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【摘要】本文摘录了一节高三复习课的主体片段，旨在阐述教师如何在课堂上关注到学生思维的起点，而不是见题解题;在课堂上如何让学生的思维得到提升，让学生的学习真实发生，进而形成和发展数学核心素养.
【关键词】思维起点;数列通项公式;核心素养;真实学习
【基金项目】本文系北京市教育科学“十三五”规划2017年度一般课题：依托工作室提升数学教师数学教育理论素养的研究（CDFB17343）研究成果之一.
新课程理念强调以学生为主体，得到了广大教师的认可，大多数课堂教学都注意引导学生思考，让学生学会解决问题.但教学中常常有这样的现象：学生解题遇到障碍，教师及时点拨，学生茅塞顿开，然后学生投入到后续的解题之中.学生热情高涨，积极思考，自始至终都在动脑动手，不时还有激烈的争论，最后多数学生得出正确的结论.这样的一节课下来，教师讲得清清楚楚，学生听得明明白白，如此高效的课堂，学生解题能力应当很高才对，而事实是，当学生自己做题时还是不会，有时讲几遍的题考试时仍然做错.为什么会这样呢？一个重要的原因是我们忽视思维的起点，思维的起点往往就是学生思维的障碍.他们不是不知道，而是想不到，你提示，他们就能明白，接下来的推理比较简单，他们会迅速完成，完成之后还会有一丝的成就感，表面看，他们懂了、会了、掌握了，但由于思维起点是教师提示的，因此，他们只知道了一个数学解题法，思维并没有增进，当面对其他问题时仍不知道如何处理.
课堂教学的效果，取决于教师对教学的理解，取决于教师把教育理念、教学思想物化为教学行为的能力，取决于学生的学习探究活动真实发生.这是我听完一节视导常态课后的感受，这是高三复习数列中求通项公式的第二节课，节选部分教学过程如下：
题1 对数列{an}，已知a1=1，an 1=3an 2，求数列{an}的通项公式.
学生探究1：
写出数列的前几项：1，5，17，53，161，…不容易归纳出通项.
学生探究2：
两边同时加1，右边提出3，得到an 1 1=3（an 1），
所以数列{an 1}是a1 1为首项，3为公比的等比数列.
教师变式：a1=1，an 1=4an 58.
学生探究2的方法，观察不出两边加几了，教师引导：所以刚才两边都加1是机缘巧合，还要找通法，回到上一个题再看：数列{an x}是以a1 x为首项，3为公比的等比数列，写出an 1 x=3（an x）an 1=3an 2x，所以2x=2，x=1.教师关注了这样的思维起点，学生也不是仅仅会解一道题，学生顺利写出变式：数列{an x}是a1 x为首项，4为公比的等比数列，写出an 1 x=4（an x）an 1=4an 3x，所以3x=58，x=524，学生此时热情很高，感觉真的有了.
知识方法的生成，重在“自然”，所谓的自然生成是，教师关注思维的起点，指明研究的主要方向，以学生的生成为主，通过学生的思考、合作交流，顺其自然的发现一些有价值的规律、定理等.本题的推导过程并不复杂，关键是思维的起点，而思维的起点正是“为什么这么想”的问题，所以该题目的处理侧重解题思路对学生思维的触发作用，多给学生提供激活思维的机会，逐步积累学生的数学活动经验，数学素养的培养不是刻意的，而是在学生感知、感受、体验、思考而自然形成的，只要揭示数学的本质，按照数学知识及数学思想方法发生、发展的规律教学，数学素养的培养也就在其中了.
题2 对数列{an}，已知a1=1，an 1=2anan 2，求数列{an}的通项公式.
学生探究1：
写出数列的前几项：1，23，12，25，13，….学生很快调整成：22，23，24，25，26，….
从而归纳出an=2n 1.这是不完全归纳得到的，如何证明，师生简单地回忆一下数学归纳法，没有展开.
学生探究2：
两边都取倒数：1an 1=an 22an=12 1an，1an 1-1an=12.
数列1an是1a1为首项，12为公差的等差数列，1an=n 12，∴an=2n 1.
很多同学都是恍然大悟，这种方法很快呀，取倒数的目的是让右边的分式分母是单项可以裂项，我以为学生对此有了深一层的反应，是思维深化的表现，可是学生说出了自己新的困惑：我自己是想不到这种变形.这个疑问在其他同学中产生了共鸣，有的沉默思考，有的相互交流，几分钟后，陆续有同学说出了自己的想法.
