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【摘要】：新知识的形成都是在延续旧知识的前提下进行的，在数学教学活动中，如果能够让原有的知识、经验带动新知识的产生，那么不仅能够让学生在学习上更有兴趣，也能让我们的教学活动事半功倍。学生学习的各个环节都有其内在联系，经验的延续产生新的知识，新知的延续激发运用，运用的延续产生感悟，感悟的延续又产生新的经验。这样的学习一环扣一环，由浅入深，由易到难，循环往复，提高了学习效率，学生在这种延续性的学习中能得到全方位的发展。
【关键词】：数学学习；延续；发展
几年前，当我还是个师范生的时候，到一个小学实习，那是一节三年级的数学课，内容是《除数是一位数的除法》。在这之前我既没有接触过新教材，又没有任何的教案可以参考，教参上所说的教学目标我能领会，但是不知道用什么方式去教学生。而最担心的事情是我对学生已经掌握了哪些知识不够了解，非常害怕自己提出的问题学生无法理解或者知识点学生没有学到过。那个时候终于体会到“要给学生一杯水，自己就要有一桶水”这句话的意义了，我拥有的可能还不如学生的一杯水。
现在我已经对教学的编排有了比较全面的了解，上课的时候能充分考虑到学生的知识储备，用已有的知识来引导学生探究新知识。一般情况下，新知识的形成都是在延续旧知识的前提下进行的，就像一个不会加减的人，不可能理解乘除一样。在数学教学活动中，如果能够让旧的知识、经验带动新知识的形成，那么不仅能够让学生在学习上更有兴趣，也能让我们的教学活动事半功倍，使学生的学习一环扣一环，由浅入深，由易到难，循环往复，提高了学习效率，学生也能在这种延续性的学习中得到全方位的发展。
在教学活动中通过虚心研读新课程标准，耐心分析教材编排，精心设计教学过程，仔细观察学生反应等方式，结合教学实例，对学生的学习过程进行总结概括，我得到了以下三个方面的认识。
一、学习是对经验的延续
华罗庚先生说过：“把一个比较复杂的问题‘退’成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再……来一个飞跃上升。这是一个十分精辟的思维方法，用这种方法解决问题，第一可以培养学生良好的心理素质，使之遇‘新’不惧。”
1.延续形象，发展抽象。
即使是一年级的小朋友也是有生活经验的，他们一定见过汽车，也知道汽车会跑；一定去过商店，也知道买东西要花钱；一定见过钟表，也知道有时间这种东西……这些就是孩子们的生活经验，他们的所见所闻都是具体的、生活化的、凌乱的，没有类别也不成系统。
我在教学中就非常注重孩子们已有生活的经验，从经验出发，进行引导，引发思考，最终形成知识。课堂上不难发现，越是贴近孩子生活的学习材料越是能让他们产生学习的兴趣，我从生活中人人都看到过的东西着手，把枯燥的数学内容融入有趣的生活实际中去，让孩子产生亲切感，对学习材料产生兴趣，从而在这个基础上进行深入学习，延续耳熟能详的生活经验，让知识由浅入深发展下去，形成真正的数学知识。
人教版数学三年级上册有个内容是学习《周长》。书中的解释很抽象，因此我就考虑从教室里每天都挂着的一幅“中国地图”入手，和学生一起周长的知识。教学片段：
师：同学们，你们知道我们教室里一直挂着的这幅是什么画吗？（中国地图。）
你知道地图上哪些部分是属于我们中国的领土吗？（学生上前指一指。）
师：你们真聪明！如果我们沿着我们的国家走上一圈该怎么走？（学生上前演示。）
师：你们知道这一圈代表什么吗？
生：代表我们国家的大小；代表边疆；代表里面的部分是我们国家的土地；代表把不同国家分开。……
