论文部分内容阅读
【摘要】 培养学生的解题能力是数学教师的基本任务,也是体现数学教学质量的主要标志。本文闡述了解题教学中应根据教学目的,选择典型性、富有启发性,能起到举一反三的作用的例题习题,能充分发挥其在教学中的价值,从而不断提升学生的思维水平和解题能力。
【关键词】 例题 价值 解题 能力
【中图分类号】G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0146-02
从近几年的中考试卷来看,对学生解题能力的要求越来越高。题海战术只能加重学生的学习负担而得不到能力的提高。作为教师,在教学中要精选例题,挖掘其内在的价值,充分发挥例题在教学中的功能,引导学生从不同角度去审视、思考,探求多种解题方法;引导学生进行变式练习;引导学生对同类问题找出规律性的解法,以不变应万变去解决看似不同实质相同的问题;引导学生对题目的解法、结论进行反思,不断调整自己的思维过程,以提高思维活动的效率及正确性,从而不断地提升解题能力。
1 寻找一题多解,提高学生思维的开阔性
笔者通过对近几年的数学中考试题的研究,很多考题可以从多种不同的角度去思考,只要方法得当,最终都可以顺利求解。这既反应了中考命题越来越偏向开放性的命题思路,也在一定程度上传达了一种理念,思维的灵活性和广阔性。所以在平时的教学中,尽可能挖掘有价值的一题多解的例题,在一题多解的同时,使各种知识在同一题中得到巩固升华,从而起到开阔思维的效果。
【例1】:如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
顶点为,求△BMC的面积。
方法一:延长MB交y轴于D,由题意得A(-1,0), B(3,0),C(0,-3),M(1,-4)
直线BM的解析式为:∴D(0,-6)即DC==3
S△BMC=S△BCD-S△MCD==3
方法二:过M作y轴的平行线交x轴于点E
S△BMC=S△BEM+S梯形OCME- S△BOC==3
方法三:过点M 作y轴的平行线交BC于点F
∵易求直线BC的解析式为∴F(1,-2),即FM=2
由于△BMF和△CMF可以看作同底FM,而两个三角形的高的和即为OB的长
∴S△BMC=S△BMF+S△CMF==3
解决以抛物线为背景,求有关三角形的面积问题时常用的方法是分割法,分割的方法很多,就本题的三种分割法各有优点,但三种解法一种比一种更简洁,特别方法三较前两种方法更具灵活性。通过这样的一题多解练习,使学生体会到从多个角度去思考问题,才能寻求更好更简便的方法。同时又看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,有利于拓展思路、发挥潜能,使解题水平不断提升。
2 进行一题多变,提升学生思维深刻性
通过多年的教学发现,很多考题都能在书本上或练习中找到原形,在教学中如果经常引导学生改变原题的条件、结论、图形等形态作变式练习,能达到举一反三,事半功倍的效果。通过一题多变,引导学生从变中总结方法,从变中发现解题规律,领悟从个性到共性,从特殊到一般的规律,达到认识数学问题的本质。
【例题2】;已知:如图1:△ABC中,∠A为锐角,AD,BE分别为BC,AC边上的高,且AD=BD,说明BH=AC
分析:根据条件:AD,BE分别为BC,AC边上的高,由同角的余角相等可得∠CAD=∠DBH,再证△ADC≌△BDH即可得证。如果这道题就题论题到此结束,远没有发挥这道题的作用。可以对题目的一部分条件和结论互换,还可以对条件、图形作适当改变。
【变式1】如图1:△ABC中,∠A为锐角,AD为BC边上的高,AD=BD,BH=AC,说明BE⊥AC
【变式2】△ABC中,∠A为钝角,∠B=45°(图略),
请学生画出BC,AC边上的高,两条高或高所在的延长线交于点H,