学生探究3：
因为右边是分式，最容易想到的是把分母乘过来，得到二次三项式：
an 1an 2an 1=2an，在教师的提示下，大部分学生联想到了形如这样二次三项式的处理办法，两边同除以二次式，得到：2an 1-2an=1（或1an 1-1an=12），回到探究2一样的结果.
这种解法虽不是最智慧的简捷解法，但符合大多数学生的思维习惯，在对得到的整式处理上又开阔了一部分同学的解题视野，相比之下学生更容易入手.教学中首先要顺应学生的思维习惯，帮助学生学会思考，同时还要不断发展学生的思维，用新的方法、新的思想丰富学生的思维，促进学生不断更新、完善自己的认知结构，让学生的学习真实发生，没有方法不可怕，不会思考才可怕.
题3 对数列{an}，已知a1=12，an=-2snsn-1（n≥2），求证：数列1sn是等差数列.
学生的目标性很强，要证明的结论就是目标，所以去掉an，得到：n≥2，sn-sn-1=-2snsn-1，学生都会处理这个二次三项式了.
高三的复习课，尊重学生的认知基础，首先要清楚学生知道什么不知道什么，教学设计一定要尊重这个事实，不能掩耳盗铃，一厢情愿.本节课就没有就题给模型，而是把关注学生思维的起点作为本节课的核心所在，也是价值所在.在题2的探究3中，符合學生思维起点整理到二次三项式，这是学生熟悉的，然而熟悉的结论在陌生的情境下没有唤起记忆，这说明学生的能力尚有欠缺，能力欠缺的原因是教师没有提供足够的、有价值的训练素材，因此，教师必须善于创造和把握机会，为学生提供触动联想的好问题，没有好的问题，数学素养的培养就是一句空话.所以该教师在看到题2的探究3中学生处理二次三项式时产生的问题，及时抛出了题目三，恰当的时机给学生提供了有价值得训练素材，高三教学不能仅仅是知识的回归，要深化理解知识体系;不能仅仅是题型的总结归纳以及机械重复的训练，要突出问题的分析，突出学生的思维过程，要让学生领悟方法的内涵，达到灵活运用的目的.
【参考文献】
[1]王尚志.数学课表修订与数学核心素养[R].浙江省基础教育研究中心.
[2]徐解清.数学核心素养：从内隐走向外显[J].数学通报，2017（7）：24-27.
[3]祁平.基于探究的数学教学的哲学思索[J].数学通报，2014（8）：22-28.
【关键词】思维起点;数列通项公式;核心素养;真实学习
【基金项目】本文系北京市教育科学“十三五”规划2017年度一般课题：依托工作室提升数学教师数学教育理论素养的研究（CDFB17343）研究成果之一.
新课程理念强调以学生为主体，得到了广大教师的认可，大多数课堂教学都注意引导学生思考，让学生学会解决问题.但教学中常常有这样的现象：学生解题遇到障碍，教师及时点拨，学生茅塞顿开，然后学生投入到后续的解题之中.学生热情高涨，积极思考，自始至终都在动脑动手，不时还有激烈的争论，最后多数学生得出正确的结论.这样的一节课下来，教师讲得清清楚楚，学生听得明明白白，如此高效的课堂，学生解题能力应当很高才对，而事实是，当学生自己做题时还是不会，有时讲几遍的题考试时仍然做错.为什么会这样呢？一个重要的原因是我们忽视思维的起点，思维的起点往往就是学生思维的障碍.他们不是不知道，而是想不到，你提示，他们就能明白，接下来的推理比较简单，他们会迅速完成，完成之后还会有一丝的成就感，表面看，他们懂了、会了、掌握了，但由于思维起点是教师提示的，因此，他们只知道了一个数学解题法，思维并没有增进，当面对其他问题时仍不知道如何处理.
课堂教学的效果，取决于教师对教学的理解，取决于教师把教育理念、教学思想物化为教学行为的能力，取决于学生的学习探究活动真实发生.这是我听完一节视导常态课后的感受，这是高三复习数列中求通项公式的第二节课，节选部分教学过程如下：
题1 对数列{an}，已知a1=1，an 1=3an 2，求数列{an}的通项公式.
学生探究1：
写出数列的前几项：1，5，17，53，161，…不容易归纳出通项.
学生探究2：
两边同时加1，右边提出3，得到an 1 1=3（an 1），
所以数列{an 1}是a1 1为首项，3为公比的等比数列.
教师变式：a1=1，an 1=4an 58.
