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1. 待定系数法
已知函数模型求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数.
例1（1）已知二次函数[f(x)]满足[f(1)=1]，[f(-1)=5]，图象过原点，求[f(x)]；
（2）已知二次函数[f(x)]满足[f(0)=0]且[f(x+1)=f(x)+x+1]，求[f(x)]；
（3）已知二次函数[f(x)]的二次项系数为[a]，且不等式[f(x)>-2x]的解集为[(1,3)]，方程[f(x)+6a=0]有两个相等的实根，求[f(x)]的解析式.
解（1）由题意设 [f(x)=ax2+bx+c]([a≠0]),
∵[f(1)=1]，[f(-1)=5]，且图象过原点，
∴[a+b+c=1a-b+c=5c=0],∴[a=3b=-2c=0].
∴[f(x)=3x2-2x].
（2）由题意设 [f(x)=ax2+bx+c]([a≠0])，
由[f(0)=0]可知[c=0]，又[f(x+1)=f(x)+x+1].
[∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1]，
即[(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1].
故[2a+b=b+1a+b=1]，解得[a=12b=12] .
[∴f(x)=12x2+12x].
（3）[f(x)>-2x]的解集为[(1,3)]，则可设[f(x)+2x=a(x-1)(x-3)]且[a<0]，
[∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x][+3a]，
又[f(x)+6a=0]，
即[ax2-(2+4a)x+9a=0]①，
[∵]方程①有两个相等的实根，
[∴]Δ[=[-(2+4a)]2-4a⋅9a=0]，
即[5a2-4a-1=0]，解得[a=1]或[a=-15].
又[a<0]，[∴][a=-15].
[∴][f(x)=-15x2-65x-35].
2. 换元法
通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的.常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛.一般用在“已知[f(g(x))]是关于[x]的函数，即[f(g(x))=F(x)]，求[f(x)]的解析式”的题型上，通常令[g(x)=t]，由此能解出[x=g-1(t)]，将[x=g-1(t)]代入[f(g(x))=F(x)]中，求得[f(t)]的解析式，再用[x]替换[t]，便得到[f(x)]的解析式.注意：换元后要确定新元[t]的取值范围.
例2（1）已知[f(x+1)=x2-2x+5]，求[f(x)]；
（2）已知[f(x-2)=x-2x+3]，求[f(x)].
解（1）令[x+1=t]，则[x=t-1]，
于是[f(t)=(t-1)2-2(t-1)+5=t2-4t+8].
[∴f(x)=x2-4x+8].
（2）令[t=x-2≥-2]，则[x=t+2,x=(t+2)2].
于是[f(t)=(t+2)2-2(t+2)+3=t2+2t+3]，（t≥-2）.
[∴f(x)=x2+2x+3][(x≥-2)].
3. 配凑法
把形如[f(g(x))]中的[g(x)]看作整体，通过观察、分析，将等号右端的表达式变为接受对象[y=f(g(x))]中的[g(x)]的表达式，即变为只含[g(x)]的表达式，再把[g(x)]用[x]代替，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.
例3（1）已知[f(x+1x)=x2+1x2+1]，求[f(x)]；
（2）已知[f(x-1)=x-2x-1]，求[f(x)].
解（1）∵[f(x+1x)=x2+1x2+1=(x+1x)2-1]，
[∴f(x)=x2-1]（[x≥2]或[x≤-2]）.
（2）[∵f(x-1)=x-2x-1=(x-1)2-2]，
[∴f(x)=x2-2]（[x≥-1]）.
4. 构造方程组法
根据已知方程中式子的特点，通过变换变量再构造一个方程，构成方程组，利用消元法求函数[f(x)]的解析式.
例4（1）已知[f(x)]满足[2f(x)+f(1x)=3x]，求[f(x)]的解析式；
（2）[3f(x5)+f(-x5)=4x]，求[f(x)]的解析式；
（3）已知定义在R上的函数[f(x)]满足[f(x)-2f(-x)=3x-1]，求[f(x)]的解析式.
解（1）∵[2f(x)+f(1x)=3x]①，
将①中[x]换成[1x]得[2f(1x)+f(x)=3(1x)]②，
①×2-②得[3f(x)=6x-3x]，
∴[f(x)=2x-1x].
