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一元二次方程有很多性质，包括方程根的判别式△=b2-4ac、根与系数的关系式（韦达定理）.这些性质都是建立在方程的标准形式上，即ax2 bx c=0（a≠0）.下面笔者从一元二次方程的性质出发，对其在实际解题过程中的应用进行讨论，分析一元二次方程的解题技巧.
一、根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式是学生实际解题过程中使用较多的一个性质.首先将方程转化为标准形式，再对判别式进行正向应用、逆向应用，从中寻找系数与根、判别式与根的对应关系，从而实现求解过程的简化.
例1 已知关于x的方程x2-2（k-1）x k2=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1 x2|=x1x2-1，求k的值.
分析：第一问采用根的判别式进行求解，针对实根个数选定判别式范围；第二问则可以在第一问的基础上进行判断，采用韦达定理进行求解.
解：由已知条件可知，原一元二次方程存在两个实数根.由于未明确实根类型，所以存在两种情况，即两个相同实根和两个不同实根，所以有判别式△=b2-4ac≥0.将方程中对应的系数带入判别式，可得[-2（k-1）2]-4k2≥0，经化简后求得k≤12.对于第二问，采用韦达定理进行计算，得到x1 x2=-ba=2（k-1）、x1x2=k2.将结果带入关系式|x1 x2|=x1x2-1中，解出k1=1、k2=-3，结合第一问的结论，得到k=-3.
二、根的判别式与三角形问题
例1是对根的判别式的直接应用，属于基础的判别应用.学生掌握了这一判别方法后，必须将其进行拓展应用.
例2 已知a、b、c为任意三角形的三边，且当k>0时，关于未知数x的方程c（x2 k） b（x2-k）-2kax=0存在两个相等的实数根，请判断△ABC的类型.
分析：很多学生拿到本题后，试图從三角形性质上寻找解题突破口，但最终都陷入解题的误区.对此，不妨引导学生从根的判别式上寻找突破口，利用方程解的个数进行判别.通过一元二次函数与三角形问题的综合考查，体现了数学知识之间的联系性，实现融会贯通.
解：针对方程c（x2 k） b（x2-k）-2kax=0，将其整理成一元二次方程的标准形式，即是（c b）x2-2kax ck-bk=0.因为该方程存在两个相等的实数根，故可以得到其判别式关系为△=b2-4ac=0，即（-2ka）2-4（c b）（ck-bk）=0，化简后可得k（a2 b2-c2）=0.由于k>0，故有a2 b2-c2=0，即a2 b2=c2，因此原三角形是直角三角形.
三、根的判别式与分式方程
在初中阶段，对一元二次方程的考查大多集中在方程性质及根的判别式的使用上，少数问题会对学科知识点进行综合考查.
例3 已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x2 2ax a=0的两个实数根.（1）判断是否存在实数a，使-x1 x1x2=4 x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.（2）求使（x1 1）（x2 1）为负整数的实数a的整数值.
分析：在题目中，反复出现方程两根和与积的形式，必然会联想到韦达定理的使用，将其转化成方程系数之间的关系.同时，根据方程根的关系，使用根的判别式得到对应取值a的范围.
解：因为x1、x2是一元二次方程（a-6）x2 2ax a=0的两个实数根，由韦达定理可知x1x2=aa-6，x1 x2=-2aa-6.同时，由于方程有两个实数根，有△=4a2-4a（a-6）≥0，且有a-6≠0，解得a≥0，且a≠6.对于第一问，若假设-x1 x1x2=4 x2成立，将韦达定理求出的表达式带入，可得aa-6=4-2aa-6，解出a=24，满足题目要求.综上可知，假设成立，即存在实数，使分式方程成立.对于第二问，将其展开，并继续将第一问中韦达定理的结果带入，可得（x1 1）（x2 1）=x1x2 x1 x2 1=-6a-6.此时，欲使原分式为负整数，则有a-6>0，且为6的约数.综上可知，满足条件的a的整数值为12、9、8、7.
