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摘 要：本文结合复数的教学实例，从培养学生提出问题、思考问题、解决问题的能力出发，谈谈本人的认识。
关键词：培养；问题；能力
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）02-0131-02
数学地提出问题、思考问题、解决问题是推进数学发展的一个重要途径。有时是问题本身得到解决；有时是问题的反面得到解决；有时是问题虽然还不能解决，但在试图解决它的过程中发展出许多新的思想、方法。因此，数学教育要培养学生提出问题、思考问题、解决问题的能力。下面就此问题结合复数的教学实例， 谈谈本人的认识。
1. 复数的教学情况分析
复数的内容是高中数学课程中的传统内容。《标准》要求了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。同时对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3=1的根、介绍代数学基本定理等。
对于复数的代数形式的加、减运算及其几何意义的教学，多数教师按照课本次序先规定复数的加法法则，再讨论复数的加法法则的几何意义。部分教师尝试用向量的加法法则引入复数的加法法则，还有部分教师先规定复数的四则运算法则，最后引入复数加、减法法则的几何意义。但不管是用哪种方法，在学到复数运算的几何意义时，学生会自然地想到：既然复数和向量是一一对应的，那为什么不能用向量的乘积来定义复数的乘积？向量没有除法法则，为什么复数有除法法则？复数的乘法法则有没有几何意义？复数的除法法则有没有几何意义？
2.抓住思考方向，鼓励探究
有根据地提出问题是解决问题的前提，其重要性不言而喻。在数学教学中“问题解决”教学往往可以通过教师为学生创设问题情境，让学生在解决问题的过程中学数学、用数学。但是重视并利用学生在学习中提出的疑惑和问题，引导学生进行探索，更能唤起学生主动学习的意识，提高学生学习的兴趣。《标准》在教学建议中指出，针对不同的教学内容，可采用不同的学习方式，鼓励学生积极参与，帮助学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。因此，教师可以不拘泥于原定的教学计划，让学生大胆地提出问题，鼓励探究。
3.复数与几何意义的教学设计
（1）复数加法几何意义的教学。通过讨论发现复数的加法对应了向量的加法，即复数的加法可以按照向量的加法来进行。类比加法法则的讨论，学生通过自主探索发现复数的减法可以按照向量的减法来进行。
（2）复数的乘法可以按照向量的乘法进行吗？根据复数的乘法法则可以发现，复数的乘法可以按照多项式的乘法来进行，而且结果还是复数。然而两个向量的乘积是实数，因此复数的乘法不可以按照向量的乘法进行。
（3）复数的乘法法则有没有几何意义？复数的乘法属于代数问题，几何变换属于几何问题，沟通两者的桥梁就是笛卡尔创立的直角坐标系。对于复数加、减法法则的几何意义的探讨方法正是如此。为了方便研究，我们引入复数的三角表示法。
如右下图所示，复数z=a+bi对应复平面坐标系中的向量（a，b），且r=a2+b2。因此z=rcosθ+irsinθ。引导学生先尝试探索z和特殊复数i的乘积的几何意义，再探讨z与z1=r1cosφ+ir1sinφ（不妨设φ>0）的乘积的几何意义。从而培养学生从特殊到一般的合情推理能力。
z·i=（rcosθ+irsinθ）（cosπ2+isinπ2）=rcosθcosπ2+ircosθsinπ2+irsinθcosπ2+i2rsinθsinπ2=r（cosθcosπ2-sinθsinπ2）+ir（cosθsinπ2+sinθcosπ2）=rcos（θ+π2）+irsin（θ+π2）
z·i对应的向量是由z对应的向量逆时针旋转了π2后得到的，旋转的角度π2恰好是i所对应的辐角。
z·z1=（rcosθ+irsinθ）（r1cosφ+ir1sinφ）=rr1cosθcosφ+irr1cosθsinφ+irr1sinθcosφ+i2rr1sinθsinφ=r（cosθcosφ-sinθsinφ）+ir（cosθsinφ+sinθcosφ）=rr1cos（θ+φ）+irr1sin（θ+φ）
z·z1对应的向量是由z对应的向量伸缩了|z1|倍，再逆时针旋转了φ后得到的，旋转角度φ是z1所对应的辐角。
