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函数的基本性质包括函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等. 在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
函数的基本性质是函数知识的核心，是研究函数、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的“重头戏”. 如何利用函数性质是解题的难点与关键.
重点难点
1. 函数的单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）.
深化（单调性定义的等价形式）：设x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳>0？圳f（x）在[a，b]上是增函数；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳<0？圳f（x）在[a，b]上是减函数.
（2）单调区间：如果函数y=f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.
2. 函数的最值
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，称M是函数y=f（x）的最大值（最小值）.
3. 函数的奇偶性
（1）定义：若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数.
（2）性质：①f（x）为奇函数？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x） f（x）=0；f（x）为偶函数？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.
②f（x）是偶函数？圳f（x）的图象关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图象关于原点对称.
③奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
④在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.
⑤若奇函数f（x）的定义域中含有0，则必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件.
4. 函数的周期性
（1）定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x T）=f（x），则称f（x）为周期函数，其中T称作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期.
（2）性质：①f（x T）=f（x）常写作fx =fx-.
②若T是函数y=f（x）的周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x kT）=f（x）.
③若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x a）=-f（x）或f（x a）=或f（x a）=-（a是常数，且a≠0），则f（x）是一个以2a为周期的周期函数.
方法突破
1. 单调性的证明方法
（1）定义法：如果对于函数f（x）的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上单调递增（单调递减）.
（2）导数法：在某个区间（a，b）内，如果f ′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f ′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.
2. 单调区间的求法及表示
单调区间的求法：定义法、导数法、图象法、复合函数法.
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以在求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结.
3. 函数奇偶性的判断
主要根据定义判断函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）. 该定义包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确、简洁地解决问题；②判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断关系式f（x） f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数）是否成立.
典例精讲
例1 已知f（x 1）=f（x-1），f（x）=f（-x 2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=，则f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为（ ）
A. 2011 B. 1006
C. 2013 D. 1007
思索 解决抽象函数问题一般有三种思路：①根据题设画出简单图象进行处理；②适当利用“赋值”法得到一些基础结论；③寻求函数“模型”来理解.
破解 由f（x 1）=f（x-1），可知f（x 2）=f（x），所以函数f（x）的周期是2.
由f（x）=f（-x 2）可知函数f（x）关于直线x=1对称，因为函数f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=，所以函数f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为2013个，选C. 例2 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 充要条件
思索 利用函数的奇偶性、周期性，将可研究区间扩充，再利用单调性、充要条件的知识进行判定.
破解 ①因为f（x）在R上是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称.因为f（x）为[0，1]上的增函数，所以f（x）为[-1，0]上的减函数. 又f（x）的周期为2，所以f（x）为区间[-1 4， 0 4]=[3，4]上的减函数.
②f（x）为[3，4]上的减函数，且f（x）的周期为2，所以f（x）为[-1，0]上的减函数. 又f（x）在R上是偶函数，所以f（x）为[0，1]上的增函数. 由①②可知，“为[0，1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的充要条件.
故选D.
例3 对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”. 若已知f（x）=4x-m·2 m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________.
思索 本题给出函数奇偶性的新定义，抓住定义的本质将问题转化为二次方程在指定范围内有解.
破解 因为f（x）为“局部奇函数”，所以存在实数x满足f（-x）=-f（x），即4-2m·2 m2-3=-4x 2m·2x-m2 3. 令t=2x（t>0），则 t2-2m t 2m2-6=0，即 t-2m t 2m2-8=0在t>0有解. 令h= t，则h≥2，则g（h）=h2-2mh 2m2-8=0在h≥2有解.
函数关于h的对称轴为h=m，
①当m≥2时，只需Δ≥0，所以m2-8≤0，解得2≤m≤2；
②当m<2时，只需g（2）=4-4m 2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，得1-≤m<2.
综合①②，可知1-≤m≤2.
例4 若f（x）=，0≤x≤2，f（2），x>2，
（1）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知实数x1，x2∈（0，1]，且x1 x2=1，求f（x1）·f（x2）的最大值.
思索 （1）问根据定义用“作差法”求解；（2）问把方程有解问题转化为两函数交点问题来研究；（3）问可化为关于x1x2的分式，再结合条件x1 x2=1通过基本不等式求解.
破解 （1）当x>2时，f（x）=f（2）=是常数，无单调区间.
当0≤x≤2时，f（x）=. 任取x1，x2∈[0，2]，且x1 因为f（x1）-f（x2）=-=
=
=.
所以当0≤x1 当-1≤x10，f（x1）>f（x2）.
综上可得，函数f（x）的单调递增区间是[0，-1]，单调递减区间是[-1，2].
（2）由（1）知，f（0）=1，f（x）max=f（-1）=，f（2）=.
方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，等价于直线y=a与曲线y=f（x）恰有两个不同的交点，所以1≤a<.