（2）∵[3f(x5)+f(-x5)=4x]③，
将③中[x]换成[-x]得[3f(-x5)+f(x5)=-4x]④，
③×3-④得 [8f(x5)=16x]，即[f(x5)=2x].
又令[t=x5]，则[x=t5].
[∴f(t)=2t5]，即[f(x)=2x5].
（3）[∵f(x)-2f(-x)=3x-1]⑤，
将⑤中[x]换成[-x]得[f(-x)-2f(x)=3(-x)-1]⑥，
⑤+⑥×2得[-3f(x)=-3x-3]，
[∴f(x)=x+1].
5. 赋值法
通过对某变量取特殊值，从而去掉该变量，得到关于另一变量的解析式.
例5（1）设[f(x)]是R上的函数，[f(0)=1]，并且对任意实数[x、y]，都有[f(x-y)=f(x)-][y(2x-y+1)] 成立，求[f(x)]的解析式；
（2）已知函数[f(x)]的定义域为R，并对一切实数[x、y]都有[2f(x-y)=f(x)-5f(y)][+3x(x+2y-1)]成立，求[f(x)]的解析式.
解（1）方法一：在[f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)]中，令[y=x]，则[f(0)=f(x)-x(2x-x+1)].
[∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1].
∴[f(x)=x2+x+1].
方法二：在[f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)]中，令[x=0]，则[f(0-y)=f(0)-y(0-y+1)].
[∵f(0)=1,∴f(-y)=1-y+y2].
令[-y=x,]代入上式，得[f(x)=x2+x+1].
（2）在[2f(x-y)=f(x)-5f(y)+3x(x+2y-1)]中，
令[y=0]得[2f(x)=f(x)-5f(0)+3x2-3x]①.
令[x=y=0]得[2f(0)=f(0)-5f(0)].
∴[f(0)=0]，代入①式，
∴[f(x)=3x2-3x].
6. 利用函數的性质求解析式
（1）已知函数的奇偶性及[x>0]时，[f(x)]的解析式，求当[x<0]时，[f(x)]的解析式.首先设[x<0]，则[-x>0]，根据[f(x)=f(-x)]或[f(x)=-f(-x)]，求得[f(x)]的解析式.
例6设[f(x)]是偶函数，当[x>0]时，[f(x)=2x2+x-1]，求当[x<0]时，[f(x)]的解析式.
解设[x<0]，则[-x>0]，由于[f(x)]是偶函数且[x>0]时，[f(x)=2x2+x-1]，所以当[x<0] 时，[f(x)=f(-x)][=2x2-x-1].
（2）已知函数[f(x)]的周期及给定区间上的解析式，求函数在其它范围内的解析式.首先设所求区间上的任意实数为[x]，经过加或减周期的整数倍转化到已知区间上，根据[f(x)=f(x+nT)]或[f(x)=f(x-nT)]，其中[n∈N+]，求得[f(x)]的解析式.
例7已知定義在R上的函数[f(x)]的周期为2，当[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，求当[x∈(0,4]]时，[f(x)]的解析式.
解设[x∈(0,2]]，则[x-2∈(-2,0]]，函数[f(x)]的周期为2且[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，所以当[x∈(0,2]]时，[f(x)=f(x-2)][=3(x-2)-5=3x-11].
设[x∈(2,4]]，则[x-4∈(-2,0]]，函数[f(x)]的周期为2且[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，所以当[x∈(2,4]]时，[f(x)=f(x-4)][=3(x-4)-5=3x-17]；
所以[f(x)=3x-11,0 （3）已知函数[y=f(x)]图象的对称轴为[x=a]及[xa]时，[f(x)]的解析式.首先设[x>a]则[2a-x 例8已知函数[y=f(x)]的图象关于直线[x=1]对称，若[x<1]时，[y=x2+1]，则当[x>1]时，求[y]的解析式.
解由题意可知[f(x)=f(2-x)]，
当[x>1]时，[-x<-1]，[2-x<1]，
[∴y=f(x)=f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5.]