（4）复数有除法法则吗？因为实数是特殊的复数，而实数具有除法运算，自然地会想到复数也具有除法运算。由于复数间作加、减、乘运算后的结果还是复数，自然地想到复数间进行除法运算后还是复数。设z=a+bi，z1=c+di，那么zz1=a+bic+di。如果运算结果是复数的话，应该具有z=a+bi的形式，因此可以尝试把zz1=a+bic+di的分母化成实数。虽然没办法把c+di中的i直接消去，但能否根据i2=-1的性质，思考如何把c+di整个化成实数。经过教师的引导和学生的思考，复数的除法法则的给出和共轭复数的引入则显得很自然，也同时让学生亲身经历了微型的数学发现和研究的过程。
（5）复数的除法法则有没有几何意义？从zz1=a+bic+di的实化分母的过程中发现复数的除法最后可转化为复数的乘法运算，于是对除法的几何意义的探索实质上还是对复数的乘法的几何意义的探索。
zz1 = a + bic + di = rcosθ + irsinθr1 cos + ir1 sin
= （rcosθ + irsinθ）（r1 cos-ir1 sin）（r1 cos + ir1 sin）（r1 cos-ir1 sin） = （rcosθ + irsinθ）（r1 cos-ir1 sin）r21 cos2 + r21 sin2= rr1 cosθcos-irr1 cosθsin + irr1 sinθcos-i2rr1 sinθsinr21 = rr1 cos（θ-） + irr1 sin（θ-）r21 = rcos（θ-） + irsin（θ-）r1 = rr1 cos（θ-） + irr1 sin（θ-）。
zz1对应的向量是由z对应的向量伸缩了1|z1|倍，再顺时针旋转了φ后得到的，旋转角度φ是z1所对应的辐角。
从几何意义上讲，复数的除法恰好是复数的乘法的逆操作。这不仅对应了实数范围内除法与乘法互为逆运算的说法，而且避免了课本上的生硬规定。
虽然这样比较费时间，也会影响正常的教学进度，但却是值得的。因为问题是学生自主提出的，而且在教师的适当引导下亲身经历数学知识的探究过程，体验破解问题的成就感。同时进一步强化了学生数学思维和问题意识。并且在理解了之后会使学生较顺利地掌握复数的乘、除法法则，也为最终的知识、技能达标打下良好基础。
（作者单位：广东省广州市番禺区实验中学）
本论文曾获第二十七届番禺区教育学会论文评比三等奖
参考文献
[1] 数学课程标准研制组. 《普通高中数学课程标准（实验）解读》[ M ] . 南京：江苏教育出版社，2004.
[2]张思明.“问题解决”与问题环境设计[J].北京教育学院学报，1997，1.
关键词：培养；问题；能力
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）02-0131-02
数学地提出问题、思考问题、解决问题是推进数学发展的一个重要途径。有时是问题本身得到解决；有时是问题的反面得到解决；有时是问题虽然还不能解决，但在试图解决它的过程中发展出许多新的思想、方法。因此，数学教育要培养学生提出问题、思考问题、解决问题的能力。下面就此问题结合复数的教学实例， 谈谈本人的认识。
1. 复数的教学情况分析
复数的内容是高中数学课程中的传统内容。《标准》要求了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。同时对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3=1的根、介绍代数学基本定理等。
对于复数的代数形式的加、减运算及其几何意义的教学，多数教师按照课本次序先规定复数的加法法则，再讨论复数的加法法则的几何意义。部分教师尝试用向量的加法法则引入复数的加法法则，还有部分教师先规定复数的四则运算法则，最后引入复数加、减法法则的几何意义。但不管是用哪种方法，在学到复数运算的几何意义时，学生会自然地想到：既然复数和向量是一一对应的，那为什么不能用向量的乘积来定义复数的乘积？向量没有除法法则，为什么复数有除法法则？复数的乘法法则有没有几何意义？复数的除法法则有没有几何意义？
2.抓住思考方向，鼓励探究
有根据地提出问题是解决问题的前提，其重要性不言而喻。在数学教学中“问题解决”教学往往可以通过教师为学生创设问题情境，让学生在解决问题的过程中学数学、用数学。但是重视并利用学生在学习中提出的疑惑和问题，引导学生进行探索，更能唤起学生主动学习的意识，提高学生学习的兴趣。《标准》在教学建议中指出，针对不同的教学内容，可采用不同的学习方式，鼓励学生积极参与，帮助学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。因此，教师可以不拘泥于原定的教学计划，让学生大胆地提出问题，鼓励探究。
3.复数与几何意义的教学设计
