论文部分内容阅读
【摘 要】在高三后期有效地穿插“微专题”，可以弥补传统的高三复习教学中的一些不足与缺陷。“阿波罗尼斯圆”教学设计为例，反思微专题教学的几个关键环节：课题的确定，遵循真、小、实的原则;课型的教学设计，注重知识的整合，突出以小见大;习题的选择突出见微知著以及“微专题”教学注重教学的生成性，以便提高高三复习教学的有效性。
【关键词】微专题;课本资源;教学实践
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）42-0032-03
【作者简介】李宽珍，江苏省溧水高级中学（南京，211200）教师，中学高级教师。
专题复习是高三数学复习后期的重要阶段。它是在一轮复习的整体梳理、知识网络建构之后，必须经历的以综合训练为主，以训练解题能力和优化思维品质为最终目的的复习阶段。如何提高这一阶段的复习效率呢？笔者经过几届毕业班的教学，发现在高三后期的专题复习中，“微专题”复习是对数学专题复习的有效补充，对学生掌握难点问题、查漏补缺有很好的帮助。近几年的高考中，以“阿波罗尼斯圆”为背景的试题一度成为考查热点，而此背景源自课本，由此，笔者基于课本资源开设了一节关于“阿波罗尼斯圆”及其简单应用的“微专题”复习课，取得了良好的效果，本文以此为例来谈谈实施“微专题”教学的几个关键环节，仅供参考。
一、“微专题”课题的确定，遵循真、小、实的原则
“微专题”是立足于学生的实际学习情况而选择的切口小、角度新、针对性强的小专题。它贴近学情，难度适中;可以进行适度拓展，激发学生潜能。“微专题”的选题不求面面俱到，而是要结合复习的目标要求，针对学生在单元复习和大专题复习中暴露出的在知识、方法和能力等方面的薄弱环节，以学生复习中的“问题”促“专题”的生成，力求解决学生学习中的“真问题”“实问题”。比如笔者设计本专题主要是考虑到以下两点因素。
1.学生的难点。
笔者发现学生在多次的作业及考试中对隐含的阿波罗尼斯圆的关注度不是很高，从而导致这类题目答题的正确率较低。应该说，这类问题涉及数形结合、转化与化归、函数与方程等多个知识点及思想方法，问题本身具有一定的综合性。
2.考试的热点。
笔者查阅了近几年的高考题，有关阿波罗尼斯圆的问题出现在多个省份的高考题中，如2003年北京春季卷，2008年四川卷，2005年、2008年、2009年、2013年江苏卷，2014年、2015年湖北卷，等等。在这些题目中虽没有直接出现阿波罗尼斯圆的概念，但经过推导、变形均能转化得到阿波罗尼斯圆。
二、“微专题”课型的教学设计，注重知识的整合，突出以小见大
“微专题”教学关键在于抓住课堂内容的“主线”，以“真问题”“实问题”驱动教学，让学生在真情境、真讨论、真问题、真思考中学会学习，提出能体现核心要旨的“问题”，从而将丰富的教学内容整合成清晰的结构。
我们在对某一个“微专题”进行教学设计时，要力求找到一条能串起零散问题的“主线”，要注重揭示这些问题之间的内在逻辑关联，这样才能让学生做到举一反三，触类旁通。要防止复习的“碎片化”，避免“就题论题”，将专题复习异化为对几个题目的复习。
笔者分析后发现，造成学生对阿波罗尼斯圆背景判断困难的根本原因是没有真正理解这类曲线的本质。因此，在本专题的设计中，笔者没有像以往的一些专题复习课那样，过多考虑题目的综合性或新颖性，过多注重解题的技巧训练，而是从一组课本的习题开始，以理解阿波罗尼斯圆的本质为主线，通过回顾课本习题，引导学生回归问题的起点，真正达到追本溯源、微中见著的目的。通过梳理学生认知结构中已有的、相对“零散”的题组，以“阿波罗尼斯圆”的概念为核心构建这类问题的本质联系，为学生以后解决这类问题形成了一条更为清晰的“线路图”。本专题设计了以下几个主要教学环节来实现以上目标。
活动1：课本溯源，奠定基础。
展示课本上的两道题：
例1.（苏教版《数学》必修2 P112）已知点M（x，y）与两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1：2，那么点M的坐标应满足什么关系？
例2.（苏教版《数学》选修2-1 P63）求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程。
（学生思考、自主解答，具体解答过程略）
