科线性代数教学中培养科学计算能力需要把握的问题
  在整个的线性代数教学中,数学的整个理论体系,并不受数学软件应用而改变,只是有些理论可以通过计算机来验证,而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题或大作业中,加强它的工科特性。其中需要把握以下几方面的问题:
  (1)数学软件分层次、分阶段教学内容的划分问题。
  教学中软件部分的内容主要安排在两个方面:①对所学的相关理论知识的观察和验证,不仅使学生更好地理解所学知识,而且对数学软件的作用有一个初步的了解;②对数学软件中较简单的命令进行介绍,配合所学内容安排,使学生不需要花太多时间就能掌握。在内容上体现了由浅入深、分层递进的特点,而且要有所区分。
  (2)科学计算能力分层次、分阶段的要求问题。
  在较低层次运用数学软件进行数值计算、图形处理、数据分析等立体化教学,提高教学效率和教学水平;在较高层次的实践性教学中,更大程度是学生自身的参与;在最高层次的数学应用阶段,培养学生的数学应用意识,提高分析和解决问题的能力。这一过程在要求上体现出了解-动手实践-熟练应用的分层次特点,也符合能力培养的长期性以及人的认知发展的渐进性规律。
  四、结束语
  在工科线性代数教学中渗透科学计算能力的培养,是对学生动手和动脑的一种综合训练,其最大成效并不仅仅在于考试成绩的提高,最大的成功之处是在于使学生真正掌握了线性代数的内涵、理解了几何与代数的统一、理解了抽象与形象的统一、理解了繁琐运算与计算机运算的统一,为今后各门功课的学习打下了一个良好的基础。
  参考文献
  [1]陈怀琛,龚杰民.线性代数实践及MATLAB入门,电子工业出版社,2005年11月.
  [2] 陈怀琛,高淑萍,杨威.《工程线性代数(MATLAB版)》,电子工业出版社,2007年7月.
  [3] 吴文俊.《数学机械化》,科学出版社,2003年3月.
  [4] 陈怀琛.《MATLAB及其在理工课程中的应用指南》,西安电子科技大学出版社,2000年1月第一版,2004年12月第二版.
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