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【教材的地位与作用】
余角与补角是在学习了角的度量与角的比较与运算的基础上，对角的数量关系做进一步的探究，而余角与补角的性质也是后面学习对顶角相等和平行线的判断和性质的重要依据，另外教材已开始对学生提出“说点理”，为以后推理证明题做准备，也为培养和发展学生的逻辑思维能力和观察?分析?归纳能力打下了良好的基础。
余角与补角这节课的内容知识点少，内容简单，往往被老师视为没有什么可讲的，枯燥的章节，所以在处理上大多是交代完教材，反复练习便达到了教学目的，但如果我们细心观察注意练习总结会发现，互补和互余在生活中并不少见，而且这部分知识在今后解决综合性问题时也常常充当纽带和桥梁，所以在设计时充分考虑实践性和操作性。
【学生分析】学生智力水平参差不齐，基础和发展均不平衡。因此比较适合用小组参与探究活动的学习方法在教师的指导下主动探索，分组讨论发现归纳数学知识。
【设计理念】针对教材的内容和学生实际，组织学生实践感悟出互余互补的概念，引导学生分析解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现互余互补的性质，使学生成为探求知识的主体。同时利用问题探究式的方法及竞赛法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
【学习目标】
（1）理解余角、补角的概念。理解掌握余角和补角的性质。
（2）求某角的度数，使学生初步会用简单的代数思想一方程来处理。了解角在解决实际简单问题中的一些简单应用。
（3）学生初步接触和体会归纳演绎推理的方法和表述，经历观察、推理、交流等活动，发展学生的空间观念培养学生的推理能力和有条理的表达能力。
【学习重、难 点】
重点：余角和补角的概念及其性质
难点：余角和补角的性质应用，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。
【教学过程】
（一）余角的概念教学
1.自学课本
2. 实验操作
拿出一张用硬纸板做的直角，然后将其任意剪成两个角，分别标上∠1，∠2，问这两个角的和为多少度。
（∠1+∠2=90°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余）
这一环节的目的是初步感知余角的定义以及余角与角的位置无关
3.互余的概念：（首先让学生用自己的语言表达然后老师在强调说明）
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，簡称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠ 1与 ∠ 2互为余角，
∠ 1是 ∠ 2的余角， ∠ 2也是∠ 1的余角。
互余的数量关系：∠1+∠2=90 °
思考：如果∠1+∠2+∠3=90 °那么∠1，∠2，∠3是互为余角吗？
强调说明：余角是两个角之间的关系，不能扩大到三个角，余角与角的位置无关。
∠1的余角 =90 °—∠1
（二）补角概念教学
1.自学课本
设计的目的是让学生初步感知补角的定义。
2.实验探究：拿出一张用硬纸板做的平角，然后将其任意剪成两个角，分别标上∠1，∠2，问这两个角的和为多少度。
（∠1+∠2=180°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互补）
3.自主探究：以同桌为一个小组，类比两角互余的概念，一起探討两角互补的概念及特点。
互补的概念：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
如果， ∠1与∠2互为补角，∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角。
互补的数量关系：∠1+∠2=180°，∠1的补角 =180°—∠1
4.注意要点：（1）互补是两个角之间的关系。
（2）与角的位置无关。
5.设计游戏，并提出问题（幻灯片展示）。
游戏规则如下： （1）其中一个同学任意说出一个0°— 180°之间的角，并说明你想知道的是它的余角或补角，其他同学抢答。
提出问题：（1）你能变换提问的方式吗？
（2）观察一个角的余角和补角之间的关系？
（设计意图：通过轻松愉快的游戏过程拉近师生之间的距离，并让学生学会熟练地求解一个角的余角和补角。基础练习见课件）
（3）例1讲解：例1：∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30 °， 求∠α、∠β的度数。
分析：提示学生利用一元一次方程的方法，用代数式的方法来表示余角和补角
练习：一个角比它的余角小20°，它的补角是多少度？（学生独立完成）
6. 结合今天所学的知识，提一个与余角、补角有关的问题。
（三）余角补角的性质