（3）由已知，f（x1）f（x2）=·=
=
=.
令t=x1x2，因为1=x1 x2≥2当且仅当x1=x2=时取等号.
又t∈0，，所以f（x）f（x）==.
令s=t 2，则s∈2，，所以f（x1）f（x2）==.
因为y=s 在2，上单调递减，所以y= =.
所以[f（x1）f（x2）]max=.？摇
变式练习
1. 设偶函数f（x）满足f（x）=2x-4（x≥0），则{xf（x-2）>0}等于（ ）
A. {xx<-2或x>4}
B. {xx<0或x>？摇4}
C. {xx<0或x>6}
D. {xx<-2或x>2}
2. 已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x 1）=-f（x），如果f（x）在[-1，0]上是增函数，那么f（x）在[1，3]上是（ ）
A. 增函数
B. 减函数
C. 先增后减的函数
D. 先减后增的函数
3. 已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）-3x]=4，则f（2）=________.
4. 定义在R上的偶函数f（x）满足：f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，有下列一些关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f（x）在[-2，-1]上是减函数. 其中正确的判断是__________（把你认为正确判断的番号都填上）.
5. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x 2）=f（x），当x∈[3，5]时， f（x）=2-x-4. 下列4个不等关系：fsinf（sin2），其中正确的个数是__________.
参考答案
1. B 2. C
3. 10 依题意， f（x）-3x为常数，设f（x）-3x=m，则f（m）=4， f（x）=3x m，所以3m m=4，3m m-4=0，易知方程3m m-4=0有唯一解m=1，所以f（x）=3x 1， f（2）=32 1=10.
4. ①②③ 因为f（2-x）=-f（x），所以f（x）有对称中心（1，0）. 又f（2-x）=-f（x），所以f（x）=-f（2-x），所以f（x 4）=-f[2-（x 4）]=-f[-（x 2）]. 又f（x）为偶函数，所以f（x 4）=-f（x 2），所以f（x 4）=f[2-（x 2）]=f（-x）=f（x），所以4是f（x）的一个周期. 从而由图象可知其中正确的判断是①②③.
5. 2 由f（x 2）=f（x）知函数f（x）的周期为2，结合x∈[3，5]时f（x）=2-x-4的图象可画出函数f（x）在x∈[-1，1]上的图象，关于y轴对称，且在[-1，0]上函数单调递增，在[0，1]上函数单调递减. 0fcos；1>sin1>cos1>0，则f（sin1）f=fsin；cos2= -cos（π-2），所以f（cos2）=f（cos（π-2））， f（sin2）=f（sin（π-2）），>π-2>，所以0f（sin2）. 有2个正确.
函数的基本性质是函数知识的核心，是研究函数、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的“重头戏”. 如何利用函数性质是解题的难点与关键.
重点难点
1. 函数的单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1
深化（单调性定义的等价形式）：设x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳>0？圳f（x）在[a，b]上是增函数；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳<0？圳f（x）在[a，b]上是减函数.
（2）单调区间：如果函数y=f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.
2. 函数的最值
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，称M是函数y=f（x）的最大值（最小值）.
3. 函数的奇偶性
（1）定义：若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数.
（2）性质：①f（x）为奇函数？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x） f（x）=0；f（x）为偶函数？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.
②f（x）是偶函数？圳f（x）的图象关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图象关于原点对称.
③奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
④在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.
⑤若奇函数f（x）的定义域中含有0，则必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件.
4. 函数的周期性
（1）定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x T）=f（x），则称f（x）为周期函数，其中T称作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期.
（2）性质：①f（x T）=f（x）常写作fx =fx-.
②若T是函数y=f（x）的周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x kT）=f（x）.
③若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x a）=-f（x）或f（x a）=或f（x a）=-（a是常数，且a≠0），则f（x）是一个以2a为周期的周期函数.
方法突破
1. 单调性的证明方法
（1）定义法：如果对于函数f（x）的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1
（2）导数法：在某个区间（a，b）内，如果f ′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f ′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.
2. 单调区间的求法及表示
单调区间的求法：定义法、导数法、图象法、复合函数法.
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以在求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结.
3. 函数奇偶性的判断
主要根据定义判断函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）. 该定义包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确、简洁地解决问题；②判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断关系式f（x） f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数）是否成立.
典例精讲
例1 已知f（x 1）=f（x-1），f（x）=f（-x 2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=，则f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为（ ）
A. 2011 B. 1006
C. 2013 D. 1007
思索 解决抽象函数问题一般有三种思路：①根据题设画出简单图象进行处理；②适当利用“赋值”法得到一些基础结论；③寻求函数“模型”来理解.
破解 由f（x 1）=f（x-1），可知f（x 2）=f（x），所以函数f（x）的周期是2.