7. 相关点法
设所求图象上任一点为[(x,y)]，已知图象上一点为[(x0，y0)]，根据题设条件找到两点之间的联系，把[x0、y0]分别用[x、y]表示，再代入点[(x0,y0)]所满足的解析式，整理即可得到[f(x)].
例9已知函数[y=f(x)]的图象与[y=x2-x+1]的图象关于点（1,2）对称，求[f(x)]的解析式.
解设[(x0,y0)]为[y=x2-x+1]的图象上任一点，[(x,y)]为[(x0,y0)]关于（1,2）的对称点，则[y0=x02-x0+1].
由题设可知[x+x02=1y+y02=2]，[⇒][x0=2-xy0=4-y]，
代入[y0=x02-x0+1]得，
[4-y=(2-x)2-(2-x)+1][⇒][y=-x2+3x+1.]
[【练习】]
1. 已知[f(1x)=1x+1]，则[f(x)]=.
2.已知定义在R上的函数[f(x)]满足[f(-x)+2f(x)=x+1]，则[f(x)]=.
3. 已知[f(x+1x)=x3+1x3]，则[f(x)]=.
4. 已知[f(x+1)=x2-2x]，则[f(x)]=.
5. 设二次函数[f(x)]满足[f(x+2)=f(2-x)]，且[f(x)=0]的两实根的平方和为[10]，图象过点[（0，3）]，求[f(x)]的解析式.
6.函数[f(x)]对一切实数[x、y]都有[f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x]成立，且[f(1)=0]，求[f(x)]的解析式.
7. 已知函数[y=f(x)]的图象与[y=-x2+2x-3]的图象关于点[（2，1）]对称，求[f(x)]的解析式.
8. 已知定义在R上的二次函数[f(x)]满足[|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1]，求[f(x)]的解析式.
[【参考答案】]
1.[f(x)=x1+x].
2.[f(x)=x+13].
3.[f(x)=x3-3x] （[x≥2]或[x≤-2]）.
4.[f(x)=x2-4x+3].
5. [f(x)=x2-4x+3].
6. [f(x)=x2+x-2].
7. [y=x2-6x+13].
8. [f(x)=2x2-1]或[f(x)=-2x2+1]或
[f(x)=-x2-x+1]或[f(x)=x2-x-1]或
[f(x)=-x2+x+1]或[f(x)=x2+x-1].
已知函数模型求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数.
例1（1）已知二次函数[f(x)]满足[f(1)=1]，[f(-1)=5]，图象过原点，求[f(x)]；
（2）已知二次函数[f(x)]满足[f(0)=0]且[f(x+1)=f(x)+x+1]，求[f(x)]；
（3）已知二次函数[f(x)]的二次项系数为[a]，且不等式[f(x)>-2x]的解集为[(1,3)]，方程[f(x)+6a=0]有两个相等的实根，求[f(x)]的解析式.
解（1）由题意设 [f(x)=ax2+bx+c]([a≠0]),
∵[f(1)=1]，[f(-1)=5]，且图象过原点，
∴[a+b+c=1a-b+c=5c=0],∴[a=3b=-2c=0].
∴[f(x)=3x2-2x].
（2）由题意设 [f(x)=ax2+bx+c]([a≠0])，
由[f(0)=0]可知[c=0]，又[f(x+1)=f(x)+x+1].
[∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1]，
即[(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1].
故[2a+b=b+1a+b=1]，解得[a=12b=12] .
[∴f(x)=12x2+12x].
（3）[f(x)>-2x]的解集为[(1,3)]，则可设[f(x)+2x=a(x-1)(x-3)]且[a<0]，
[∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x][+3a]，
又[f(x)+6a=0]，
即[ax2-(2+4a)x+9a=0]①，
[∵]方程①有两个相等的实根，
[∴]Δ[=[-(2+4a)]2-4a⋅9a=0]，
即[5a2-4a-1=0]，解得[a=1]或[a=-15].
又[a<0]，[∴][a=-15].
[∴][f(x)=-15x2-65x-35].
2. 换元法
通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的.常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛.一般用在“已知[f(g(x))]是关于[x]的函数，即[f(g(x))=F(x)]，求[f(x)]的解析式”的题型上，通常令[g(x)=t]，由此能解出[x=g-1(t)]，将[x=g-1(t)]代入[f(g(x))=F(x)]中，求得[f(t)]的解析式，再用[x]替换[t]，便得到[f(x)]的解析式.注意：换元后要确定新元[t]的取值范围.
