论文部分内容阅读
向量是既有大小又有方向的量，它同时具有代数形式与几何形式的“双重身份”。因此在学习向量的加减法时，我们通过“三角形法则”和“平行四边形法则”对向量的加减法作解释和理解。在解决平面向量的某些问题时，如果我们可以主动运用向量加减法的几何性质，构建图形运用数形结合的方法，借助几何图形直观地反映出向量的代数关系来解决问题，以“形”助“数”可以使向量问题简单化，抽象问题具体化，从而达到事半功倍的效果。下面列举相关例题用以说明。
例1.（苏、锡、常、镇四市2011届高三联考调研测试二）
平面内两个非零向量α，β，满足|β|=1， 且α与β-α的夹角为135°，求|α|的取值范围。
分析：可令α= ，β= ，则β-α= （如图①）
在ΔOBA中，设∠OAB =θ，
点评：如果这道题目只是单纯地利用代数的方法进行运算，问题的解决将会比较困难。如果我们利用减法的三角形法则来表示α，β，β-α，三者之间的关系。那么题中的代数量就全部可以通过三角形的边、角等几何量来表示，这样就可以把问题转换解三角形的问题。
例2.（2013年高考湖南文科卷）已知a，b是单位向量，a-b=0，若c满足|c-a-b|=1，求|c|的最大值。
分析：注意到|c-a-b|=1，即|c-（a+b）|=1
令a= ，b= （如图②）
∴a+b= ∵a，b是单位向量且a·b=0，
∴四边形ABCD为正方形，其中| |=
设c= ，则∵c-（a+b）=
由题意∵|c-（a+b）|=1 ∴| |=1
∴C在以D为圆心，1为半径的圆上，∴|c|的最大值为 +1
点评：作为一道高考题，这道题目的解决方案不止这一种。在题中因为a与b是相互垂直的单位向量，我们同样可以设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），这样条件|c-a-b|=1可以转化为 =1，求|c|的最大值也可以转化为求的最大值，这时同样可以以O点为原点，建立直角坐标系，利用圆上点的几何性质来解决问题（如图②）。通过这一道题我们可以发现同一道题的“数”与“形”是可以相互转化的，它们可以互为补充，各取其长。
例3.（徐州市2013届高三第三次质量检测）
已知O为ΔABC的外心，若5 +12 -13 =0，求
分析： ∵O为ΔABC的外心，∴|OA|=|OB|=|OC|
∴5| |：12| |：13| |=5：12：13
又∵5 +12 ？13 =0
∴5 +12 =13 （如图③）
∵132=122+52 ∴OA⊥OB，
∴弧AMB所对的圆心角为270°
∴弧AMB所对的圆周角∠C=135°
点评：这道题目的难点在于（1）O为ΔABC的外心这一个条件怎么用？（2）以5，12，13为长度的三条边所构成的三角形是一个直角三角形，那么怎么样可以用好这个隐藏的几何条件？这两个难点都与“几何性质”相关。在这个时候如果可以运用向量加法的平行四边形法则，将三个向量的代数关系用平行四边形法则来进行几何描述，就可以很好地将“外心”以及直角三角形的几何性质性质用好，从而顺利地将问题解决。
对于上述例题的分析，我们发现在解决部分向量问题时如果熟练地运用向量的几何性质常可以让问题的解决显得举重若轻。当然这并不是说向量的几何性质要比代数运算重要，灵活地运用代数性质在解决问题的过程中也是必不可少的。事实上数学是提示客观事物数量和形体本质关系的科学，“数”与“形”是事物的两个侧面。在解决具体问题时即不可以重“数”轻“形”，也不可以重“形”轻“数”。
（作者单位：江苏省无锡市湖滨中学）
例1.（苏、锡、常、镇四市2011届高三联考调研测试二）
平面内两个非零向量α，β，满足|β|=1， 且α与β-α的夹角为135°，求|α|的取值范围。
分析：可令α= ，β= ，则β-α= （如图①）
在ΔOBA中，设∠OAB =θ，
点评：如果这道题目只是单纯地利用代数的方法进行运算，问题的解决将会比较困难。如果我们利用减法的三角形法则来表示α，β，β-α，三者之间的关系。那么题中的代数量就全部可以通过三角形的边、角等几何量来表示，这样就可以把问题转换解三角形的问题。
例2.（2013年高考湖南文科卷）已知a，b是单位向量，a-b=0，若c满足|c-a-b|=1，求|c|的最大值。
分析：注意到|c-a-b|=1，即|c-（a+b）|=1
令a= ，b= （如图②）
∴a+b= ∵a，b是单位向量且a·b=0，
∴四边形ABCD为正方形，其中| |=
设c= ，则∵c-（a+b）=
由题意∵|c-（a+b）|=1 ∴| |=1
∴C在以D为圆心，1为半径的圆上，∴|c|的最大值为 +1
点评：作为一道高考题，这道题目的解决方案不止这一种。在题中因为a与b是相互垂直的单位向量，我们同样可以设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），这样条件|c-a-b|=1可以转化为 =1，求|c|的最大值也可以转化为求的最大值，这时同样可以以O点为原点，建立直角坐标系，利用圆上点的几何性质来解决问题（如图②）。通过这一道题我们可以发现同一道题的“数”与“形”是可以相互转化的，它们可以互为补充，各取其长。
例3.（徐州市2013届高三第三次质量检测）
已知O为ΔABC的外心，若5 +12 -13 =0，求
分析： ∵O为ΔABC的外心，∴|OA|=|OB|=|OC|
∴5| |：12| |：13| |=5：12：13
又∵5 +12 ？13 =0
∴5 +12 =13 （如图③）
∵132=122+52 ∴OA⊥OB，
∴弧AMB所对的圆心角为270°
∴弧AMB所对的圆周角∠C=135°
点评：这道题目的难点在于（1）O为ΔABC的外心这一个条件怎么用？（2）以5，12，13为长度的三条边所构成的三角形是一个直角三角形，那么怎么样可以用好这个隐藏的几何条件？这两个难点都与“几何性质”相关。在这个时候如果可以运用向量加法的平行四边形法则，将三个向量的代数关系用平行四边形法则来进行几何描述，就可以很好地将“外心”以及直角三角形的几何性质性质用好，从而顺利地将问题解决。
对于上述例题的分析，我们发现在解决部分向量问题时如果熟练地运用向量的几何性质常可以让问题的解决显得举重若轻。当然这并不是说向量的几何性质要比代数运算重要，灵活地运用代数性质在解决问题的过程中也是必不可少的。事实上数学是提示客观事物数量和形体本质关系的科学，“数”与“形”是事物的两个侧面。在解决具体问题时即不可以重“数”轻“形”，也不可以重“形”轻“数”。
（作者单位：江苏省无锡市湖滨中学）