论文部分内容阅读
数学等式的求解或证明是数学的重要元素，而数学中的不等式问题的求解或证明也是数学学习中的不可或缺的一部分.“等”与“不等”是两个不同的概念，“不等”是普遍的、绝对的，而“相等”是局部的、相对的，两者既对立又统一，它们在一定条件下可以相互和谐转化，从而使得问题理想而巧妙地得到解决.转化得好可以给解题带来意想不到的效果，下面就两者的相互转化略举几例，供大家分享！
例1已知α，β∈（0，π2），且sin（α+β）=sin2α+sin2β.求证：α+β=π2.
解析看似一道与等式相关的问题，其实通过不等式转化，可以巧妙地解决问题.不妨设α≥β，α+β≥π2，则sin2α+sin2β-sin（α+β）=0=sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）≥sinβ（2sinα+β2cosα-β2-2cosα+β2cosα-β2）
=2sinβcosα-β2·2sin（α+β2-π4）≥0.
故cosα-β2=0或sin（α+β2-π4）=0，即α-β2=π2（舍去）或α+β=π2，即证.
注：本例直接证明较为困难，待证式虽为等式，但适合通过不等式来解决问题.一般地，若a≤x≤a，则x=a，这种等式与不等式之间的和谐转化往往可以给解题带来好的效果！
例2设y=f（x）是区间（0，1）上的函数，若对任意的x∈（0，1），f（x）>0恒成立，对任意的x，y∈（0，1），f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）≤2恒成立，求证：f（x）=C（C为常数）.
解析对任意的x，y∈（0，1），f（x）>0，f（y）>0，f（1-x）>0，f（1-y）>0，对f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）≤2交换x，y得f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≤2，故f（x）f（y）+解析在传统做法中，点关于点对称用中点坐标公式即可，若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：Ax+By+C=0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组
Ax1+x22+By1+y22+C=0
y1-y2x1-x2=BA （*）
可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中A≠0，x1≠x2）.并且直线关于直线、直线关于点的对称都可转化为点关于直线、点关于点的对称来处理.勿庸讳言，（*）方程组光化简整理运算量就够大的，加上求解过程容易出错，故另辟蹊径，同学们想出如下办法：
别解（1）因为过P1，P2的直线垂直于对称轴l，故设其方程为3x+2y+m=0，点P1（-1，-2）代入得，m=7，由3x+2y+7=0
2x-3y+1=0得x=-2313
y=-1113，所以垂足（也即中点）坐标为（-2313，-1113），再由中点坐标公式得P2的坐标为（-3313，413）.
（2）法一：由中心对称知，l∥l′，且P1到这两条直线距离相等，故可设l′方程为2x-3y+a=0，所以有|4+a|13=513，得a=-9或a=1（舍去）
所以直线l′的方程为2x-3y-9=0.
法二（利用轨迹方程思想）：设l′上任取一点M（x，y），则M关于P1的对称点N坐标为（-2-x，-4-y）必在l上，故2（-2-x）-3（-4-y）+1=0，即直线l′的方程为2x-3y-9=0.
例2是再常规不过的题目了，很多教辅用书都有它的身影，并且解法千篇一律，但是学生的解法打破常规，运算量小且不易错，这也是最适合学生应试时用的.所以要教学和谐，不光教师要备教材，而且要备学生，也就是常说的研究“学情”，站在学生的角度考虑问题，是最好的研究“学情”.
（收稿日期：2014-11-05）f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≤4；注意到f（x）f（y）+f（y）f（x）≥2，且f（1-x）f（1-y）+f（1-y）f（1-x）≥2，故f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≥4；故f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）=4；且f（x）f（y）+f（y）f（x）≥2中的等号成立，即对任意的x，y∈（0，1），f（x）=f（y）.故f（x）=C（C为常数）.
注：对于不等式A≥B且A≤B，其实就是A=B，这种相互转化的确可以给解题带来好处！
例3求满足sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα=32的锐角α、β的值.
解析将α、β中的一个看成已知数，另一个作为变量，利用数形结合思想.将方程sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα=32看作点（cosβ，sinβ）在直线sinα·y+（1-cosα）x+cosα-32=0上，注意到点（cosβ，sinβ）在单位圆上，故圆心到直线的距离d=|cosα-32|sin2α+（1-cosα）2≤1，解得（cosα-12）2≤0，故cosα=12，故α=π3，由对称性可知β=π3.
例4四边形ABCD中，cos2A+C3+sin2A3+sin2C3=34.求证：四边形ABCD内接于圆.