师：是啊，如果把我们的中国看成一个形状特别的图形，这一圈就是这个图形的周长。（板书课题）
中国地图是学生熟悉的事物，天天都在看，但是他们不知道这其中还包含周长的知识。学生从国家的边境线认识周长就是一个从形象到抽象的过程，而且地图是不规则的，学生知道了不规则图形的周长之后再找规则图形的周长反而更加简单。接下去的教学任务就是延续以上的知识，深入理解知识的内涵和外延，形成“周长”这个概念。
这就是把简单的知识延续下去，思考下去，从量变达到质变，然后“一个飞跃”，形成了新的知识的过程。
2.延续单一，发展多元。
举个小小的例子，在生活中，有一个人在走路，如果有人问：他在干什么？大部分人肯定会回答：他在走路。其实走路也有向前向后，有快有慢之分。孩子们对事物的理解只关注一个方面而忽略其他部分。但是只要稍加提点，孩子们的思维就可以被激活。
如在教学《平移》的时候，孩子们都知道移动的意思，但是一开始不会注意移动的方向，要让孩子们从移动中再观察，得出移动还有方向。这就是把单一的知识通过再学习再思索成为了多元化的知识。
在教学中我发现学生非常善于从一个模型中得到另一个相反的模型。比如：3+4就会立刻想到4+3，6可以分成1和5，立刻想到6可以分成5和1。所以说联想是孩子与身俱来的特点，只要加以引导，孩子们可以把单一知识加工、改造、重组成很多元化的知识，甚至形成体系。特别是在合作的前提下这种影响更加明显。
3.延续旧识，发展新知。
以前的教学方式是“老师先要讲什么，再讲什么，最后讲什么”，现在备课都要在学生身上“大做文章”才行。知识是学生在学，学生的知识量教师要有所了解，在这个前提下，教师还要梳理清楚知识之间的联系，让学生在原有的基础上能够逐步潜移默化新成新的知识点。
如学习了《认识立体图形》后再学习《认识平面图形》就可以利用孩子们爱玩，爱动的天性，让他们拿着一个长方体画一画，画完再认一认。学生很感兴趣，画了出来，但是大部分都不认识这个图形叫什么，于是经过一番讨论之后就得到了一个新的图形“长方形”。在这个过程中，学生始终只有一个长方体在手上，通过画一画和讨论的形式才知道“长方形”这个名字，再根据自己所看到的长方形去寻找“什么样的图形才叫长方形”。整个过程中教师只是一个提供材料和组织活动的人，所有的知识都是通过学生知道的图形而来的，原本不知道长方形这个名字的孩子也可以通过讨论得知，再由教师肯定和强调从而到了新的图形“长方形”。这就是延续旧的知识点“长方体”，得到了新的知识点“长方形”的过程。 二、运用是对学习的延续
“如果学生不能筹划他自己解决问题的方法（自然不是和教师、同学隔绝，而是和他们合作进行），自己寻找出路，他就学不到什么；即使他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还是学不到什么。”
所谓解决问题的方法，就是如何运用知识的方法。想要运用知识，首先一定要对知识融汇贯通、理解透彻。学习的延续就是要把刚刚才得到的知识，加以消化吸收，成为自身的一部分。而这种消化吸收需要依靠知识的运用过程来实现。能够熟练运用某个知识点了才说明知识的掌握已经很扎实了。如果学生能够从众多知识点中轻而易举地选出解决问题所需要的那些的时候，说明这个学生已经能把所学知识整理归纳起来，更加上了一个层次。
运用知识的能力，即对知识掌握的熟练程度，主要在练习中体现出来，当然数学很多时候都是能和生活联系起来的。比如《认识钟表》，如果平时生活中随口一问即能说出准确时间的话，这个孩子一定对知识掌握得非常牢固了，反之还要数一数，想很久的孩子说明还不能很好地运用知识点，对知识还比较生疏，还需要一个继续学习的过程，以得到更好的运用效果。