1.同角的余角相等
如果∠1是∠3的余角，∠2也是∠3的余角，那么∠1与∠2有什么关系呢？
（同角的余角相等）
变式：如果∠1是∠3的余角，∠2也是∠4的余角，∠3=∠4，那么∠1与∠2有什么关系呢？
（等角的余角相等）
2. 同角或等角的补角相等
（四）拓展慧悟
1. 认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
（2）∠1、∠A相等吗？请说明理由。
（3）图中哪几对角是相等的角（直角除外）？
2. 如图，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的角平分线。看图回答：
（1）图中互余的角是______________________ （2）图中互补的角是______________________
（3）图中相等的角是______________________
3. 变式：如右上图，在上题的基础上添加一条射线OE，使得∠DOE是一个直角，回答下列问题：
（1）图中∠DOC的余角有______________________
（2）图中∠ AOD的余角有______________________
（3）∠AOD和∠COE的补角分别是__________________
（4）请选择一对相等角，并证明。
（设计意图：本探究及其配套练习题主要目的是拓展学生思维，让学生在合作交流中完成由特殊到一般的探究和演绎推理）
【课堂小结】
请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
【学习反馈】
1. 47°的余角是 ，补角是 。
2. ∠α（0<∠α<90°）的余角是 ，∠β（0<∠β< 180°）的补角是 。
3. 已知一個角的余角比这个角的补角的还小12°，求这个角余角和补角的度数。
（设计意图：本节课的学习反馈为复习巩固、综合运用和拓广探索三组分层练习，目的在于使每个学生都得到最佳巩固发展。）
【总评】
让“悟学”在课堂教学中流淌
学之道在于悟。
彭老师这节课的教学设计及教学活动，坚持以“悟学”理念为指导，坚持“教以生为本，学以悟为根”为出发点，坚持“教是为了不教，学是为了活学 ”为落脚点，在课堂活动中，让学生感悟“互余、互补”的概念，领悟“互余、互补”的性质、慧悟“互余、互补”的价值，并通过探究活动让学生进一步掌握学习方法、认清学习的本质，形成良好的学习习惯，积累数学核心素养。
从整体上说，本节课从以下三个方面来实现“悟学”价值。
1. 通过自学活动，感悟数学概念
彭老师通过设计自学与实验这一活动，让学生初步感知余角、补角的概念，并在实验操作中，让学生感悟余角与补角它们只与角的数量有关，与角的位置无关这一数学本质。这个过程是让学生“做数学”的过程，是学生通过自我获取知识的过程。自学是一个人终生需求的能力之一，也是学习的核心素养之一。如何践行？我们可以从彭老师的教学设计中得到启发。
2. 通过探究活动，领悟数学性质
学习活动的价值往往体现在探究活动的质量。在研究互余、互补性质时，彭老师通过設计问题情境，让学生在情境中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。这样的教学不是直接告诉学生性质的结果，而是通过探究过程，让学生锤炼思维，领悟探究的真谛，提升学生的学力。这样就抓住了数学活动的牛鼻子，也只有让学生在这样的数学活动中，才能念领悟到学习的力量。
3. 通过拓展活动，慧悟数学价值
一切教学活动必须回归到教学的价值，为此，教学活动必须指向数学教学价值。彭老师通过学生运用互余、互补的相关知识解决数学内部和数学外部的问题，就是让学生在这样的活动中慧悟数学的价值。在课堂小结过程中，通过“请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的学习体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……”这一活动，将人本思想推向了高潮，有力地实现了通过数学助力学生生命成长的教育终极价值。
作者简介：
彭艳，江苏省扬州美琪学校教师，获江苏省第十二届“蓝天杯”初中数学教师课堂大赛一等奖。本节是她在江苏省“蓝天杯”优课送培——走进镇江京口中学的展示课。
卜以楼，江苏省数学特级教师，正高级教师。江苏省优秀教育工作者，全国青少年科技教育先进个人。国家、省教师培训专家库成员。南京师范大学硕士研究生实践指导导师。江苏省特级教师后备指导导师。南京市首批名师工作站主持人，鼓楼区初中数学名师工作室主持人。《中学数学教学参考》（中旬）、《中学数学》（初中）、《数学教学研究》等杂志特约编辑、编委。是“生长数学”的倡导者、探索者、实践者。主张把学生生命成长的诱因、过程、规律作为数学教育的价值诉求、基本内容和主要方法。主张数学教育必须与学生生命成长相得益彰，让数学教学适合学生的生长、助力学生生命成长。主张要在营造思维必然中训练学生的数学思维品质，让学生学到有生长力的数学。