解析由题知cos2A+C3+1-cos2A3+1-cos2C32=34，
整理得cos2A+C3-cosA+C3cosA-C3+14=0，
故cos2A+C3-|cosA+C3cosA-C3|+14≤0，注意到|cosA-C3|≤1，故cos2A+C3-|cosA+C3|+14≤0，即（|cosA+C3|-12）2≤0，即|cosA+C3|=12，故A+C=π，即四边形ABCD内接于圆. 注：本题易知条件中含有三角函数，关注到三角函数的有界性，建立相关不等式，从而得到我们需要的等式.在具体操作过程中可以将不等式转化为（x-a）2≤0这其实就已经转化为等式x=a，这种转化需要平时的积累，这样解题时才能做到有的放矢.
例5设a，b，c为整数，a2+b2+c2+3 解析因为a，b，c∈Z，故一定存在正整数k使得a2+b2+c2+3+k=ab+3b+2c即（a-b2）2+3（b2-1）2+（c-1）2+k-1=0，而（a-b2）2≥0，3（b2-1）2≥0，（c-1）2≥0，k-1≥0，故a=b2，b2=1，c=1，k=1，即a=1，b=2，c=1，故11a+7b-3c=22.
注：一般地若x≤a，y≤b，x+y=a+b，则x=a，y=b.
例6已知实数a，b，c满足（b2+c2-a22bc）2008+（c2+a2-b22ca）2008+（a2+b2-c22ab）2008=3，求ba+ca+cb+ab+ac+bc-c2ab-a2bc-b2ca的值.
解析注意到待求式可整理得2（b2+c2-a22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab），看上去和已知条件中的表达式有点关联，同时也让人容易联想到余弦定理.显然abc≠0，若b2+c2-a2=0，则已知条件可化为（ca）2008+（ba）2008=3，即b2008+c2008=3a2008=3（b2+c2）1004，此等式显然不成立！故已知条件中每一项都不可能为0，由对称性，考察|b2+c2-a22bc|，可将a，b，c看成是某一三角形的三边，由余弦定理已知条件即为cos2008A+cos2008B+cos2008C=3，|cosA|≤1，|cosB|≤1，|cosC|≤1，由此可见三角形的两个角趋于0°，一个角趋于180°，即已知条件中的三个底数两个为1，一个为-1，下面考察|b2+c2-a22bc|=1，若b2+c2-a22bc=1，则（b-c）2-a2=0，b=a+c或c=a+b；若b2+c2-a22bc=-1，则（b+c）2-a2=0，a=b+c或c+a+b=0.
综上几种情况，代入所求式即可知ba+ca+cb+ab+ac+bc-c2ab-a2bc-b2ca=2或-6.（收稿日期：2014-12-12）
例1已知α，β∈（0，π2），且sin（α+β）=sin2α+sin2β.求证：α+β=π2.
解析看似一道与等式相关的问题，其实通过不等式转化，可以巧妙地解决问题.不妨设α≥β，α+β≥π2，则sin2α+sin2β-sin（α+β）=0=sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）≥sinβ（2sinα+β2cosα-β2-2cosα+β2cosα-β2）
=2sinβcosα-β2·2sin（α+β2-π4）≥0.
故cosα-β2=0或sin（α+β2-π4）=0，即α-β2=π2（舍去）或α+β=π2，即证.
注：本例直接证明较为困难，待证式虽为等式，但适合通过不等式来解决问题.一般地，若a≤x≤a，则x=a，这种等式与不等式之间的和谐转化往往可以给解题带来好的效果！
例2设y=f（x）是区间（0，1）上的函数，若对任意的x∈（0，1），f（x）>0恒成立，对任意的x，y∈（0，1），f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）≤2恒成立，求证：f（x）=C（C为常数）.
解析对任意的x，y∈（0，1），f（x）>0，f（y）>0，f（1-x）>0，f（1-y）>0，对f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）≤2交换x，y得f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≤2，故f（x）f（y）+解析在传统做法中，点关于点对称用中点坐标公式即可，若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：Ax+By+C=0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组
Ax1+x22+By1+y22+C=0
y1-y2x1-x2=BA （*）
可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中A≠0，x1≠x2）.并且直线关于直线、直线关于点的对称都可转化为点关于直线、点关于点的对称来处理.勿庸讳言，（*）方程组光化简整理运算量就够大的，加上求解过程容易出错，故另辟蹊径，同学们想出如下办法：
别解（1）因为过P1，P2的直线垂直于对称轴l，故设其方程为3x+2y+m=0，点P1（-1，-2）代入得，m=7，由3x+2y+7=0
2x-3y+1=0得x=-2313
y=-1113，所以垂足（也即中点）坐标为（-2313，-1113），再由中点坐标公式得P2的坐标为（-3313，413）.