重视延续学习和运用过程对孩子从小打好基础，全面掌握知识，形成稳固的知识体系尤为重要。
三、感悟是对运用的延续
1.感悟，形成了对数学学习的兴趣。
“总之，必使学生得学之乐，而耐学之苦，才是正轨。若一任学生趋乐避苦，这是哄骗小孩子的糖果子，决不是造就人才的教育。”这是《陶行知全集》中的一句话。
我有一个学生，家里父母亲非常宠爱她，进入一年级的她动作很慢，心灵又非常脆弱，只要作业做得比别的小朋友慢了点就哭，每天早上都不肯来上学，爸爸说她得了厌学症。而我认为只要她的动作快了，作业能完成了，得到表扬了，“厌学症”肯定就随之消失。所以一做作业我就催她动作加快，别老用橡皮擦，果然她能及时完成作业了，心情自然也变好了，也喜欢上数学课了。
通过这件事情我明白，想要让孩子喜欢一门课其实并不难，只要能够让孩子把自己学到的知识熟练运用，得到肯定，自然就会喜欢这门课。
教育的方式有很多，先甜后苦，先苦后甜都可以，但是我还是认为永远甜蜜的学习是没有的。我们不能一味用假象来哄骗孩子，而是要让孩子在学习数学的过程中发现学习数学的乐趣，或者体验到成功的喜悦之后对数学这门课产生浓厚的兴趣，使他们在数学学习上有了一个可持续发展的基础。
2.感悟，形成了下一轮数学学习的经验。
没有一定的知识储备，就不能进行下一轮新知识的学习。学生学习除数是两位数的除法的时候一定已经熟练掌握了除数是一位数的除法运算。熟练掌握知识，需要有大量的实践和运用的机会和自身不断地概括总结才能达到。学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。在途中发生的错误有时候反而能够成为学习上的指路明灯。但是有错一定要知道错在哪里，为什么会错，怎样解决这个错误。教师要为学生创造一个寻找错误的空间，这个空间里可以是老师故意犯的错，可以是学生自己犯的错，也可以是其他学生犯的错。
比如说，一年级教材中有个“一图四式”的内容，看一幅图要列出二加二减四个算式，这个知识点中，比较容易出错的是减法里的被减数是几。有这样的一幅图“☆☆ ★★★★”减法算式应该是6-2=4和6-4=2。而有些还没有理解减法意义的学生就会列成4-2=2和2-4=2。这样的错误，在课堂上要及时纠正，对犯错的孩子来说是一次理解减法意义的机会，对没有犯错的孩子来说也是一次反面教育的机会。孩子们往往在别人犯错的时候会变得眼明手快，一下子就发现错误的地方是被减数。但是发现错误简单，去悉心体验犯错误的原因却并不简单。而教师这个时候不能只求表面发现错误、纠正错误就满足了，而是要引导学生想他人之所想，思他人之所思，挖掘错误根源，避免发生类似错误。这样的教学方式，不仅巩固了知识要点，而且还能培养学生的观察能力和发散性思维能力。
其实发现自己的错误比发现别人的错误更难。错误的产生和知识的掌握程度有密切的联系，也和学生自身分析、消化、吸收和感悟知识的程度有关。自身的错误，要通过对知识熟练的掌握，形成内化，产生体验之后才能避免或者被发现。在知识不断被运用的过程中，学生思想上自然会产生碰撞和感受，从而形成下一轮学习中一个新的经验。
我觉得数学学习和语文学习有很多地方相通，但又有很多地方截然不同。上公开课，除了一年级以外，语文随便跳着上一节一般都不成问题，但是数学就不可以。有些人可能觉得，如果是某个独立的单元比如“可能性”、“找规律”之类也是没问题的。但是我还是觉得数学知识都是相辅相成的，学习后面内容的时候一定以前面的某些内容为基础。数学知识有一个很清晰的框架体系，被打乱了的话，对教师的教学和学生的学习肯定有害无益。我希望能够使学生在延续前一个知识的基础上得到新的启发，学会新的知识，让学生在这种延续性的学习中得到全方位的发展。（本文荣获嘉善县教学优秀论文评比二等奖）