（设计意图：挖掘课本习题的教育功能和教学价值，让学生体会到高考题是源于课本的。此外，在此处还可以联系椭圆与双曲线的知识，使学生深刻理解椭圆与双曲线的定义，熟悉其标准方程的推导过程，强化分类讨论的意识，渗透类比的思想。）
活动2：特殊到一般，完善定理。
将课本习题一般化：设A，B是平面内的两个定点，平面内的动点M到点A的距离与到点B的距离的比为定值λ（λ>0），求动点M的轨迹。
让学生类比课本习题的方法给出解决方法。接着由教师给出阿波罗尼斯轨迹定理：
在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上，且满足=λ，当λ>0且λ≠0时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。（λ=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）
活动3：数学运用，链接高考。
习题1（2008年江苏卷）满足条件AB=2，AC=BC的△ABC的面积的最大值是______。
习题2（2008年四川卷）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，且AK=AF，则△AFK的面积为_______。
习题3（2013年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上。
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
（设计意图：由课本习题提炼出定理，再回到高考中体会试题出现的情境，让学生体会这些高考题原来都是源于课本的，接地气，易于接受。）
活动4：延伸拓展，深化思维。
在数学解题中，若仅仅满足解出正确结果是远远不够的，要善于回顾和反思，再来分析例1条件和结论：
条件：①平面上的定点O（0，0）;②平面上的定点A（3，0）;③在同一平面上动点M满足=;
结论：点M的轨迹方程是（x 1）2 y2=4。
命题中涉及两个定点、一个定比和动点的轨迹方程，若将这些重新组合，改变它们的逻辑次序（在已知动点的轨迹的条件下），就可以得到新的结论。
延伸1（探求定比）：已知点O（0，0），A（3，0），点M是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：是否存在这样的常数λ，使得=λ？若存在，求出常数λ;若不存在，请说明理由。
这个其实是我们经常遇到的一类定值问题：定点A，定点B，定圆C？圯定值λ。
延伸2（探求一个定点）：已知点O（0，0），点M 是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：在平面上是否存在点A，使得=？若存在，求出点A的坐标;若不存在，请说明理由。
这个其实也是我们经常研究的定点问题：定点A，定值λ，定圆C？圯定点B。
延伸3（探求两个定点）：已知点M是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在两个定点P，Q，使得=？若存在，求出两个定点P，Q的坐标;若不存在，请说明理由。
这个是我们常见的求定点问题：定圆C，定值
λ？圯定点A，定点B。
延伸4（探求定比和一个定点）：已知点O（0，0），点M是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：在平面上是否存在不同于点O的定点A，使得为常数λ？若存在，求出点A的坐标及常数λ;若不存在，请说明理由。
此问题即为常见的求定值定点问题：定点A，定圆C？圯定点B，定值λ。
通过这几次变式，将圆中的几类定点、定值问题一线串之，让学生从中看到问题的根源在于课本，认清本质，进而能做到运用自如。
三、“微专题”教学习题的选择，突出见微知著
“微专题”教学的例题和习题选择不要刻意求新求异，而是要立足于解决学生认知结构的真问题，应选择部分本专题中具有代表性、可以从多个角度认识和解决、且具有深入探究价值和思维含量的问题，这类题目能够体现解决本专题问题的核心思想与方法。笔者认为选题时应重点关注以下几个方面的习题。
1.源于“易错易混点”的辨析。
心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的唯一的最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学。”学生的错题是反映学情的第一手材料，特别是学生反复做错的一些题目，更是我们要格外关注的。此外，选择学生作业中相关的一些易错易混题作为专题复习的素材还有助于引导学生养成回顾与反思的良好习惯。本课例所选的阿波罗尼斯圆就是学生的易错题。