（2）法一：由中心对称知，l∥l′，且P1到这两条直线距离相等，故可设l′方程为2x-3y+a=0，所以有|4+a|13=513，得a=-9或a=1（舍去）
所以直线l′的方程为2x-3y-9=0.
法二（利用轨迹方程思想）：设l′上任取一点M（x，y），则M关于P1的对称点N坐标为（-2-x，-4-y）必在l上，故2（-2-x）-3（-4-y）+1=0，即直线l′的方程为2x-3y-9=0.
例2是再常规不过的题目了，很多教辅用书都有它的身影，并且解法千篇一律，但是学生的解法打破常规，运算量小且不易错，这也是最适合学生应试时用的.所以要教学和谐，不光教师要备教材，而且要备学生，也就是常说的研究“学情”，站在学生的角度考虑问题，是最好的研究“学情”.
（收稿日期：2014-11-05）f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≤4；注意到f（x）f（y）+f（y）f（x）≥2，且f（1-x）f（1-y）+f（1-y）f（1-x）≥2，故f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）≥4；故f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）+f（y）f（x）+f（1-y）f（1-x）=4；且f（x）f（y）+f（y）f（x）≥2中的等号成立，即对任意的x，y∈（0，1），f（x）=f（y）.故f（x）=C（C为常数）.
注：对于不等式A≥B且A≤B，其实就是A=B，这种相互转化的确可以给解题带来好处！
例3求满足sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα=32的锐角α、β的值.
解析将α、β中的一个看成已知数，另一个作为变量，利用数形结合思想.将方程sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα=32看作点（cosβ，sinβ）在直线sinα·y+（1-cosα）x+cosα-32=0上，注意到点（cosβ，sinβ）在单位圆上，故圆心到直线的距离d=|cosα-32|sin2α+（1-cosα）2≤1，解得（cosα-12）2≤0，故cosα=12，故α=π3，由对称性可知β=π3.
例4四边形ABCD中，cos2A+C3+sin2A3+sin2C3=34.求证：四边形ABCD内接于圆.
解析由题知cos2A+C3+1-cos2A3+1-cos2C32=34，
整理得cos2A+C3-cosA+C3cosA-C3+14=0，
故cos2A+C3-|cosA+C3cosA-C3|+14≤0，注意到|cosA-C3|≤1，故cos2A+C3-|cosA+C3|+14≤0，即（|cosA+C3|-12）2≤0，即|cosA+C3|=12，故A+C=π，即四边形ABCD内接于圆. 注：本题易知条件中含有三角函数，关注到三角函数的有界性，建立相关不等式，从而得到我们需要的等式.在具体操作过程中可以将不等式转化为（x-a）2≤0这其实就已经转化为等式x=a，这种转化需要平时的积累，这样解题时才能做到有的放矢.
例5设a，b，c为整数，a2+b2+c2+3
注：一般地若x≤a，y≤b，x+y=a+b，则x=a，y=b.
例6已知实数a，b，c满足（b2+c2-a22bc）2008+（c2+a2-b22ca）2008+（a2+b2-c22ab）2008=3，求ba+ca+cb+ab+ac+bc-c2ab-a2bc-b2ca的值.
解析注意到待求式可整理得2（b2+c2-a22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab），看上去和已知条件中的表达式有点关联，同时也让人容易联想到余弦定理.显然abc≠0，若b2+c2-a2=0，则已知条件可化为（ca）2008+（ba）2008=3，即b2008+c2008=3a2008=3（b2+c2）1004，此等式显然不成立！故已知条件中每一项都不可能为0，由对称性，考察|b2+c2-a22bc|，可将a，b，c看成是某一三角形的三边，由余弦定理已知条件即为cos2008A+cos2008B+cos2008C=3，|cosA|≤1，|cosB|≤1，|cosC|≤1，由此可见三角形的两个角趋于0°，一个角趋于180°，即已知条件中的三个底数两个为1，一个为-1，下面考察|b2+c2-a22bc|=1，若b2+c2-a22bc=1，则（b-c）2-a2=0，b=a+c或c=a+b；若b2+c2-a22bc=-1，则（b+c）2-a2=0，a=b+c或c+a+b=0.
综上几种情况，代入所求式即可知ba+ca+cb+ab+ac+bc-c2ab-a2bc-b2ca=2或-6.（收稿日期：2014-12-12）