参考文献：
[1]教育部，数学课程标准（实验稿），北京师范大学出版社，2001。
[2]陶行知，陶行知全集，四川教育出版社，2005。
【关键词】：数学学习；延续；发展
几年前，当我还是个师范生的时候，到一个小学实习，那是一节三年级的数学课，内容是《除数是一位数的除法》。在这之前我既没有接触过新教材，又没有任何的教案可以参考，教参上所说的教学目标我能领会，但是不知道用什么方式去教学生。而最担心的事情是我对学生已经掌握了哪些知识不够了解，非常害怕自己提出的问题学生无法理解或者知识点学生没有学到过。那个时候终于体会到“要给学生一杯水，自己就要有一桶水”这句话的意义了，我拥有的可能还不如学生的一杯水。
现在我已经对教学的编排有了比较全面的了解，上课的时候能充分考虑到学生的知识储备，用已有的知识来引导学生探究新知识。一般情况下，新知识的形成都是在延续旧知识的前提下进行的，就像一个不会加减的人，不可能理解乘除一样。在数学教学活动中，如果能够让旧的知识、经验带动新知识的形成，那么不仅能够让学生在学习上更有兴趣，也能让我们的教学活动事半功倍，使学生的学习一环扣一环，由浅入深，由易到难，循环往复，提高了学习效率，学生也能在这种延续性的学习中得到全方位的发展。
在教学活动中通过虚心研读新课程标准，耐心分析教材编排，精心设计教学过程，仔细观察学生反应等方式，结合教学实例，对学生的学习过程进行总结概括，我得到了以下三个方面的认识。
一、学习是对经验的延续
华罗庚先生说过：“把一个比较复杂的问题‘退’成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再……来一个飞跃上升。这是一个十分精辟的思维方法，用这种方法解决问题，第一可以培养学生良好的心理素质，使之遇‘新’不惧。”
1.延续形象，发展抽象。
即使是一年级的小朋友也是有生活经验的，他们一定见过汽车，也知道汽车会跑；一定去过商店，也知道买东西要花钱；一定见过钟表，也知道有时间这种东西……这些就是孩子们的生活经验，他们的所见所闻都是具体的、生活化的、凌乱的，没有类别也不成系统。
我在教学中就非常注重孩子们已有生活的经验，从经验出发，进行引导，引发思考，最终形成知识。课堂上不难发现，越是贴近孩子生活的学习材料越是能让他们产生学习的兴趣，我从生活中人人都看到过的东西着手，把枯燥的数学内容融入有趣的生活实际中去，让孩子产生亲切感，对学习材料产生兴趣，从而在这个基础上进行深入学习，延续耳熟能详的生活经验，让知识由浅入深发展下去，形成真正的数学知识。
人教版数学三年级上册有个内容是学习《周长》。书中的解释很抽象，因此我就考虑从教室里每天都挂着的一幅“中国地图”入手，和学生一起周长的知识。教学片段：
师：同学们，你们知道我们教室里一直挂着的这幅是什么画吗？（中国地图。）
你知道地图上哪些部分是属于我们中国的领土吗？（学生上前指一指。）
师：你们真聪明！如果我们沿着我们的国家走上一圈该怎么走？（学生上前演示。）
师：你们知道这一圈代表什么吗？
生：代表我们国家的大小；代表边疆；代表里面的部分是我们国家的土地；代表把不同国家分开。……
师：是啊，如果把我们的中国看成一个形状特别的图形，这一圈就是这个图形的周长。（板书课题）
中国地图是学生熟悉的事物，天天都在看，但是他们不知道这其中还包含周长的知识。学生从国家的边境线认识周长就是一个从形象到抽象的过程，而且地图是不规则的，学生知道了不规则图形的周长之后再找规则图形的周长反而更加简单。接下去的教学任务就是延续以上的知识，深入理解知识的内涵和外延，形成“周长”这个概念。