2.源于课本习题的延伸。
高考题的源头是教材，这是高三复习必须研究和回归的起点和终点。当前专题复习中对一些知识和方法交汇处的综合题、高考题关注得比较多，而对课本的习题关注得不够。课本的习题都是经过专家反复推敲，最能反映相关数学知识和方法应用的典型题目，历届高考试卷中来自课本原题或改编题的考题比比皆是。因此，课本的习题理应成为复习重点。本课例的背景就是来源于课本，由课本题展开并延伸拓展，让学生对高大上的高考题不再畏惧。
3.源于典型的高考题。
选择一些典型高考题作为复习题有助于我们在复习中准确把握高考的命题方向，克服复习中出现一些偏题、怪题。但在使用高考题时要注意和复习的专题相吻合，不可生搬硬套，冲淡复习的主题。本专题中的“活动3：数学运用，链接高考”中的习题均是选自近几年的高考题，让学生体会阿波罗尼斯圆在高考题中的呈现形式。
四、“微专题”复习课的教学，注重课堂的生成
课堂教学是预设和生成的有机融合，预设是为了更好地生成。“微专题”复习课的教学中，更要给学生足够的思考时间，让学生回顾和梳理问题解答的过程，体会它们之间的本质联系，最好让学生自主生成串起这个专题的一条“主线”，进而在头脑中形成对一类问题的本质认识。因此，“微专题”复习课的重点应放在学生对解决本专题问题的一般思想方法的生成上，而不是在单个题目的具体解法上，否则，这样的专题教学会异化为同类题的综合训练，起不到专题复习的效果。例如在本专题的教学中，笔者将教学的重点放在以下两个方面：一是帮助学生自主构建阿波罗尼斯圆定义的基本方法，二是让学生体会函数与方程的联系、数形结合、转化与化归等数学思想方法。
以上是笔者对“微专题”在高考数学复习中的一些实践和思考，由于“微专题”是立足于具体的学情、教情和考情而灵活设置的专题，没有现成的复习资料可以照搬，对如何提高这种形式的复习课的效果、还有待各位专家和同仁不断研究和实践，以更好提高高考数学复习的有效性。
注：本文系江苏省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题“高中数学‘微专题’教学的实践研究”（课题编号：D/2015/02/165）的阶段研究成果之一。
【关键词】微专题;课本资源;教学实践
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）42-0032-03
【作者简介】李宽珍，江苏省溧水高级中学（南京，211200）教师，中学高级教师。
专题复习是高三数学复习后期的重要阶段。它是在一轮复习的整体梳理、知识网络建构之后，必须经历的以综合训练为主，以训练解题能力和优化思维品质为最终目的的复习阶段。如何提高这一阶段的复习效率呢？笔者经过几届毕业班的教学，发现在高三后期的专题复习中，“微专题”复习是对数学专题复习的有效补充，对学生掌握难点问题、查漏补缺有很好的帮助。近几年的高考中，以“阿波罗尼斯圆”为背景的试题一度成为考查热点，而此背景源自课本，由此，笔者基于课本资源开设了一节关于“阿波罗尼斯圆”及其简单应用的“微专题”复习课，取得了良好的效果，本文以此为例来谈谈实施“微专题”教学的几个关键环节，仅供参考。
一、“微专题”课题的确定，遵循真、小、实的原则
“微专题”是立足于学生的实际学习情况而选择的切口小、角度新、针对性强的小专题。它贴近学情，难度适中;可以进行适度拓展，激发学生潜能。“微专题”的选题不求面面俱到，而是要结合复习的目标要求，针对学生在单元复习和大专题复习中暴露出的在知识、方法和能力等方面的薄弱环节，以学生复习中的“问题”促“专题”的生成，力求解决学生学习中的“真问题”“实问题”。比如笔者设计本专题主要是考虑到以下两点因素。
1.学生的难点。
笔者发现学生在多次的作业及考试中对隐含的阿波罗尼斯圆的关注度不是很高，从而导致这类题目答题的正确率较低。应该说，这类问题涉及数形结合、转化与化归、函数与方程等多个知识点及思想方法，问题本身具有一定的综合性。
2.考试的热点。
笔者查阅了近几年的高考题，有关阿波罗尼斯圆的问题出现在多个省份的高考题中，如2003年北京春季卷，2008年四川卷，2005年、2008年、2009年、2013年江苏卷，2014年、2015年湖北卷，等等。在这些题目中虽没有直接出现阿波罗尼斯圆的概念，但经过推导、变形均能转化得到阿波罗尼斯圆。
