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推理是探索数学的重要方法之一，贯穿于数学教学的始终。在义务教育阶段，尤其是第三学段（七年级—九年级）的数学课程中，推理证明不仅是“图形与几何”部分的重要内容，与“数与代数”、“统计与概率”、“综合与实践”等环节也都有着密切的联系。在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也有很多和证明学习相关的教学目标和建议，但仍有不少学生不重视推理证明，不会用定理证明结论。笔者在教学中摘录了一道几何证明题，通过对其多种解法的讨论及种种错误的分析，浅谈一点在几何证明教学中受到的启示，以期提高学生用几何定理解决几何证明题的能力。
题目：如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N。若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。
分析：本题考查了三角形全等、正方形的判定、角平分线的性质等知识点，是希望学生通过分析已知条件，找到未知与已知的关系，找齐证明正方形的条件从而证明。
本题的解法有多种，笔者在此罗列其中的三种以供参考：
解法一：先证明四边形MPND是平行四边形，再证明有一个角是直角及一组邻边相等，从而证得正方形。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴∠PMD+∠ADC=180°，∠PND+∠ADC =180°，∴PM∥ND，PN∥MD，∴四边形MPND是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴□MPND是矩形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵∠PMD=∠PND=90°，PD=PD，∴△PMD≌△PND，∴PM=PN，∴四边形MPND是正方形。
解法二：先证明四边形MPND是菱形，再证明有一个角是直角，从而证得正方形。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵∠ADC=90°，∴∠ADB=∠CDB=45°，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∵∠PMD=∠PND=90°，∴∠MPD+∠ADB=∠NPD+∠CDB=90°，∴∠MPD=∠MDP=45°，∠NPD=∠NDP=45°，∴PM=MD，PN=ND，又∵∠ADB=∠CDB， PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴PM=MD=PN=ND，∴四边形MPND是菱形，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是正方形。
解法三：先证明四边形MPND是矩形，再证明有一组邻边相等，从而证得正方形。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴四边形MPND是正方形。
典型失误及分析：
失误一：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，又∵PD=PD，∴△PMD≌△PND，∴PM=PN，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是正方形。
失误分析：本小题证明正方形的方法多种多样，上述解法想到要证邻边相等和一个内角为90°，但忽略了用这种方法的前提条件是证得这个四边形是平行四边形，其实对于平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法很多，每种方法都有对应的定理支持，学生在学习此内容时对于各种方法可能都会，但又不是完全会，所以对于多种方法之间的区别和联系重视不够，导致在用的过程中有“张冠李戴”的嫌疑，从而导致错误。
失误二：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD =∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，∴PM∥ND，PN∥MD，∴四边形MPND是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，
∵△ABD≌△CBD，∴∠ADP=∠CDP，在△MDP和△NDP中，
∠PMD=∠PND，∠ADP=∠CDP， PD=PD，∴△PMD≌△PND，∴DM=DN，∴四边形MPND是正方形。
失误分析：学生在证明时可以选择“同位角相等，两直线平行”，却没有写出“∠PMA=90°”；也可以选择用“同旁内角互补，两直线平行”，却在书写时遗漏了“∠PMD+∠ADC=180°”。是学生不知道如何证明平行吗？其实不然，学生对于定理都了解，但书写时却又没有按照定理的“条件、结论”来完成，理所当然的认为有些步骤是可以不用写的，以为大家都能懂，但事实上就是恰好漏写的就是关键步骤，所以无法全对。
失误三：连接MN，交BD与点E。∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠5=∠6，又∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴∠3=∠4，
又∵∠PMD=∠PND=90°，∴在△DME和△DNE中，∠PMD=∠PND=90°，∠5=∠6，DE=DE，∴△DME≌△DNE（AAS），∴ME=NE，∴DE垂直平分MN，∴∠MED=90°，∵∠MDN=90°，∠PMD=∠PND=90°，∴四边形MPND是矩形，又∵∠MED=90°，∴四边形MPND是正方形。
失误分析：学生想通过对角线之间的关系来证明，其实学生能想到从对角线的角度来分析问题很好，但对对角线的相关定理不够熟悉，找不到正确方法，所以证明全等三角形时找不到正确的对应角，导致错误。