（1）复数加法几何意义的教学。通过讨论发现复数的加法对应了向量的加法，即复数的加法可以按照向量的加法来进行。类比加法法则的讨论，学生通过自主探索发现复数的减法可以按照向量的减法来进行。
（2）复数的乘法可以按照向量的乘法进行吗？根据复数的乘法法则可以发现，复数的乘法可以按照多项式的乘法来进行，而且结果还是复数。然而两个向量的乘积是实数，因此复数的乘法不可以按照向量的乘法进行。
（3）复数的乘法法则有没有几何意义？复数的乘法属于代数问题，几何变换属于几何问题，沟通两者的桥梁就是笛卡尔创立的直角坐标系。对于复数加、减法法则的几何意义的探讨方法正是如此。为了方便研究，我们引入复数的三角表示法。
如右下图所示，复数z=a+bi对应复平面坐标系中的向量（a，b），且r=a2+b2。因此z=rcosθ+irsinθ。引导学生先尝试探索z和特殊复数i的乘积的几何意义，再探讨z与z1=r1cosφ+ir1sinφ（不妨设φ>0）的乘积的几何意义。从而培养学生从特殊到一般的合情推理能力。
z·i=（rcosθ+irsinθ）（cosπ2+isinπ2）=rcosθcosπ2+ircosθsinπ2+irsinθcosπ2+i2rsinθsinπ2=r（cosθcosπ2-sinθsinπ2）+ir（cosθsinπ2+sinθcosπ2）=rcos（θ+π2）+irsin（θ+π2）
z·i对应的向量是由z对应的向量逆时针旋转了π2后得到的，旋转的角度π2恰好是i所对应的辐角。
z·z1=（rcosθ+irsinθ）（r1cosφ+ir1sinφ）=rr1cosθcosφ+irr1cosθsinφ+irr1sinθcosφ+i2rr1sinθsinφ=r（cosθcosφ-sinθsinφ）+ir（cosθsinφ+sinθcosφ）=rr1cos（θ+φ）+irr1sin（θ+φ）
z·z1对应的向量是由z对应的向量伸缩了|z1|倍，再逆时针旋转了φ后得到的，旋转角度φ是z1所对应的辐角。
（4）复数有除法法则吗？因为实数是特殊的复数，而实数具有除法运算，自然地会想到复数也具有除法运算。由于复数间作加、减、乘运算后的结果还是复数，自然地想到复数间进行除法运算后还是复数。设z=a+bi，z1=c+di，那么zz1=a+bic+di。如果运算结果是复数的话，应该具有z=a+bi的形式，因此可以尝试把zz1=a+bic+di的分母化成实数。虽然没办法把c+di中的i直接消去，但能否根据i2=-1的性质，思考如何把c+di整个化成实数。经过教师的引导和学生的思考，复数的除法法则的给出和共轭复数的引入则显得很自然，也同时让学生亲身经历了微型的数学发现和研究的过程。
（5）复数的除法法则有没有几何意义？从zz1=a+bic+di的实化分母的过程中发现复数的除法最后可转化为复数的乘法运算，于是对除法的几何意义的探索实质上还是对复数的乘法的几何意义的探索。
zz1 = a + bic + di = rcosθ + irsinθr1 cos + ir1 sin
= （rcosθ + irsinθ）（r1 cos-ir1 sin）（r1 cos + ir1 sin）（r1 cos-ir1 sin） = （rcosθ + irsinθ）（r1 cos-ir1 sin）r21 cos2 + r21 sin2= rr1 cosθcos-irr1 cosθsin + irr1 sinθcos-i2rr1 sinθsinr21 = rr1 cos（θ-） + irr1 sin（θ-）r21 = rcos（θ-） + irsin（θ-）r1 = rr1 cos（θ-） + irr1 sin（θ-）。
zz1对应的向量是由z对应的向量伸缩了1|z1|倍，再顺时针旋转了φ后得到的，旋转角度φ是z1所对应的辐角。
从几何意义上讲，复数的除法恰好是复数的乘法的逆操作。这不仅对应了实数范围内除法与乘法互为逆运算的说法，而且避免了课本上的生硬规定。
虽然这样比较费时间，也会影响正常的教学进度，但却是值得的。因为问题是学生自主提出的，而且在教师的适当引导下亲身经历数学知识的探究过程，体验破解问题的成就感。同时进一步强化了学生数学思维和问题意识。并且在理解了之后会使学生较顺利地掌握复数的乘、除法法则，也为最终的知识、技能达标打下良好基础。
（作者单位：广东省广州市番禺区实验中学）
本论文曾获第二十七届番禺区教育学会论文评比三等奖
参考文献
[1] 数学课程标准研制组. 《普通高中数学课程标准（实验）解读》[ M ] . 南京：江苏教育出版社，2004.
[2]张思明.“问题解决”与问题环境设计[J].北京教育学院学报，1997，1.