二、“微专题”课型的教学设计，注重知识的整合，突出以小见大
“微专题”教学关键在于抓住课堂内容的“主线”，以“真问题”“实问题”驱动教学，让学生在真情境、真讨论、真问题、真思考中学会学习，提出能体现核心要旨的“问题”，从而将丰富的教学内容整合成清晰的结构。
我们在对某一个“微专题”进行教学设计时，要力求找到一条能串起零散问题的“主线”，要注重揭示这些问题之间的内在逻辑关联，这样才能让学生做到举一反三，触类旁通。要防止复习的“碎片化”，避免“就题论题”，将专题复习异化为对几个题目的复习。
笔者分析后发现，造成学生对阿波罗尼斯圆背景判断困难的根本原因是没有真正理解这类曲线的本质。因此，在本专题的设计中，笔者没有像以往的一些专题复习课那样，过多考虑题目的综合性或新颖性，过多注重解题的技巧训练，而是从一组课本的习题开始，以理解阿波罗尼斯圆的本质为主线，通过回顾课本习题，引导学生回归问题的起点，真正达到追本溯源、微中见著的目的。通过梳理学生认知结构中已有的、相对“零散”的题组，以“阿波罗尼斯圆”的概念为核心构建这类问题的本质联系，为学生以后解决这类问题形成了一条更为清晰的“线路图”。本专题设计了以下几个主要教学环节来实现以上目标。
活动1：课本溯源，奠定基础。
展示课本上的两道题：
例1.（苏教版《数学》必修2 P112）已知点M（x，y）与两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1：2，那么点M的坐标应满足什么关系？
例2.（苏教版《数学》选修2-1 P63）求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程。
（学生思考、自主解答，具体解答过程略）
（设计意图：挖掘课本习题的教育功能和教学价值，让学生体会到高考题是源于课本的。此外，在此处还可以联系椭圆与双曲线的知识，使学生深刻理解椭圆与双曲线的定义，熟悉其标准方程的推导过程，强化分类讨论的意识，渗透类比的思想。）
活动2：特殊到一般，完善定理。
将课本习题一般化：设A，B是平面内的两个定点，平面内的动点M到点A的距离与到点B的距离的比为定值λ（λ>0），求动点M的轨迹。
让学生类比课本习题的方法给出解决方法。接着由教师给出阿波罗尼斯轨迹定理：
在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上，且满足=λ，当λ>0且λ≠0时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。（λ=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）
活动3：数学运用，链接高考。
习题1（2008年江苏卷）满足条件AB=2，AC=BC的△ABC的面积的最大值是______。
习题2（2008年四川卷）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，且AK=AF，则△AFK的面积为_______。
习题3（2013年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上。
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
（设计意图：由课本习题提炼出定理，再回到高考中体会试题出现的情境，让学生体会这些高考题原来都是源于课本的，接地气，易于接受。）
活动4：延伸拓展，深化思维。
在数学解题中，若仅仅满足解出正确结果是远远不够的，要善于回顾和反思，再来分析例1条件和结论：
条件：①平面上的定点O（0，0）;②平面上的定点A（3，0）;③在同一平面上动点M满足=;
结论：点M的轨迹方程是（x 1）2 y2=4。
命题中涉及两个定点、一个定比和动点的轨迹方程，若将这些重新组合，改变它们的逻辑次序（在已知动点的轨迹的条件下），就可以得到新的结论。
延伸1（探求定比）：已知点O（0，0），A（3，0），点M是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：是否存在这样的常数λ，使得=λ？若存在，求出常数λ;若不存在，请说明理由。