问BH和AC还相等吗？
分析:变式1把题中的一个条件和结论作了交换,根据HL定理先证△ADC≌△BDH,得∠CAD=∠DBH,又∠CAD+∠C=90°,从而∠DBH+∠C=90°,即BE⊥AC。
分析:变式2从表面上看,和上面两题完全不一样,但仔细想不难发现,无非有几个变化:一是:由锐角三角形的高转变为钝角三角形的高,二是:两条高在形内没有交点转变为延长以后相交,三是:相等线段虽没有直接给出,但由隐含的等腰直角三角形得出AD=BD,接下来就可以轻松得证了。
【评注】:在没有给出具体图形的情况下,要求学生自己能正确画出符合题意的图形,这点对学生来说是个难点,特别是画钝角三角形的高,而且在图形内没有交点,需要延长以后才能相交,还有能否从隐含的等腰直角三角形中得到AD=BD。学生一开始觉得有点无从下手,但在教师的引导下,学生积极的参与,逐个突破难点,从而一步步地走向成功,学生的那种兴奋之情溢于言表。虽然整个解题过程,先完成图形再寻找思路,一直到解决问题要费点时间,但对学生来说收获却是非常大的。
在教学中教师要充分利用好这样的机会,通过对条件、结论、图形的变式,营造交流互动的课堂环境,引导学生透过表面看到问题的实质,充分运用自己储备的知识,能从研究的问题中发现被掩盖的条件,从而顺利的解决问题。同时还能让学生感受到变式教学的乐趣,从而在潜移默化中提升解题的能力,提高思维的深刻性。
3 引导多题一解,提升学生的迁移能力
【例4】如图:已知直线AC∥BD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠B三个角之间的关系,并说明理由。
【方法一】:学生不难发现在图一中过点P作PQ∥AC,然后可以利用平行线的性质顺利求出∠APB=∠A+∠B。继续探索很快发现以下几个图形都可用同样的方法,把这些角转化为平行线截得的内错角或同位角或同旁内角的关系,从而探求得三个角之间的关系。图二可以得到∠APB+∠A+∠B=360°。图三可得∠APB=∠B－∠A。图四可得∠APB=∠A－∠B。
【方法二】:在学生学习了三角形有关知识以后,又可以通过构造三角形的方法,前两题连结AB,构成三角形PAB,第三个图形已经具备三角形PAE,第四个图形通过延长PA交BD于点E,构成三角形PBE(图略)。然后由三角形内角和定理或利用三角形外角与不相邻的两内角之间的关系,再结合平行线的性质等知识即可解决。
通过以上这道题的练习,我们发现有些题目的图形看似不同,但可以通过同样的方法,同样的思路去解决。我们解决的不仅仅是一道题,而是相关问题的一系列题目,使学生找到同类问题的解法技巧,以便遇到相关问题时,能迅速找到解题的切入点,提高解题的速度和灵活性,使学生的迁移能力大有提高。
4 引导解题反思,提升反思能力
在教学中经常会看到部分学生只顾埋头解题,解完就万事大吉,不善于对自己的解题思路、解题方法,结论的正确性合理性等等进行反思,导致出现一些明显的错误而全然不知。
比如:【例5】:已知,求的值
【错解】:
====
【分析】;从结论的合理性角度去思考,非负数的算数平方根的结果肯定是非负数,即≥0,所以上述答案明显是错误的。究其原因在于没有真正理解公式的含义,又忽视了题目中的条件,当时=,即∴===
学生一开始解类似题目的时候都容易上当,解完以后往往还沾沾自喜,感到很满足。这时教师就要不失时机引导学生对结论,过程进行反思,多数学生会恍然大悟。使他们充分体会到解题后反思的重要性,从而逐步地养成良好的反思习惯。题目一旦获解,不能就此罢手,要对解题思路、解题过程、题目结论进行剖析和反思,这样才能帮助我们找出错误所在,以便及时调整自己的思维过程,去修改解题方法以提高解题的严谨性及正确性,从而不断地提高解题能力。