教学启示： 1. 有些学生大致了解证明的方向，但对于所要用到的定理不够熟悉，对于证明的逻辑思路也不太能把握，所以证明过程中或是条件不足就得出结论，或是只能罗列每个条件却没有关键结论。这类学生对基本定理以及几何证明过程的规范性都不太理解，那就要求教师应更细化几何证明教学的过程，在定理的教学中要引导学生体会定理出现的合理性和正确性，明白在证明过程中上一步骤是下一步骤的充分条件；还要及时在题目中应用定理，多给学生当堂“写”并得到纠正的机会，要让学生感受定理对解题的帮助，而不是单纯的死记硬背，这样比采用“灌输”的方法教学效果要好很多。同时这不仅仅是针对几何教学，更是一个培养学生逻辑思维能力的过程，对其他学科的学习也是有帮助的。
2. 还有些学生掌握了题目条件中所涉及的所有知识和定理，但在证明时对于用哪些定理，如何用有些混乱。一看题目觉得自己能证出来，但在证明过程中却表现出思路不清晰或思维跳跃度较大，一会去推导这个条件，一会又去证那个，做很多无用功。这类学生从“思”到“说”再到“写”之间还是有距离的，所以在教学中除了要让学生知道一条定理能证出什么样的结论，更要知道一条结论可以通过哪些条件运用哪些定理得出，同时要让学生练习将定理用到具体题目当中联系起图中元素的能力，并通过“写”下来的过程加以巩固。在进行几何说理教学中，应重视对定理图形语言的理解和记忆，在学习定理后，要有一定量的重复练习去加深对定理的理解和应用，尤其是对定理几何语言的理解。几何证明题不光是考查学生的说理能力，更重要的是培养学生把文字与图形对应理解的能力，能够将文字语言转化成几何语言从而解答出几何题。这也是在几何学习中应该给学生锻炼出的一种能力。
3. 还有学生喜欢使用辅助线，乍一看证明过程清晰完整，定理的运用也都正确，但其实一开始添加辅助线时就过于“想当然”，默认了题目所没有给出的条件，作了一条太过理想的辅助线。为了避免这种错误，在几何教学过程中要学生充分体会到辅助线的添加在有些题目的分析和解答上是有辅助作用的，但并不是对所有题目都适用，更不能不仔细读题看到图就先画辅助线。要学会如何合理添加辅助线，就要理解一条辅助线所能构成的图形关系和适用的定理。在教学时可以专门用几课时来讲解用对角线说理类型的题目，让学生在实践中总结规律。
感悟：
学生在初中阶段开始初步接触到几何定理以及证明，一开始肯定是不太熟悉，但这是一个长期的、循序渐进的过程。证明的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。这样才能充分体会学习证明是很重要、很有意义的一项工作。证明时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。学习几何定理光背文字语言是不够的，教学时尤其要注意学生对数学语言和图形语言的理解，要对每个定理存在的合理性进行探讨和证明，并引导他们从中体会每个定理条件与结论间的必然联系，从而真正做到学以致用，在具体题目中准确运用各个定理。例如可以在具体解题过程中让学生根据已知条件自己画图，练习将概念在文字语言和图形语言之间相互转化，尤其是通过将文字转化为图形这一逆向过程，把握已知条件的范畴，区分有理推论和主观臆断之间的不同，然后再将图形转化成数学语言，自己找出“已知哪些条件，符合哪些定理，可以得出什么样的结论”这一逻辑顺序，从而得到最终通向证明结论的清晰思路。
题目：如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N。若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。
分析：本题考查了三角形全等、正方形的判定、角平分线的性质等知识点，是希望学生通过分析已知条件，找到未知与已知的关系，找齐证明正方形的条件从而证明。
本题的解法有多种，笔者在此罗列其中的三种以供参考：
解法一：先证明四边形MPND是平行四边形，再证明有一个角是直角及一组邻边相等，从而证得正方形。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴∠PMD+∠ADC=180°，∠PND+∠ADC =180°，∴PM∥ND，PN∥MD，∴四边形MPND是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴□MPND是矩形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵∠PMD=∠PND=90°，PD=PD，∴△PMD≌△PND，∴PM=PN，∴四边形MPND是正方形。
解法二：先证明四边形MPND是菱形，再证明有一个角是直角，从而证得正方形。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵∠ADC=90°，∴∠ADB=∠CDB=45°，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∵∠PMD=∠PND=90°，∴∠MPD+∠ADB=∠NPD+∠CDB=90°，∴∠MPD=∠MDP=45°，∠NPD=∠NDP=45°，∴PM=MD，PN=ND，又∵∠ADB=∠CDB， PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴PM=MD=PN=ND，∴四边形MPND是菱形，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是正方形。
解法三：先证明四边形MPND是矩形，再证明有一组邻边相等，从而证得正方形。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴四边形MPND是正方形。
典型失误及分析：
失误一：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，又∵PD=PD，∴△PMD≌△PND，∴PM=PN，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是正方形。