学生探究2的方法，观察不出两边加几了，教师引导：所以刚才两边都加1是机缘巧合，还要找通法，回到上一个题再看：数列{an x}是以a1 x为首项，3为公比的等比数列，写出an 1 x=3（an x）an 1=3an 2x，所以2x=2，x=1.教师关注了这样的思维起点，学生也不是仅仅会解一道题，学生顺利写出变式：数列{an x}是a1 x为首项，4为公比的等比数列，写出an 1 x=4（an x）an 1=4an 3x，所以3x=58，x=524，学生此时热情很高，感觉真的有了.
知识方法的生成，重在“自然”，所谓的自然生成是，教师关注思维的起点，指明研究的主要方向，以学生的生成为主，通过学生的思考、合作交流，顺其自然的发现一些有价值的规律、定理等.本题的推导过程并不复杂，关键是思维的起点，而思维的起点正是“为什么这么想”的问题，所以该题目的处理侧重解题思路对学生思维的触发作用，多给学生提供激活思维的机会，逐步积累学生的数学活动经验，数学素养的培养不是刻意的，而是在学生感知、感受、体验、思考而自然形成的，只要揭示数学的本质，按照数学知识及数学思想方法发生、发展的规律教学，数学素养的培养也就在其中了.
题2 对数列{an}，已知a1=1，an 1=2anan 2，求数列{an}的通项公式.
学生探究1：
写出数列的前几项：1，23，12，25，13，….学生很快调整成：22，23，24，25，26，….
从而归纳出an=2n 1.这是不完全归纳得到的，如何证明，师生简单地回忆一下数学归纳法，没有展开.
学生探究2：
两边都取倒数：1an 1=an 22an=12 1an，1an 1-1an=12.
数列1an是1a1为首项，12为公差的等差数列，1an=n 12，∴an=2n 1.
很多同学都是恍然大悟，这种方法很快呀，取倒数的目的是让右边的分式分母是单项可以裂项，我以为学生对此有了深一层的反应，是思维深化的表现，可是学生说出了自己新的困惑：我自己是想不到这种变形.这个疑问在其他同学中产生了共鸣，有的沉默思考，有的相互交流，几分钟后，陆续有同学说出了自己的想法.
学生探究3：
因为右边是分式，最容易想到的是把分母乘过来，得到二次三项式：
an 1an 2an 1=2an，在教师的提示下，大部分学生联想到了形如这样二次三项式的处理办法，两边同除以二次式，得到：2an 1-2an=1（或1an 1-1an=12），回到探究2一样的结果.
这种解法虽不是最智慧的简捷解法，但符合大多数学生的思维习惯，在对得到的整式处理上又开阔了一部分同学的解题视野，相比之下学生更容易入手.教学中首先要顺应学生的思维习惯，帮助学生学会思考，同时还要不断发展学生的思维，用新的方法、新的思想丰富学生的思维，促进学生不断更新、完善自己的认知结构，让学生的学习真实发生，没有方法不可怕，不会思考才可怕.
题3 对数列{an}，已知a1=12，an=-2snsn-1（n≥2），求证：数列1sn是等差数列.
学生的目标性很强，要证明的结论就是目标，所以去掉an，得到：n≥2，sn-sn-1=-2snsn-1，学生都会处理这个二次三项式了.
高三的复习课，尊重学生的认知基础，首先要清楚学生知道什么不知道什么，教学设计一定要尊重这个事实，不能掩耳盗铃，一厢情愿.本节课就没有就题给模型，而是把关注学生思维的起点作为本节课的核心所在，也是价值所在.在题2的探究3中，符合學生思维起点整理到二次三项式，这是学生熟悉的，然而熟悉的结论在陌生的情境下没有唤起记忆，这说明学生的能力尚有欠缺，能力欠缺的原因是教师没有提供足够的、有价值的训练素材，因此，教师必须善于创造和把握机会，为学生提供触动联想的好问题，没有好的问题，数学素养的培养就是一句空话.所以该教师在看到题2的探究3中学生处理二次三项式时产生的问题，及时抛出了题目三，恰当的时机给学生提供了有价值得训练素材，高三教学不能仅仅是知识的回归，要深化理解知识体系;不能仅仅是题型的总结归纳以及机械重复的训练，要突出问题的分析，突出学生的思维过程，要让学生领悟方法的内涵，达到灵活运用的目的.
【参考文献】
[1]王尚志.数学课表修订与数学核心素养[R].浙江省基础教育研究中心.
[2]徐解清.数学核心素养：从内隐走向外显[J].数学通报，2017（7）：24-27.
[3]祁平.基于探究的数学教学的哲学思索[J].数学通报，2014（8）：22-28.