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一直来,求线段形植树问题和求圆形植树问题的解法不一样,结果也不一样,同样长度的植树段,同样的植树间距,线形的要比圆形的多植一棵树。 “间距中点”法解释了这个问题。
以人教版为例,《义务教学课程标准实验教科书〈数学〉四年级下册》(人民教育出版社)关于植树问题的解法,归纳为:线段植树的棵数比间隔数要多1(教材117页题1);圆形植树棵数等于间隔数,也就是不必加1(教材122页题4)。众所周知,一些点拉紧了可成为线段等,封闭了可围成圆形等,同样长度的植树段,由于图形不同,植树棵数的确不相同吗?为什么一定要“加1”或“减1”呢?“加1”或“减1”的理由确实充分吗?实践让我产生了对“加1”法和“减1”法的疑虑。
一、“加1”法在实际应用中显不足
请看下列例题分析:
例1:A楼与B楼之间有条60米的通道,计划在该通道一侧每4米种植一棵梧桐树,可种多少棵梧桐树?
解:604+1=16(棵)
答:可种16棵梧桐树。
分析:每4米一个间隔,共15个间隔,实际只能种15棵树。如果按照“加1”法计算要种上16棵,则两端点必须各种上1棵,那么,植树人务必拆去A楼与B楼的墙体了,这显然是脱离实际的。
为了解决类似问题,教材(118页题2)采用间隔数“减1”的方法弥补,即:解:604-1=14(棵)
然而,用“减1”法解本题,虽然树栽下了,但少栽了1棵树。从某种意义上讲,是对绿化面积的浪费,而且,这样忽而“加1”(两端都栽),忽而“减1”(两端都不栽),会使小学生产生难以捉摸之嫌,甚至连命题者自己也会觉得麻烦,须在题后注上“两端都栽”,“两端都不栽”等说明。另一方面,这些少不了的题后注释也不利于对小学生的逻辑思维能力和分析判断能力的培养。
例2:有条3000米的村道,计划在靠小溪一侧每隔10米种植1棵银杏树,该植树项目平均承包给三户农户完成,平均每户种多少棵?
解法一:(按两端都栽计算)
3000 3=1000(米)1000 10+1=101(棵)
解法二:(按两端都栽计算)
3000 10+1=301(棵)301 3=100(棵)
解法三:(按两端都不栽计算)
3000 10-1=299(棵)299 3=99(棵)
解法四:(按两端都不栽计算)
3000 3=1000(米) 1000 10-1=99(棵)
分析:村道全长3000米,按每10米一个间隔,共300个间隔,也就是说总共能种300棵,则平均每户种植100棵,而现在计算要种303棵?很显然,这是不符合实际的。且按教材思路,以上四种解法在解题中未见什么差错,却出现四种不同的结果,再说,植树棵数还出现小数现象,这又如何解释?
例3:要把一块长200米,宽160米的荒地开垦后建成果园,以行距和株距各为4米栽种一批水蜜桃苗,共栽多少棵水蜜桃苗?
解法一:(按两端都栽计算):
(200 4+1) (1604+1)=2091(棵)
解法二:(按两端都不栽计算)
(200 4-1) (1604-1)=1911(棵)
解法三:(按行距中点和株距中点交点栽计算):
(200 4) (1604)=2000(棵)
解法四:(按面积比计算):
(200 160) (4 4)=2000(棵)
上述一个问题,却出现三种答案,哪个是正确的呢?解法一,按“加1”法计算,树从行距和株距的端点上栽起,多种了树;解法二,按“减1”法计算,少种了树。那么,按面积比计算为什么与按行距中点和株距中点交点栽计算的结果相同呢?答案很简单,因为他们栽树的点相重合,按行距中点和株距中点交点栽计算的植树点刚好与这个以边长为4米的正方形对角线交点相重合。因此,他们的植树方法是符合实际的,是科学的,是正确的。
二、“间距中点”法是植树问题的正确解法
为解决“加1”法与“减1”法的弊端,笔者认为“间距中点”法是植树问题完美的解法。“间距中点”法操作方便,只要从该植树段任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树(“加1”法是在该段端点处植下第一棵树的),以下依次按间距种植(与“加1”法类似),这样,距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面,从算理上分析,可以先求出该植树段含有多少个这样的间距,然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树,植树棵数正好等于间隔数。
应用“间距中点”法解题,则上述例1解答为:60 4=15(棵);例2解答为:
3000 3=1000(米) 1000 10=100(棵)或:3000 10=300(棵) 300 3=100(棵);
例3解答为:(200 4) (160 4)=2000(棵)。
植树(解题)时所规定的间距,科学地为各类树种提供至少足够的生长空间,“二分之一间距”也许是每棵树冠充足的覆盖半径。因此,按“间距中点”法植树既不多占植树空间(纠正了“加1”法的弊端),也不浪费植树空间(克服了“减1”法的弊病)。而且和谐植树,界址分明,树权确定,也不会闹出拆墙植树或植树棵数为小数的笑话了。
笔者认为,无论是直线形还是封闭图形,植树棵数等于植树段长度除以间距长度,植树棵数等于间隔数。“间距中点”法恰恰印证了直线形与圆形等封闭图形在植树问题上的计算方法的统一,回归了植树问题解法的本来面目。同样长度的植树段,植树间距又相同,哪有植树棵数不相等的理由呢!