由f（x）=f（-x 2）可知函数f（x）关于直线x=1对称，因为函数f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=，所以函数f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为2013个，选C. 例2 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 充要条件
思索 利用函数的奇偶性、周期性，将可研究区间扩充，再利用单调性、充要条件的知识进行判定.
破解 ①因为f（x）在R上是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称.因为f（x）为[0，1]上的增函数，所以f（x）为[-1，0]上的减函数. 又f（x）的周期为2，所以f（x）为区间[-1 4， 0 4]=[3，4]上的减函数.
②f（x）为[3，4]上的减函数，且f（x）的周期为2，所以f（x）为[-1，0]上的减函数. 又f（x）在R上是偶函数，所以f（x）为[0，1]上的增函数. 由①②可知，“为[0，1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的充要条件.
故选D.
例3 对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”. 若已知f（x）=4x-m·2 m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________.
思索 本题给出函数奇偶性的新定义，抓住定义的本质将问题转化为二次方程在指定范围内有解.
破解 因为f（x）为“局部奇函数”，所以存在实数x满足f（-x）=-f（x），即4-2m·2 m2-3=-4x 2m·2x-m2 3. 令t=2x（t>0），则 t2-2m t 2m2-6=0，即 t-2m t 2m2-8=0在t>0有解. 令h= t，则h≥2，则g（h）=h2-2mh 2m2-8=0在h≥2有解.
函数关于h的对称轴为h=m，
①当m≥2时，只需Δ≥0，所以m2-8≤0，解得2≤m≤2；
②当m<2时，只需g（2）=4-4m 2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，得1-≤m<2.
综合①②，可知1-≤m≤2.
例4 若f（x）=，0≤x≤2，f（2），x>2，
（1）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知实数x1，x2∈（0，1]，且x1 x2=1，求f（x1）·f（x2）的最大值.
思索 （1）问根据定义用“作差法”求解；（2）问把方程有解问题转化为两函数交点问题来研究；（3）问可化为关于x1x2的分式，再结合条件x1 x2=1通过基本不等式求解.
破解 （1）当x>2时，f（x）=f（2）=是常数，无单调区间.
当0≤x≤2时，f（x）=. 任取x1，x2∈[0，2]，且x1
=
=.
所以当0≤x1
综上可得，函数f（x）的单调递增区间是[0，-1]，单调递减区间是[-1，2].
（2）由（1）知，f（0）=1，f（x）max=f（-1）=，f（2）=.
方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，等价于直线y=a与曲线y=f（x）恰有两个不同的交点，所以1≤a<.
（3）由已知，f（x1）f（x2）=·=
=
=.
令t=x1x2，因为1=x1 x2≥2当且仅当x1=x2=时取等号.
又t∈0，，所以f（x）f（x）==.
令s=t 2，则s∈2，，所以f（x1）f（x2）==.
因为y=s 在2，上单调递减，所以y= =.
所以[f（x1）f（x2）]max=.？摇
变式练习
1. 设偶函数f（x）满足f（x）=2x-4（x≥0），则{xf（x-2）>0}等于（ ）
A. {xx<-2或x>4}
B. {xx<0或x>？摇4}
C. {xx<0或x>6}
D. {xx<-2或x>2}
2. 已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x 1）=-f（x），如果f（x）在[-1，0]上是增函数，那么f（x）在[1，3]上是（ ）
A. 增函数
B. 减函数
C. 先增后减的函数
D. 先减后增的函数
3. 已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）-3x]=4，则f（2）=________.
4. 定义在R上的偶函数f（x）满足：f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，有下列一些关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f（x）在[-2，-1]上是减函数. 其中正确的判断是__________（把你认为正确判断的番号都填上）.
5. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x 2）=f（x），当x∈[3，5]时， f（x）=2-x-4. 下列4个不等关系：fsin
参考答案
1. B 2. C
3. 10 依题意， f（x）-3x为常数，设f（x）-3x=m，则f（m）=4， f（x）=3x m，所以3m m=4，3m m-4=0，易知方程3m m-4=0有唯一解m=1，所以f（x）=3x 1， f（2）=32 1=10.
4. ①②③ 因为f（2-x）=-f（x），所以f（x）有对称中心（1，0）. 又f（2-x）=-f（x），所以f（x）=-f（2-x），所以f（x 4）=-f[2-（x 4）]=-f[-（x 2）]. 又f（x）为偶函数，所以f（x 4）=-f（x 2），所以f（x 4）=f[2-（x 2）]=f（-x）=f（x），所以4是f（x）的一个周期. 从而由图象可知其中正确的判断是①②③.
5. 2 由f（x 2）=f（x）知函数f（x）的周期为2，结合x∈[3，5]时f（x）=2-x-4的图象可画出函数f（x）在x∈[-1，1]上的图象，关于y轴对称，且在[-1，0]上函数单调递增，在[0，1]上函数单调递减. 0