失误分析：本小题证明正方形的方法多种多样，上述解法想到要证邻边相等和一个内角为90°，但忽略了用这种方法的前提条件是证得这个四边形是平行四边形，其实对于平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法很多，每种方法都有对应的定理支持，学生在学习此内容时对于各种方法可能都会，但又不是完全会，所以对于多种方法之间的区别和联系重视不够，导致在用的过程中有“张冠李戴”的嫌疑，从而导致错误。
失误二：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD =∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，∴PM∥ND，PN∥MD，∴四边形MPND是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，
∵△ABD≌△CBD，∴∠ADP=∠CDP，在△MDP和△NDP中，
∠PMD=∠PND，∠ADP=∠CDP， PD=PD，∴△PMD≌△PND，∴DM=DN，∴四边形MPND是正方形。
失误分析：学生在证明时可以选择“同位角相等，两直线平行”，却没有写出“∠PMA=90°”；也可以选择用“同旁内角互补，两直线平行”，却在书写时遗漏了“∠PMD+∠ADC=180°”。是学生不知道如何证明平行吗？其实不然，学生对于定理都了解，但书写时却又没有按照定理的“条件、结论”来完成，理所当然的认为有些步骤是可以不用写的，以为大家都能懂，但事实上就是恰好漏写的就是关键步骤，所以无法全对。
失误三：连接MN，交BD与点E。∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠5=∠6，又∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴∠3=∠4，
又∵∠PMD=∠PND=90°，∴在△DME和△DNE中，∠PMD=∠PND=90°，∠5=∠6，DE=DE，∴△DME≌△DNE（AAS），∴ME=NE，∴DE垂直平分MN，∴∠MED=90°，∵∠MDN=90°，∠PMD=∠PND=90°，∴四边形MPND是矩形，又∵∠MED=90°，∴四边形MPND是正方形。
失误分析：学生想通过对角线之间的关系来证明，其实学生能想到从对角线的角度来分析问题很好，但对对角线的相关定理不够熟悉，找不到正确方法，所以证明全等三角形时找不到正确的对应角，导致错误。
教学启示： 1. 有些学生大致了解证明的方向，但对于所要用到的定理不够熟悉，对于证明的逻辑思路也不太能把握，所以证明过程中或是条件不足就得出结论，或是只能罗列每个条件却没有关键结论。这类学生对基本定理以及几何证明过程的规范性都不太理解，那就要求教师应更细化几何证明教学的过程，在定理的教学中要引导学生体会定理出现的合理性和正确性，明白在证明过程中上一步骤是下一步骤的充分条件；还要及时在题目中应用定理，多给学生当堂“写”并得到纠正的机会，要让学生感受定理对解题的帮助，而不是单纯的死记硬背，这样比采用“灌输”的方法教学效果要好很多。同时这不仅仅是针对几何教学，更是一个培养学生逻辑思维能力的过程，对其他学科的学习也是有帮助的。
2. 还有些学生掌握了题目条件中所涉及的所有知识和定理，但在证明时对于用哪些定理，如何用有些混乱。一看题目觉得自己能证出来，但在证明过程中却表现出思路不清晰或思维跳跃度较大，一会去推导这个条件，一会又去证那个，做很多无用功。这类学生从“思”到“说”再到“写”之间还是有距离的，所以在教学中除了要让学生知道一条定理能证出什么样的结论，更要知道一条结论可以通过哪些条件运用哪些定理得出，同时要让学生练习将定理用到具体题目当中联系起图中元素的能力，并通过“写”下来的过程加以巩固。在进行几何说理教学中，应重视对定理图形语言的理解和记忆，在学习定理后，要有一定量的重复练习去加深对定理的理解和应用，尤其是对定理几何语言的理解。几何证明题不光是考查学生的说理能力，更重要的是培养学生把文字与图形对应理解的能力，能够将文字语言转化成几何语言从而解答出几何题。这也是在几何学习中应该给学生锻炼出的一种能力。
3. 还有学生喜欢使用辅助线，乍一看证明过程清晰完整，定理的运用也都正确，但其实一开始添加辅助线时就过于“想当然”，默认了题目所没有给出的条件，作了一条太过理想的辅助线。为了避免这种错误，在几何教学过程中要学生充分体会到辅助线的添加在有些题目的分析和解答上是有辅助作用的，但并不是对所有题目都适用，更不能不仔细读题看到图就先画辅助线。要学会如何合理添加辅助线，就要理解一条辅助线所能构成的图形关系和适用的定理。在教学时可以专门用几课时来讲解用对角线说理类型的题目，让学生在实践中总结规律。
感悟：
学生在初中阶段开始初步接触到几何定理以及证明，一开始肯定是不太熟悉，但这是一个长期的、循序渐进的过程。证明的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。这样才能充分体会学习证明是很重要、很有意义的一项工作。证明时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。学习几何定理光背文字语言是不够的，教学时尤其要注意学生对数学语言和图形语言的理解，要对每个定理存在的合理性进行探讨和证明，并引导他们从中体会每个定理条件与结论间的必然联系，从而真正做到学以致用，在具体题目中准确运用各个定理。例如可以在具体解题过程中让学生根据已知条件自己画图，练习将概念在文字语言和图形语言之间相互转化，尤其是通过将文字转化为图形这一逆向过程，把握已知条件的范畴，区分有理推论和主观臆断之间的不同，然后再将图形转化成数学语言，自己找出“已知哪些条件，符合哪些定理，可以得出什么样的结论”这一逻辑顺序，从而得到最终通向证明结论的清晰思路。