以人教版为例,《义务教学课程标准实验教科书〈数学〉四年级下册》(人民教育出版社)关于植树问题的解法,归纳为:线段植树的棵数比间隔数要多1(教材117页题1);圆形植树棵数等于间隔数,也就是不必加1(教材122页题4)。众所周知,一些点拉紧了可成为线段等,封闭了可围成圆形等,同样长度的植树段,由于图形不同,植树棵数的确不相同吗?为什么一定要“加1”或“减1”呢?“加1”或“减1”的理由确实充分吗?实践让我产生了对“加1”法和“减1”法的疑虑。
一、“加1”法在实际应用中显不足
请看下列例题分析:
例1:A楼与B楼之间有条60米的通道,计划在该通道一侧每4米种植一棵梧桐树,可种多少棵梧桐树?
解:604+1=16(棵)
答:可种16棵梧桐树。
分析:每4米一个间隔,共15个间隔,实际只能种15棵树。如果按照“加1”法计算要种上16棵,则两端点必须各种上1棵,那么,植树人务必拆去A楼与B楼的墙体了,这显然是脱离实际的。
为了解决类似问题,教材(118页题2)采用间隔数“减1”的方法弥补,即:解:604-1=14(棵)
然而,用“减1”法解本题,虽然树栽下了,但少栽了1棵树。从某种意义上讲,是对绿化面积的浪费,而且,这样忽而“加1”(两端都栽),忽而“减1”(两端都不栽),会使小学生产生难以捉摸之嫌,甚至连命题者自己也会觉得麻烦,须在题后注上“两端都栽”,“两端都不栽”等说明。另一方面,这些少不了的题后注释也不利于对小学生的逻辑思维能力和分析判断能力的培养。
例2:有条3000米的村道,计划在靠小溪一侧每隔10米种植1棵银杏树,该植树项目平均承包给三户农户完成,平均每户种多少棵?
解法一:(按两端都栽计算)
3000 3=1000(米)1000 10+1=101(棵)
解法二:(按两端都栽计算)
3000 10+1=301(棵)301 3=100(棵)
解法三:(按两端都不栽计算)
3000 10-1=299(棵)299 3=99(棵)
解法四:(按两端都不栽计算)
3000 3=1000(米) 1000 10-1=99(棵)
分析:村道全长3000米,按每10米一个间隔,共300个间隔,也就是说总共能种300棵,则平均每户种植100棵,而现在计算要种303棵?很显然,这是不符合实际的。且按教材思路,以上四种解法在解题中未见什么差错,却出现四种不同的结果,再说,植树棵数还出现小数现象,这又如何解释?
例3:要把一块长200米,宽160米的荒地开垦后建成果园,以行距和株距各为4米栽种一批水蜜桃苗,共栽多少棵水蜜桃苗?
解法一:(按两端都栽计算):
(200 4+1) (1604+1)=2091(棵)
解法二:(按两端都不栽计算)
(200 4-1) (1604-1)=1911(棵)
解法三:(按行距中点和株距中点交点栽计算):
(200 4) (1604)=2000(棵)
解法四:(按面积比计算):
(200 160) (4 4)=2000(棵)
上述一个问题,却出现三种答案,哪个是正确的呢?解法一,按“加1”法计算,树从行距和株距的端点上栽起,多种了树;解法二,按“减1”法计算,少种了树。那么,按面积比计算为什么与按行距中点和株距中点交点栽计算的结果相同呢?答案很简单,因为他们栽树的点相重合,按行距中点和株距中点交点栽计算的植树点刚好与这个以边长为4米的正方形对角线交点相重合。因此,他们的植树方法是符合实际的,是科学的,是正确的。
二、“间距中点”法是植树问题的正确解法
为解决“加1”法与“减1”法的弊端,笔者认为“间距中点”法是植树问题完美的解法。“间距中点”法操作方便,只要从该植树段任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树(“加1”法是在该段端点处植下第一棵树的),以下依次按间距种植(与“加1”法类似),这样,距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面,从算理上分析,可以先求出该植树段含有多少个这样的间距,然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树,植树棵数正好等于间隔数。
应用“间距中点”法解题,则上述例1解答为:60 4=15(棵);例2解答为:
3000 3=1000(米) 1000 10=100(棵)或:3000 10=300(棵) 300 3=100(棵);
例3解答为:(200 4) (160 4)=2000(棵)。
植树(解题)时所规定的间距,科学地为各类树种提供至少足够的生长空间,“二分之一间距”也许是每棵树冠充足的覆盖半径。因此,按“间距中点”法植树既不多占植树空间(纠正了“加1”法的弊端),也不浪费植树空间(克服了“减1”法的弊病)。而且和谐植树,界址分明,树权确定,也不会闹出拆墙植树或植树棵数为小数的笑话了。
笔者认为,无论是直线形还是封闭图形,植树棵数等于植树段长度除以间距长度,植树棵数等于间隔数。“间距中点”法恰恰印证了直线形与圆形等封闭图形在植树问题上的计算方法的统一,回归了植树问题解法的本来面目。同样长度的植树段,植树间距又相同,哪有植树棵数不相等的理由呢!