这就是把简单的知识延续下去，思考下去，从量变达到质变，然后“一个飞跃”，形成了新的知识的过程。
2.延续单一，发展多元。
举个小小的例子，在生活中，有一个人在走路，如果有人问：他在干什么？大部分人肯定会回答：他在走路。其实走路也有向前向后，有快有慢之分。孩子们对事物的理解只关注一个方面而忽略其他部分。但是只要稍加提点，孩子们的思维就可以被激活。
如在教学《平移》的时候，孩子们都知道移动的意思，但是一开始不会注意移动的方向，要让孩子们从移动中再观察，得出移动还有方向。这就是把单一的知识通过再学习再思索成为了多元化的知识。
在教学中我发现学生非常善于从一个模型中得到另一个相反的模型。比如：3+4就会立刻想到4+3，6可以分成1和5，立刻想到6可以分成5和1。所以说联想是孩子与身俱来的特点，只要加以引导，孩子们可以把单一知识加工、改造、重组成很多元化的知识，甚至形成体系。特别是在合作的前提下这种影响更加明显。
3.延续旧识，发展新知。
以前的教学方式是“老师先要讲什么，再讲什么，最后讲什么”，现在备课都要在学生身上“大做文章”才行。知识是学生在学，学生的知识量教师要有所了解，在这个前提下，教师还要梳理清楚知识之间的联系，让学生在原有的基础上能够逐步潜移默化新成新的知识点。
如学习了《认识立体图形》后再学习《认识平面图形》就可以利用孩子们爱玩，爱动的天性，让他们拿着一个长方体画一画，画完再认一认。学生很感兴趣，画了出来，但是大部分都不认识这个图形叫什么，于是经过一番讨论之后就得到了一个新的图形“长方形”。在这个过程中，学生始终只有一个长方体在手上，通过画一画和讨论的形式才知道“长方形”这个名字，再根据自己所看到的长方形去寻找“什么样的图形才叫长方形”。整个过程中教师只是一个提供材料和组织活动的人，所有的知识都是通过学生知道的图形而来的，原本不知道长方形这个名字的孩子也可以通过讨论得知，再由教师肯定和强调从而到了新的图形“长方形”。这就是延续旧的知识点“长方体”，得到了新的知识点“长方形”的过程。 二、运用是对学习的延续
“如果学生不能筹划他自己解决问题的方法（自然不是和教师、同学隔绝，而是和他们合作进行），自己寻找出路，他就学不到什么；即使他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还是学不到什么。”
所谓解决问题的方法，就是如何运用知识的方法。想要运用知识，首先一定要对知识融汇贯通、理解透彻。学习的延续就是要把刚刚才得到的知识，加以消化吸收，成为自身的一部分。而这种消化吸收需要依靠知识的运用过程来实现。能够熟练运用某个知识点了才说明知识的掌握已经很扎实了。如果学生能够从众多知识点中轻而易举地选出解决问题所需要的那些的时候，说明这个学生已经能把所学知识整理归纳起来，更加上了一个层次。
运用知识的能力，即对知识掌握的熟练程度，主要在练习中体现出来，当然数学很多时候都是能和生活联系起来的。比如《认识钟表》，如果平时生活中随口一问即能说出准确时间的话，这个孩子一定对知识掌握得非常牢固了，反之还要数一数，想很久的孩子说明还不能很好地运用知识点，对知识还比较生疏，还需要一个继续学习的过程，以得到更好的运用效果。
重视延续学习和运用过程对孩子从小打好基础，全面掌握知识，形成稳固的知识体系尤为重要。
三、感悟是对运用的延续
1.感悟，形成了对数学学习的兴趣。
“总之，必使学生得学之乐，而耐学之苦，才是正轨。若一任学生趋乐避苦，这是哄骗小孩子的糖果子，决不是造就人才的教育。”这是《陶行知全集》中的一句话。