例2（1）已知[f(x+1)=x2-2x+5]，求[f(x)]；
（2）已知[f(x-2)=x-2x+3]，求[f(x)].
解（1）令[x+1=t]，则[x=t-1]，
于是[f(t)=(t-1)2-2(t-1)+5=t2-4t+8].
[∴f(x)=x2-4x+8].
（2）令[t=x-2≥-2]，则[x=t+2,x=(t+2)2].
于是[f(t)=(t+2)2-2(t+2)+3=t2+2t+3]，（t≥-2）.
[∴f(x)=x2+2x+3][(x≥-2)].
3. 配凑法
把形如[f(g(x))]中的[g(x)]看作整体，通过观察、分析，将等号右端的表达式变为接受对象[y=f(g(x))]中的[g(x)]的表达式，即变为只含[g(x)]的表达式，再把[g(x)]用[x]代替，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.
例3（1）已知[f(x+1x)=x2+1x2+1]，求[f(x)]；
（2）已知[f(x-1)=x-2x-1]，求[f(x)].
解（1）∵[f(x+1x)=x2+1x2+1=(x+1x)2-1]，
[∴f(x)=x2-1]（[x≥2]或[x≤-2]）.
（2）[∵f(x-1)=x-2x-1=(x-1)2-2]，
[∴f(x)=x2-2]（[x≥-1]）.
4. 构造方程组法
根据已知方程中式子的特点，通过变换变量再构造一个方程，构成方程组，利用消元法求函数[f(x)]的解析式.
例4（1）已知[f(x)]满足[2f(x)+f(1x)=3x]，求[f(x)]的解析式；
（2）[3f(x5)+f(-x5)=4x]，求[f(x)]的解析式；
（3）已知定义在R上的函数[f(x)]满足[f(x)-2f(-x)=3x-1]，求[f(x)]的解析式.
解（1）∵[2f(x)+f(1x)=3x]①，
将①中[x]换成[1x]得[2f(1x)+f(x)=3(1x)]②，
①×2-②得[3f(x)=6x-3x]，
∴[f(x)=2x-1x].
（2）∵[3f(x5)+f(-x5)=4x]③，
将③中[x]换成[-x]得[3f(-x5)+f(x5)=-4x]④，
③×3-④得 [8f(x5)=16x]，即[f(x5)=2x].
又令[t=x5]，则[x=t5].
[∴f(t)=2t5]，即[f(x)=2x5].
（3）[∵f(x)-2f(-x)=3x-1]⑤，
将⑤中[x]换成[-x]得[f(-x)-2f(x)=3(-x)-1]⑥，
⑤+⑥×2得[-3f(x)=-3x-3]，
[∴f(x)=x+1].
5. 赋值法
通过对某变量取特殊值，从而去掉该变量，得到关于另一变量的解析式.
例5（1）设[f(x)]是R上的函数，[f(0)=1]，并且对任意实数[x、y]，都有[f(x-y)=f(x)-][y(2x-y+1)] 成立，求[f(x)]的解析式；
（2）已知函数[f(x)]的定义域为R，并对一切实数[x、y]都有[2f(x-y)=f(x)-5f(y)][+3x(x+2y-1)]成立，求[f(x)]的解析式.
解（1）方法一：在[f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)]中，令[y=x]，则[f(0)=f(x)-x(2x-x+1)].
[∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1].
∴[f(x)=x2+x+1].
方法二：在[f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)]中，令[x=0]，则[f(0-y)=f(0)-y(0-y+1)].
[∵f(0)=1,∴f(-y)=1-y+y2].
令[-y=x,]代入上式，得[f(x)=x2+x+1].
（2）在[2f(x-y)=f(x)-5f(y)+3x(x+2y-1)]中，
令[y=0]得[2f(x)=f(x)-5f(0)+3x2-3x]①.
令[x=y=0]得[2f(0)=f(0)-5f(0)].
∴[f(0)=0]，代入①式，
∴[f(x)=3x2-3x].