总之，一元二次方程是初中数学考查的重点内容之一.在实际教学过程中，教师必须做到深入浅出，由对性质的直接应用逐步推广到对几何图形、分式方程乃至一次函数、二次函数和反比例函数等复杂应用中，从而提高学生解决实际问题的能力.
一、根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式是学生实际解题过程中使用较多的一个性质.首先将方程转化为标准形式，再对判别式进行正向应用、逆向应用，从中寻找系数与根、判别式与根的对应关系，从而实现求解过程的简化.
例1 已知关于x的方程x2-2（k-1）x k2=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1 x2|=x1x2-1，求k的值.
分析：第一问采用根的判别式进行求解，针对实根个数选定判别式范围；第二问则可以在第一问的基础上进行判断，采用韦达定理进行求解.
解：由已知条件可知，原一元二次方程存在两个实数根.由于未明确实根类型，所以存在两种情况，即两个相同实根和两个不同实根，所以有判别式△=b2-4ac≥0.将方程中对应的系数带入判别式，可得[-2（k-1）2]-4k2≥0，经化简后求得k≤12.对于第二问，采用韦达定理进行计算，得到x1 x2=-ba=2（k-1）、x1x2=k2.将结果带入关系式|x1 x2|=x1x2-1中，解出k1=1、k2=-3，结合第一问的结论，得到k=-3.
二、根的判别式与三角形问题
例1是对根的判别式的直接应用，属于基础的判别应用.学生掌握了这一判别方法后，必须将其进行拓展应用.
例2 已知a、b、c为任意三角形的三边，且当k>0时，关于未知数x的方程c（x2 k） b（x2-k）-2kax=0存在两个相等的实数根，请判断△ABC的类型.
分析：很多学生拿到本题后，试图從三角形性质上寻找解题突破口，但最终都陷入解题的误区.对此，不妨引导学生从根的判别式上寻找突破口，利用方程解的个数进行判别.通过一元二次函数与三角形问题的综合考查，体现了数学知识之间的联系性，实现融会贯通.
解：针对方程c（x2 k） b（x2-k）-2kax=0，将其整理成一元二次方程的标准形式，即是（c b）x2-2kax ck-bk=0.因为该方程存在两个相等的实数根，故可以得到其判别式关系为△=b2-4ac=0，即（-2ka）2-4（c b）（ck-bk）=0，化简后可得k（a2 b2-c2）=0.由于k>0，故有a2 b2-c2=0，即a2 b2=c2，因此原三角形是直角三角形.
三、根的判别式与分式方程
在初中阶段，对一元二次方程的考查大多集中在方程性质及根的判别式的使用上，少数问题会对学科知识点进行综合考查.
例3 已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x2 2ax a=0的两个实数根.（1）判断是否存在实数a，使-x1 x1x2=4 x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.（2）求使（x1 1）（x2 1）为负整数的实数a的整数值.
分析：在题目中，反复出现方程两根和与积的形式，必然会联想到韦达定理的使用，将其转化成方程系数之间的关系.同时，根据方程根的关系，使用根的判别式得到对应取值a的范围.
解：因为x1、x2是一元二次方程（a-6）x2 2ax a=0的两个实数根，由韦达定理可知x1x2=aa-6，x1 x2=-2aa-6.同时，由于方程有两个实数根，有△=4a2-4a（a-6）≥0，且有a-6≠0，解得a≥0，且a≠6.对于第一问，若假设-x1 x1x2=4 x2成立，将韦达定理求出的表达式带入，可得aa-6=4-2aa-6，解出a=24，满足题目要求.综上可知，假设成立，即存在实数，使分式方程成立.对于第二问，将其展开，并继续将第一问中韦达定理的结果带入，可得（x1 1）（x2 1）=x1x2 x1 x2 1=-6a-6.此时，欲使原分式为负整数，则有a-6>0，且为6的约数.综上可知，满足条件的a的整数值为12、9、8、7.
总之，一元二次方程是初中数学考查的重点内容之一.在实际教学过程中，教师必须做到深入浅出，由对性质的直接应用逐步推广到对几何图形、分式方程乃至一次函数、二次函数和反比例函数等复杂应用中，从而提高学生解决实际问题的能力.