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【摘 要】理解数学、理解学生、理解教学是上好一堂课的关键。以“充分条件与必要条件”公开课为例，探讨如何在教学中践行“三个理解”。
【关键词】理解数学；理解学生；理解教学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）91-0039-03
【作者简介】李净，南京市第九中学（南京，210018）教师，一级教师。
人民教育出版社编审章建跃博士认为：理解数学、理解学生、理解教学（以下简称“三个理解”）是教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证。[1]近日，笔者有幸参加了江苏省教育厅“名师团送培”活动，在连云港市“提升高中数学课堂教学有效性”专题培训班上开设公开课——“充分条件与必要条件”（苏教版高中数学教材选修2-1），收获了研训教师的广泛好评。在经历了备课修改、课堂展示和课后反思后，笔者深切体会到“三个理解”对于课堂教学的指导作用。本文结合“充分条件与必要条件”的教学实践，谈谈笔者在数学教学中践行“三个理解”的探索与思考。
一、教学立意：追求“三个理解”
许多教师都知道理解数学、理解学生、理解教学的重要性，但在实际教学过程中，却往往会忽略这“三个理解”，表现为过分追求数学结论、强化学生的训练、强调教师的讲解，降低数学教育价值，忽视学生思维能力的发展。因此，在数学教学中，要明确教学立意，旗帜鲜明地追求“三个理解”。
1.理解数学，以知为基。
理解数学是教好数学的前提。而要教好数学首先要站在课标的高度明确所教内容的教学目标与任务。数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证。在中学阶段，“常用逻辑用语”一章的内容不同于大学的数理逻辑，在培养学生逻辑思维能力的过程中，更侧重于“用语”，讲究基本表示符号和规则，教学定位突出“工具性”原则。而在“充分条件和必要条件”一课的学习过程中，不应当把难点放在其他相关数学知识的回顾复习上，应当选择学生熟悉和易于接受的知识载体呈现教学内容，避免过于困难的命题真假判断冲淡本节课的重点。
同样的，在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。值得一提的是由于实际问题往往受到各种现实因素的影响，在建构数学的过程中其严谨性有待检验，所以不建议以实际问题作为问题情境，应注意本节内容的适度“生活化”。
2.理解学生，以学定教。
学情应成为教师备课的重要参考，是教学设计的珍贵源泉。学情包括学生的认知规律如何，思维方式怎样，情感需求有哪些，对已学过的相关知识的掌握情况如何，等等。
在学习本节课之前，学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式和四种命题的学习，一定程度上有助于学生对充分条件、必要条件及充要条件概念的学习理解，但是学生对于这一概念的知识储备不够丰富、逻辑思维能力的训练还不够充分，容易用生活中感性的体会去理解数学的逻辑问题。
学生学习时，对命题“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件比较容易理解，但是，对同时称q是p的必要条件就不怎么理解了。不理解的原因主要是学生容易从字面的意思片面地理解“条件”。在命题“若p则q”中，q明明是“结论”，怎么成了“条件”了呢？事实上，p和q是两个语句，通过“若p则q”的形式将它们联结起来形成一个命题，通过命题的真假来判定这两个语句相互之间的关系。就“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件而言，不能误认为p是这个命题的充分条件，同样q也不是这个命题的必要条件。因果关系具有相对性，因为一个现象对某现象来说是结果，但对另一个现象来说却是原因，这使得事物之间的因果联系形成了一条没有起点和终点的因果链，因此，因果本身也是可以相互转换的。对这一内容的认知过程其实是对符号“pq”多角度的诠释与理解过程。
3.理解教学，深入浅出。
数学教育学者张奠宙先生认为数学教学设计的核心是如何体现“数学的本质”，教师应将“冰冷的美丽”变为“火热的思考”，让学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。
我们在学习任何一门知识时都要明确这样几个问题：为什么要学习这个知识？这个知识的本质是什么？应如何理解？学习它可以帮助我们解决哪些问题？为了寻找这些问题的答案，在研读课本、教参的基础上，笔者重温了逻辑学的知识，查阅了相关资料，形成了本节课的学习路径：
情境引入（将“若p，则q”为真命题符号化）→问题导学（从“p”和“q”在“pq”中的作用来理解命题中p、q两部分的因果关系）→数学建构（通过具体数学实例得出命题因果关系的四种情况）→数学应用（在练习过程中深化理解）→回顾反思（回顾学习路径并體会充分条件和必要条件在数学和生活中的应用）。
在教学过程中，教师应当设计有高度、有深度、有层次、有呼应的问题，通过交流、对话、合作、探究等一系列方式，让学生自我发现、自我调整、自我矫正，有效地实现数学知识的再发现、再创造这一自我建构过程。