我有一个学生，家里父母亲非常宠爱她，进入一年级的她动作很慢，心灵又非常脆弱，只要作业做得比别的小朋友慢了点就哭，每天早上都不肯来上学，爸爸说她得了厌学症。而我认为只要她的动作快了，作业能完成了，得到表扬了，“厌学症”肯定就随之消失。所以一做作业我就催她动作加快，别老用橡皮擦，果然她能及时完成作业了，心情自然也变好了，也喜欢上数学课了。
通过这件事情我明白，想要让孩子喜欢一门课其实并不难，只要能够让孩子把自己学到的知识熟练运用，得到肯定，自然就会喜欢这门课。
教育的方式有很多，先甜后苦，先苦后甜都可以，但是我还是认为永远甜蜜的学习是没有的。我们不能一味用假象来哄骗孩子，而是要让孩子在学习数学的过程中发现学习数学的乐趣，或者体验到成功的喜悦之后对数学这门课产生浓厚的兴趣，使他们在数学学习上有了一个可持续发展的基础。
2.感悟，形成了下一轮数学学习的经验。
没有一定的知识储备，就不能进行下一轮新知识的学习。学生学习除数是两位数的除法的时候一定已经熟练掌握了除数是一位数的除法运算。熟练掌握知识，需要有大量的实践和运用的机会和自身不断地概括总结才能达到。学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。在途中发生的错误有时候反而能够成为学习上的指路明灯。但是有错一定要知道错在哪里，为什么会错，怎样解决这个错误。教师要为学生创造一个寻找错误的空间，这个空间里可以是老师故意犯的错，可以是学生自己犯的错，也可以是其他学生犯的错。
比如说，一年级教材中有个“一图四式”的内容，看一幅图要列出二加二减四个算式，这个知识点中，比较容易出错的是减法里的被减数是几。有这样的一幅图“☆☆ ★★★★”减法算式应该是6-2=4和6-4=2。而有些还没有理解减法意义的学生就会列成4-2=2和2-4=2。这样的错误，在课堂上要及时纠正，对犯错的孩子来说是一次理解减法意义的机会，对没有犯错的孩子来说也是一次反面教育的机会。孩子们往往在别人犯错的时候会变得眼明手快，一下子就发现错误的地方是被减数。但是发现错误简单，去悉心体验犯错误的原因却并不简单。而教师这个时候不能只求表面发现错误、纠正错误就满足了，而是要引导学生想他人之所想，思他人之所思，挖掘错误根源，避免发生类似错误。这样的教学方式，不仅巩固了知识要点，而且还能培养学生的观察能力和发散性思维能力。
其实发现自己的错误比发现别人的错误更难。错误的产生和知识的掌握程度有密切的联系，也和学生自身分析、消化、吸收和感悟知识的程度有关。自身的错误，要通过对知识熟练的掌握，形成内化，产生体验之后才能避免或者被发现。在知识不断被运用的过程中，学生思想上自然会产生碰撞和感受，从而形成下一轮学习中一个新的经验。
我觉得数学学习和语文学习有很多地方相通，但又有很多地方截然不同。上公开课，除了一年级以外，语文随便跳着上一节一般都不成问题，但是数学就不可以。有些人可能觉得，如果是某个独立的单元比如“可能性”、“找规律”之类也是没问题的。但是我还是觉得数学知识都是相辅相成的，学习后面内容的时候一定以前面的某些内容为基础。数学知识有一个很清晰的框架体系，被打乱了的话，对教师的教学和学生的学习肯定有害无益。我希望能够使学生在延续前一个知识的基础上得到新的启发，学会新的知识，让学生在这种延续性的学习中得到全方位的发展。（本文荣获嘉善县教学优秀论文评比二等奖）
参考文献：
[1]教育部，数学课程标准（实验稿），北京师范大学出版社，2001。
[2]陶行知，陶行知全集，四川教育出版社，2005。