余角与补角是在学习了角的度量与角的比较与运算的基础上，对角的数量关系做进一步的探究，而余角与补角的性质也是后面学习对顶角相等和平行线的判断和性质的重要依据，另外教材已开始对学生提出“说点理”，为以后推理证明题做准备，也为培养和发展学生的逻辑思维能力和观察?分析?归纳能力打下了良好的基础。
余角与补角这节课的内容知识点少，内容简单，往往被老师视为没有什么可讲的，枯燥的章节，所以在处理上大多是交代完教材，反复练习便达到了教学目的，但如果我们细心观察注意练习总结会发现，互补和互余在生活中并不少见，而且这部分知识在今后解决综合性问题时也常常充当纽带和桥梁，所以在设计时充分考虑实践性和操作性。
【学生分析】学生智力水平参差不齐，基础和发展均不平衡。因此比较适合用小组参与探究活动的学习方法在教师的指导下主动探索，分组讨论发现归纳数学知识。
【设计理念】针对教材的内容和学生实际，组织学生实践感悟出互余互补的概念，引导学生分析解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现互余互补的性质，使学生成为探求知识的主体。同时利用问题探究式的方法及竞赛法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
【学习目标】
（1）理解余角、补角的概念。理解掌握余角和补角的性质。
（2）求某角的度数，使学生初步会用简单的代数思想一方程来处理。了解角在解决实际简单问题中的一些简单应用。
（3）学生初步接触和体会归纳演绎推理的方法和表述，经历观察、推理、交流等活动，发展学生的空间观念培养学生的推理能力和有条理的表达能力。
【学习重、难 点】
重点：余角和补角的概念及其性质
难点：余角和补角的性质应用，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。
【教学过程】
（一）余角的概念教学
1.自学课本
2. 实验操作
拿出一张用硬纸板做的直角，然后将其任意剪成两个角，分别标上∠1，∠2，问这两个角的和为多少度。
（∠1+∠2=90°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余）
这一环节的目的是初步感知余角的定义以及余角与角的位置无关
3.互余的概念：（首先让学生用自己的语言表达然后老师在强调说明）
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，簡称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠ 1与 ∠ 2互为余角，
∠ 1是 ∠ 2的余角， ∠ 2也是∠ 1的余角。
互余的数量关系：∠1+∠2=90 °
思考：如果∠1+∠2+∠3=90 °那么∠1，∠2，∠3是互为余角吗？
强调说明：余角是两个角之间的关系，不能扩大到三个角，余角与角的位置无关。
∠1的余角 =90 °—∠1
（二）补角概念教学
1.自学课本
设计的目的是让学生初步感知补角的定义。
2.实验探究：拿出一张用硬纸板做的平角，然后将其任意剪成两个角，分别标上∠1，∠2，问这两个角的和为多少度。
（∠1+∠2=180°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互补）
3.自主探究：以同桌为一个小组，类比两角互余的概念，一起探討两角互补的概念及特点。
互补的概念：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
如果， ∠1与∠2互为补角，∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角。
互补的数量关系：∠1+∠2=180°，∠1的补角 =180°—∠1
4.注意要点：（1）互补是两个角之间的关系。
（2）与角的位置无关。
5.设计游戏，并提出问题（幻灯片展示）。
游戏规则如下： （1）其中一个同学任意说出一个0°— 180°之间的角，并说明你想知道的是它的余角或补角，其他同学抢答。
提出问题：（1）你能变换提问的方式吗？
（2）观察一个角的余角和补角之间的关系？
（设计意图：通过轻松愉快的游戏过程拉近师生之间的距离，并让学生学会熟练地求解一个角的余角和补角。基础练习见课件）
（3）例1讲解：例1：∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30 °， 求∠α、∠β的度数。
分析：提示学生利用一元一次方程的方法，用代数式的方法来表示余角和补角
练习：一个角比它的余角小20°，它的补角是多少度？（学生独立完成）
6. 结合今天所学的知识，提一个与余角、补角有关的问题。
（三）余角补角的性质
1.同角的余角相等
如果∠1是∠3的余角，∠2也是∠3的余角，那么∠1与∠2有什么关系呢？