二、教学过程：践行“三个理解”
师：在上述问题中，我们发现要全面地认识p和q的关系，应从p是q的充分条件和p是q的必要条件两方面加以考虑。从而我们可以得出充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件四种关系。
注：定义中，要研究p是q的什么条件，一方面要判断p能否推出q，即研究“充分性”，另一方面要判断q能否推出p，即研究“必要性”，如果要研究q是p的什么条件，同样要从充分性和必要性两方面来说明，即一方面要判断q能否推出p（充分性），另一方面要判断p能否推出q（必要性）。
（设计意图：引导学生总结，构建清晰明了的思维体系，培养学生归纳、概括的能力。）
三、教学反思：参悟“三个理解”
1.“三个理解”，缺一不可。
要打造理想的数学课堂，需要哪些要素？知识是根基，一切教学活动以数学知识为载体。缺少了载体，数学课便成了无本之木、无源之水。但一味关注“数学”，难免给学生“高处不胜寒”的感觉，让人望而生畏。学生是中心，人的成长永远是课堂教学的最高价值。学生作为教育的对象应当站在课程和课堂的中央。但单纯地考虑“学生”，容易天马行空、偏离主题，失去数学课自由而严谨的独特魅力。教学是桥梁，连通着数学与学生，它把问题情境、学生活动、数学建构、数学应用、反思小结中的若干环节串联起来，为学生开启了一扇通向数学世界的大门。因此，教学过程中必须同时关注数学、关注学生、关注教学。
2.“三个理解”，相辅相成。
孤立地看待数学、学生与教学，会发现数学知识是静态的，学生是千差万别的，教学亦无固定方法可循。但是数学、学生、教学是一个整体，相互作用，不可分割。理解数学要立足于学生的视角，将知识的学术形态转化为易于被学生理解的教育形态。理解学生应着眼于其数学认知水平和特征，理解学生参与数学教与学的方式和特点。理解教学要置身于所教内容与对象，以最恰当的方式组织教学。借用物理学中的作用力与反作用力的理论，“三个理解”之间是相互影响、相互支撑的，找到他们合力最大的平衡点也就找到了课堂自然、有效的生成方式。
3.“三个理解”，促进发展。
数学教育最终目的是促进学生的终身发展，“三个理解”是实现这一目的的前提和保证。在“三个理解”相容共生的课堂里，知识的生成更自然，学生的学习更自主，课堂的交互更广泛。教师将“授之以鱼”转变为“授之以渔”，而且是具有数学特色的“渔”。学生学会的不仅是知识，还有发现问题的方向，思考问题的方法，解决问题的方案，最终达成数学核心素养的培养目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
【参考文献】
[1]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015（1）：61-63.
【关键词】理解数学；理解学生；理解教学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）91-0039-03
【作者简介】李净，南京市第九中学（南京，210018）教师，一级教师。
人民教育出版社编审章建跃博士认为：理解数学、理解学生、理解教学（以下简称“三个理解”）是教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证。[1]近日，笔者有幸参加了江苏省教育厅“名师团送培”活动，在连云港市“提升高中数学课堂教学有效性”专题培训班上开设公开课——“充分条件与必要条件”（苏教版高中数学教材选修2-1），收获了研训教师的广泛好评。在经历了备课修改、课堂展示和课后反思后，笔者深切体会到“三个理解”对于课堂教学的指导作用。本文结合“充分条件与必要条件”的教学实践，谈谈笔者在数学教学中践行“三个理解”的探索与思考。
一、教学立意：追求“三个理解”
许多教师都知道理解数学、理解学生、理解教学的重要性，但在实际教学过程中，却往往会忽略这“三个理解”，表现为过分追求数学结论、强化学生的训练、强调教师的讲解，降低数学教育价值，忽视学生思维能力的发展。因此，在数学教学中，要明确教学立意，旗帜鲜明地追求“三个理解”。
1.理解数学，以知为基。
理解数学是教好数学的前提。而要教好数学首先要站在课标的高度明确所教内容的教学目标与任务。数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证。在中学阶段，“常用逻辑用语”一章的内容不同于大学的数理逻辑，在培养学生逻辑思维能力的过程中，更侧重于“用语”，讲究基本表示符号和规则，教学定位突出“工具性”原则。而在“充分条件和必要条件”一课的学习过程中，不应当把难点放在其他相关数学知识的回顾复习上，应当选择学生熟悉和易于接受的知识载体呈现教学内容，避免过于困难的命题真假判断冲淡本节课的重点。
同样的，在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。值得一提的是由于实际问题往往受到各种现实因素的影响，在建构数学的过程中其严谨性有待检验，所以不建议以实际问题作为问题情境，应注意本节内容的适度“生活化”。
2.理解学生，以学定教。
学情应成为教师备课的重要参考，是教学设计的珍贵源泉。学情包括学生的认知规律如何，思维方式怎样，情感需求有哪些，对已学过的相关知识的掌握情况如何，等等。