6. 利用函數的性质求解析式
（1）已知函数的奇偶性及[x>0]时，[f(x)]的解析式，求当[x<0]时，[f(x)]的解析式.首先设[x<0]，则[-x>0]，根据[f(x)=f(-x)]或[f(x)=-f(-x)]，求得[f(x)]的解析式.
例6设[f(x)]是偶函数，当[x>0]时，[f(x)=2x2+x-1]，求当[x<0]时，[f(x)]的解析式.
解设[x<0]，则[-x>0]，由于[f(x)]是偶函数且[x>0]时，[f(x)=2x2+x-1]，所以当[x<0] 时，[f(x)=f(-x)][=2x2-x-1].
（2）已知函数[f(x)]的周期及给定区间上的解析式，求函数在其它范围内的解析式.首先设所求区间上的任意实数为[x]，经过加或减周期的整数倍转化到已知区间上，根据[f(x)=f(x+nT)]或[f(x)=f(x-nT)]，其中[n∈N+]，求得[f(x)]的解析式.
例7已知定義在R上的函数[f(x)]的周期为2，当[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，求当[x∈(0,4]]时，[f(x)]的解析式.
解设[x∈(0,2]]，则[x-2∈(-2,0]]，函数[f(x)]的周期为2且[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，所以当[x∈(0,2]]时，[f(x)=f(x-2)][=3(x-2)-5=3x-11].
设[x∈(2,4]]，则[x-4∈(-2,0]]，函数[f(x)]的周期为2且[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，所以当[x∈(2,4]]时，[f(x)=f(x-4)][=3(x-4)-5=3x-17]；
所以[f(x)=3x-11,0
解由题意可知[f(x)=f(2-x)]，
当[x>1]时，[-x<-1]，[2-x<1]，
[∴y=f(x)=f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5.]
7. 相关点法
设所求图象上任一点为[(x,y)]，已知图象上一点为[(x0，y0)]，根据题设条件找到两点之间的联系，把[x0、y0]分别用[x、y]表示，再代入点[(x0,y0)]所满足的解析式，整理即可得到[f(x)].
例9已知函数[y=f(x)]的图象与[y=x2-x+1]的图象关于点（1,2）对称，求[f(x)]的解析式.
解设[(x0,y0)]为[y=x2-x+1]的图象上任一点，[(x,y)]为[(x0,y0)]关于（1,2）的对称点，则[y0=x02-x0+1].
由题设可知[x+x02=1y+y02=2]，[⇒][x0=2-xy0=4-y]，
代入[y0=x02-x0+1]得，
[4-y=(2-x)2-(2-x)+1][⇒][y=-x2+3x+1.]
[【练习】]
1. 已知[f(1x)=1x+1]，则[f(x)]=.
2.已知定义在R上的函数[f(x)]满足[f(-x)+2f(x)=x+1]，则[f(x)]=.
3. 已知[f(x+1x)=x3+1x3]，则[f(x)]=.
4. 已知[f(x+1)=x2-2x]，则[f(x)]=.
5. 设二次函数[f(x)]满足[f(x+2)=f(2-x)]，且[f(x)=0]的两实根的平方和为[10]，图象过点[（0，3）]，求[f(x)]的解析式.
6.函数[f(x)]对一切实数[x、y]都有[f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x]成立，且[f(1)=0]，求[f(x)]的解析式.
7. 已知函数[y=f(x)]的图象与[y=-x2+2x-3]的图象关于点[（2，1）]对称，求[f(x)]的解析式.
8. 已知定义在R上的二次函数[f(x)]满足[|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1]，求[f(x)]的解析式.
[【参考答案】]
1.[f(x)=x1+x].
2.[f(x)=x+13].
3.[f(x)=x3-3x] （[x≥2]或[x≤-2]）.
4.[f(x)=x2-4x+3].
5. [f(x)=x2-4x+3].
6. [f(x)=x2+x-2].
7. [y=x2-6x+13].
8. [f(x)=2x2-1]或[f(x)=-2x2+1]或
[f(x)=-x2-x+1]或[f(x)=x2-x-1]或
[f(x)=-x2+x+1]或[f(x)=x2+x-1].