总之,在解题教学中,教师要做到精选例习题,要有的放矢的对典型例题、习题进行剖析、归纳总结、变式拓展,充分发挥例习题的价值,能达到让学生避免题海战术,又能不断提高解题能力的效果。
【关键词】 例题 价值 解题 能力
【中图分类号】G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0146-02
从近几年的中考试卷来看,对学生解题能力的要求越来越高。题海战术只能加重学生的学习负担而得不到能力的提高。作为教师,在教学中要精选例题,挖掘其内在的价值,充分发挥例题在教学中的功能,引导学生从不同角度去审视、思考,探求多种解题方法;引导学生进行变式练习;引导学生对同类问题找出规律性的解法,以不变应万变去解决看似不同实质相同的问题;引导学生对题目的解法、结论进行反思,不断调整自己的思维过程,以提高思维活动的效率及正确性,从而不断地提升解题能力。
1 寻找一题多解,提高学生思维的开阔性
笔者通过对近几年的数学中考试题的研究,很多考题可以从多种不同的角度去思考,只要方法得当,最终都可以顺利求解。这既反应了中考命题越来越偏向开放性的命题思路,也在一定程度上传达了一种理念,思维的灵活性和广阔性。所以在平时的教学中,尽可能挖掘有价值的一题多解的例题,在一题多解的同时,使各种知识在同一题中得到巩固升华,从而起到开阔思维的效果。
【例1】:如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
顶点为,求△BMC的面积。
方法一:延长MB交y轴于D,由题意得A(-1,0), B(3,0),C(0,-3),M(1,-4)
直线BM的解析式为:∴D(0,-6)即DC==3
S△BMC=S△BCD-S△MCD==3
方法二:过M作y轴的平行线交x轴于点E
S△BMC=S△BEM+S梯形OCME- S△BOC==3
方法三:过点M 作y轴的平行线交BC于点F
∵易求直线BC的解析式为∴F(1,-2),即FM=2
由于△BMF和△CMF可以看作同底FM,而两个三角形的高的和即为OB的长
∴S△BMC=S△BMF+S△CMF==3
解决以抛物线为背景,求有关三角形的面积问题时常用的方法是分割法,分割的方法很多,就本题的三种分割法各有优点,但三种解法一种比一种更简洁,特别方法三较前两种方法更具灵活性。通过这样的一题多解练习,使学生体会到从多个角度去思考问题,才能寻求更好更简便的方法。同时又看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,有利于拓展思路、发挥潜能,使解题水平不断提升。
2 进行一题多变,提升学生思维深刻性
通过多年的教学发现,很多考题都能在书本上或练习中找到原形,在教学中如果经常引导学生改变原题的条件、结论、图形等形态作变式练习,能达到举一反三,事半功倍的效果。通过一题多变,引导学生从变中总结方法,从变中发现解题规律,领悟从个性到共性,从特殊到一般的规律,达到认识数学问题的本质。
【例题2】;已知:如图1:△ABC中,∠A为锐角,AD,BE分别为BC,AC边上的高,且AD=BD,说明BH=AC
分析:根据条件:AD,BE分别为BC,AC边上的高,由同角的余角相等可得∠CAD=∠DBH,再证△ADC≌△BDH即可得证。如果这道题就题论题到此结束,远没有发挥这道题的作用。可以对题目的一部分条件和结论互换,还可以对条件、图形作适当改变。
【变式1】如图1:△ABC中,∠A为锐角,AD为BC边上的高,AD=BD,BH=AC,说明BE⊥AC
【变式2】△ABC中,∠A为钝角,∠B=45°(图略),
请学生画出BC,AC边上的高,两条高或高所在的延长线交于点H,
问BH和AC还相等吗？
分析:变式1把题中的一个条件和结论作了交换,根据HL定理先证△ADC≌△BDH,得∠CAD=∠DBH,又∠CAD+∠C=90°,从而∠DBH+∠C=90°,即BE⊥AC。