在学习本节课之前，学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式和四种命题的学习，一定程度上有助于学生对充分条件、必要条件及充要条件概念的学习理解，但是学生对于这一概念的知识储备不够丰富、逻辑思维能力的训练还不够充分，容易用生活中感性的体会去理解数学的逻辑问题。
学生学习时，对命题“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件比较容易理解，但是，对同时称q是p的必要条件就不怎么理解了。不理解的原因主要是学生容易从字面的意思片面地理解“条件”。在命题“若p则q”中，q明明是“结论”，怎么成了“条件”了呢？事实上，p和q是两个语句，通过“若p则q”的形式将它们联结起来形成一个命题，通过命题的真假来判定这两个语句相互之间的关系。就“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件而言，不能误认为p是这个命题的充分条件，同样q也不是这个命题的必要条件。因果关系具有相对性，因为一个现象对某现象来说是结果，但对另一个现象来说却是原因，这使得事物之间的因果联系形成了一条没有起点和终点的因果链，因此，因果本身也是可以相互转换的。对这一内容的认知过程其实是对符号“pq”多角度的诠释与理解过程。
3.理解教学，深入浅出。
数学教育学者张奠宙先生认为数学教学设计的核心是如何体现“数学的本质”，教师应将“冰冷的美丽”变为“火热的思考”，让学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。
我们在学习任何一门知识时都要明确这样几个问题：为什么要学习这个知识？这个知识的本质是什么？应如何理解？学习它可以帮助我们解决哪些问题？为了寻找这些问题的答案，在研读课本、教参的基础上，笔者重温了逻辑学的知识，查阅了相关资料，形成了本节课的学习路径：
情境引入（将“若p，则q”为真命题符号化）→问题导学（从“p”和“q”在“pq”中的作用来理解命题中p、q两部分的因果关系）→数学建构（通过具体数学实例得出命题因果关系的四种情况）→数学应用（在练习过程中深化理解）→回顾反思（回顾学习路径并體会充分条件和必要条件在数学和生活中的应用）。
在教学过程中，教师应当设计有高度、有深度、有层次、有呼应的问题，通过交流、对话、合作、探究等一系列方式，让学生自我发现、自我调整、自我矫正，有效地实现数学知识的再发现、再创造这一自我建构过程。
二、教学过程：践行“三个理解”
师：在上述问题中，我们发现要全面地认识p和q的关系，应从p是q的充分条件和p是q的必要条件两方面加以考虑。从而我们可以得出充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件四种关系。
注：定义中，要研究p是q的什么条件，一方面要判断p能否推出q，即研究“充分性”，另一方面要判断q能否推出p，即研究“必要性”，如果要研究q是p的什么条件，同样要从充分性和必要性两方面来说明，即一方面要判断q能否推出p（充分性），另一方面要判断p能否推出q（必要性）。
（设计意图：引导学生总结，构建清晰明了的思维体系，培养学生归纳、概括的能力。）
三、教学反思：参悟“三个理解”
1.“三个理解”，缺一不可。
要打造理想的数学课堂，需要哪些要素？知识是根基，一切教学活动以数学知识为载体。缺少了载体，数学课便成了无本之木、无源之水。但一味关注“数学”，难免给学生“高处不胜寒”的感觉，让人望而生畏。学生是中心，人的成长永远是课堂教学的最高价值。学生作为教育的对象应当站在课程和课堂的中央。但单纯地考虑“学生”，容易天马行空、偏离主题，失去数学课自由而严谨的独特魅力。教学是桥梁，连通着数学与学生，它把问题情境、学生活动、数学建构、数学应用、反思小结中的若干环节串联起来，为学生开启了一扇通向数学世界的大门。因此，教学过程中必须同时关注数学、关注学生、关注教学。
2.“三个理解”，相辅相成。
孤立地看待数学、学生与教学，会发现数学知识是静态的，学生是千差万别的，教学亦无固定方法可循。但是数学、学生、教学是一个整体，相互作用，不可分割。理解数学要立足于学生的视角，将知识的学术形态转化为易于被学生理解的教育形态。理解学生应着眼于其数学认知水平和特征，理解学生参与数学教与学的方式和特点。理解教学要置身于所教内容与对象，以最恰当的方式组织教学。借用物理学中的作用力与反作用力的理论，“三个理解”之间是相互影响、相互支撑的，找到他们合力最大的平衡点也就找到了课堂自然、有效的生成方式。
3.“三个理解”，促进发展。
数学教育最终目的是促进学生的终身发展，“三个理解”是实现这一目的的前提和保证。在“三个理解”相容共生的课堂里，知识的生成更自然，学生的学习更自主，课堂的交互更广泛。教师将“授之以鱼”转变为“授之以渔”，而且是具有数学特色的“渔”。学生学会的不仅是知识，还有发现问题的方向，思考问题的方法，解决问题的方案，最终达成数学核心素养的培养目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
【参考文献】
[1]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015（1）：61-63.