这个其实是我们经常遇到的一类定值问题：定点A，定点B，定圆C？圯定值λ。
延伸2（探求一个定点）：已知点O（0，0），点M 是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：在平面上是否存在点A，使得=？若存在，求出点A的坐标;若不存在，请说明理由。
这个其实也是我们经常研究的定点问题：定点A，定值λ，定圆C？圯定点B。
延伸3（探求两个定点）：已知点M是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在两个定点P，Q，使得=？若存在，求出两个定点P，Q的坐标;若不存在，请说明理由。
这个是我们常见的求定点问题：定圆C，定值
λ？圯定点A，定点B。
延伸4（探求定比和一个定点）：已知点O（0，0），点M是圆（x 1）2 y2=4上任意一点，问：在平面上是否存在不同于点O的定点A，使得为常数λ？若存在，求出点A的坐标及常数λ;若不存在，请说明理由。
此问题即为常见的求定值定点问题：定点A，定圆C？圯定点B，定值λ。
通过这几次变式，将圆中的几类定点、定值问题一线串之，让学生从中看到问题的根源在于课本，认清本质，进而能做到运用自如。
三、“微专题”教学习题的选择，突出见微知著
“微专题”教学的例题和习题选择不要刻意求新求异，而是要立足于解决学生认知结构的真问题，应选择部分本专题中具有代表性、可以从多个角度认识和解决、且具有深入探究价值和思维含量的问题，这类题目能够体现解决本专题问题的核心思想与方法。笔者认为选题时应重点关注以下几个方面的习题。
1.源于“易错易混点”的辨析。
心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的唯一的最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学。”学生的错题是反映学情的第一手材料，特别是学生反复做错的一些题目，更是我们要格外关注的。此外，选择学生作业中相关的一些易错易混题作为专题复习的素材还有助于引导学生养成回顾与反思的良好习惯。本课例所选的阿波罗尼斯圆就是学生的易错题。
2.源于课本习题的延伸。
高考题的源头是教材，这是高三复习必须研究和回归的起点和终点。当前专题复习中对一些知识和方法交汇处的综合题、高考题关注得比较多，而对课本的习题关注得不够。课本的习题都是经过专家反复推敲，最能反映相关数学知识和方法应用的典型题目，历届高考试卷中来自课本原题或改编题的考题比比皆是。因此，课本的习题理应成为复习重点。本课例的背景就是来源于课本，由课本题展开并延伸拓展，让学生对高大上的高考题不再畏惧。
3.源于典型的高考题。
选择一些典型高考题作为复习题有助于我们在复习中准确把握高考的命题方向，克服复习中出现一些偏题、怪题。但在使用高考题时要注意和复习的专题相吻合，不可生搬硬套，冲淡复习的主题。本专题中的“活动3：数学运用，链接高考”中的习题均是选自近几年的高考题，让学生体会阿波罗尼斯圆在高考题中的呈现形式。
四、“微专题”复习课的教学，注重课堂的生成
课堂教学是预设和生成的有机融合，预设是为了更好地生成。“微专题”复习课的教学中，更要给学生足够的思考时间，让学生回顾和梳理问题解答的过程，体会它们之间的本质联系，最好让学生自主生成串起这个专题的一条“主线”，进而在头脑中形成对一类问题的本质认识。因此，“微专题”复习课的重点应放在学生对解决本专题问题的一般思想方法的生成上，而不是在单个题目的具体解法上，否则，这样的专题教学会异化为同类题的综合训练，起不到专题复习的效果。例如在本专题的教学中，笔者将教学的重点放在以下两个方面：一是帮助学生自主构建阿波罗尼斯圆定义的基本方法，二是让学生体会函数与方程的联系、数形结合、转化与化归等数学思想方法。
以上是笔者对“微专题”在高考数学复习中的一些实践和思考，由于“微专题”是立足于具体的学情、教情和考情而灵活设置的专题，没有现成的复习资料可以照搬，对如何提高这种形式的复习课的效果、还有待各位专家和同仁不断研究和实践，以更好提高高考数学复习的有效性。
注：本文系江苏省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题“高中数学‘微专题’教学的实践研究”（课题编号：D/2015/02/165）的阶段研究成果之一。