（同角的余角相等）
变式：如果∠1是∠3的余角，∠2也是∠4的余角，∠3=∠4，那么∠1与∠2有什么关系呢？
（等角的余角相等）
2. 同角或等角的补角相等
（四）拓展慧悟
1. 认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
（2）∠1、∠A相等吗？请说明理由。
（3）图中哪几对角是相等的角（直角除外）？
2. 如图，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的角平分线。看图回答：
（1）图中互余的角是______________________ （2）图中互补的角是______________________
（3）图中相等的角是______________________
3. 变式：如右上图，在上题的基础上添加一条射线OE，使得∠DOE是一个直角，回答下列问题：
（1）图中∠DOC的余角有______________________
（2）图中∠ AOD的余角有______________________
（3）∠AOD和∠COE的补角分别是__________________
（4）请选择一对相等角，并证明。
（设计意图：本探究及其配套练习题主要目的是拓展学生思维，让学生在合作交流中完成由特殊到一般的探究和演绎推理）
【课堂小结】
请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
【学习反馈】
1. 47°的余角是 ，补角是 。
2. ∠α（0<∠α<90°）的余角是 ，∠β（0<∠β< 180°）的补角是 。
3. 已知一個角的余角比这个角的补角的还小12°，求这个角余角和补角的度数。
（设计意图：本节课的学习反馈为复习巩固、综合运用和拓广探索三组分层练习，目的在于使每个学生都得到最佳巩固发展。）
【总评】
让“悟学”在课堂教学中流淌
学之道在于悟。
彭老师这节课的教学设计及教学活动，坚持以“悟学”理念为指导，坚持“教以生为本，学以悟为根”为出发点，坚持“教是为了不教，学是为了活学 ”为落脚点，在课堂活动中，让学生感悟“互余、互补”的概念，领悟“互余、互补”的性质、慧悟“互余、互补”的价值，并通过探究活动让学生进一步掌握学习方法、认清学习的本质，形成良好的学习习惯，积累数学核心素养。
从整体上说，本节课从以下三个方面来实现“悟学”价值。
1. 通过自学活动，感悟数学概念
彭老师通过设计自学与实验这一活动，让学生初步感知余角、补角的概念，并在实验操作中，让学生感悟余角与补角它们只与角的数量有关，与角的位置无关这一数学本质。这个过程是让学生“做数学”的过程，是学生通过自我获取知识的过程。自学是一个人终生需求的能力之一，也是学习的核心素养之一。如何践行？我们可以从彭老师的教学设计中得到启发。
2. 通过探究活动，领悟数学性质
学习活动的价值往往体现在探究活动的质量。在研究互余、互补性质时，彭老师通过設计问题情境，让学生在情境中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。这样的教学不是直接告诉学生性质的结果，而是通过探究过程，让学生锤炼思维，领悟探究的真谛，提升学生的学力。这样就抓住了数学活动的牛鼻子，也只有让学生在这样的数学活动中，才能念领悟到学习的力量。
3. 通过拓展活动，慧悟数学价值
一切教学活动必须回归到教学的价值，为此，教学活动必须指向数学教学价值。彭老师通过学生运用互余、互补的相关知识解决数学内部和数学外部的问题，就是让学生在这样的活动中慧悟数学的价值。在课堂小结过程中，通过“请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的学习体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……”这一活动，将人本思想推向了高潮，有力地实现了通过数学助力学生生命成长的教育终极价值。
作者简介：
彭艳，江苏省扬州美琪学校教师，获江苏省第十二届“蓝天杯”初中数学教师课堂大赛一等奖。本节是她在江苏省“蓝天杯”优课送培——走进镇江京口中学的展示课。
卜以楼，江苏省数学特级教师，正高级教师。江苏省优秀教育工作者，全国青少年科技教育先进个人。国家、省教师培训专家库成员。南京师范大学硕士研究生实践指导导师。江苏省特级教师后备指导导师。南京市首批名师工作站主持人，鼓楼区初中数学名师工作室主持人。《中学数学教学参考》（中旬）、《中学数学》（初中）、《数学教学研究》等杂志特约编辑、编委。是“生长数学”的倡导者、探索者、实践者。主张把学生生命成长的诱因、过程、规律作为数学教育的价值诉求、基本内容和主要方法。主张数学教育必须与学生生命成长相得益彰，让数学教学适合学生的生长、助力学生生命成长。主张要在营造思维必然中训练学生的数学思维品质，让学生学到有生长力的数学。