分析:变式2从表面上看,和上面两题完全不一样,但仔细想不难发现,无非有几个变化:一是:由锐角三角形的高转变为钝角三角形的高,二是:两条高在形内没有交点转变为延长以后相交,三是:相等线段虽没有直接给出,但由隐含的等腰直角三角形得出AD=BD,接下来就可以轻松得证了。
【评注】:在没有给出具体图形的情况下,要求学生自己能正确画出符合题意的图形,这点对学生来说是个难点,特别是画钝角三角形的高,而且在图形内没有交点,需要延长以后才能相交,还有能否从隐含的等腰直角三角形中得到AD=BD。学生一开始觉得有点无从下手,但在教师的引导下,学生积极的参与,逐个突破难点,从而一步步地走向成功,学生的那种兴奋之情溢于言表。虽然整个解题过程,先完成图形再寻找思路,一直到解决问题要费点时间,但对学生来说收获却是非常大的。
在教学中教师要充分利用好这样的机会,通过对条件、结论、图形的变式,营造交流互动的课堂环境,引导学生透过表面看到问题的实质,充分运用自己储备的知识,能从研究的问题中发现被掩盖的条件,从而顺利的解决问题。同时还能让学生感受到变式教学的乐趣,从而在潜移默化中提升解题的能力,提高思维的深刻性。
3 引导多题一解,提升学生的迁移能力
【例4】如图:已知直线AC∥BD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠B三个角之间的关系,并说明理由。
【方法一】:学生不难发现在图一中过点P作PQ∥AC,然后可以利用平行线的性质顺利求出∠APB=∠A+∠B。继续探索很快发现以下几个图形都可用同样的方法,把这些角转化为平行线截得的内错角或同位角或同旁内角的关系,从而探求得三个角之间的关系。图二可以得到∠APB+∠A+∠B=360°。图三可得∠APB=∠B－∠A。图四可得∠APB=∠A－∠B。
【方法二】:在学生学习了三角形有关知识以后,又可以通过构造三角形的方法,前两题连结AB,构成三角形PAB,第三个图形已经具备三角形PAE,第四个图形通过延长PA交BD于点E,构成三角形PBE(图略)。然后由三角形内角和定理或利用三角形外角与不相邻的两内角之间的关系,再结合平行线的性质等知识即可解决。
通过以上这道题的练习,我们发现有些题目的图形看似不同,但可以通过同样的方法,同样的思路去解决。我们解决的不仅仅是一道题,而是相关问题的一系列题目,使学生找到同类问题的解法技巧,以便遇到相关问题时,能迅速找到解题的切入点,提高解题的速度和灵活性,使学生的迁移能力大有提高。
4 引导解题反思,提升反思能力
在教学中经常会看到部分学生只顾埋头解题,解完就万事大吉,不善于对自己的解题思路、解题方法,结论的正确性合理性等等进行反思,导致出现一些明显的错误而全然不知。
比如:【例5】:已知,求的值
【错解】:
====
【分析】;从结论的合理性角度去思考,非负数的算数平方根的结果肯定是非负数,即≥0,所以上述答案明显是错误的。究其原因在于没有真正理解公式的含义,又忽视了题目中的条件,当时=,即∴===
学生一开始解类似题目的时候都容易上当,解完以后往往还沾沾自喜,感到很满足。这时教师就要不失时机引导学生对结论,过程进行反思,多数学生会恍然大悟。使他们充分体会到解题后反思的重要性,从而逐步地养成良好的反思习惯。题目一旦获解,不能就此罢手,要对解题思路、解题过程、题目结论进行剖析和反思,这样才能帮助我们找出错误所在,以便及时调整自己的思维过程,去修改解题方法以提高解题的严谨性及正确性,从而不断地提高解题能力。
总之,在解题教学中,教师要做到精选例习题,要有的放矢的对典型例题、习题进行剖析、归纳总结、变式拓展,充分发挥例习题的价值,能达到让学生避免题海战术,又能不断提高解题能力的效果。