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摘 要：数学概念是高中数学的重要组成部分，数学概念的学习与教学是最重要的课题之一。笔者在新课程理念的指导下，谈谈高中数学概念的教学设计。
关键词：数学概念 新课标 新课程理念 教学设计
1 问题提出
数学概念是数学知识的细胞，也是思维的单元，是学生在学习数学中赖以思维的基础。只有树立了正确的概念，才能牢固地掌握基础知识，概念不清就谈不上进一步学习其他数学知识。数学教育改革的不断深入，对数学概念学习也提出了更高的要求，高中数学新课标的课程目标中指出：“获得必要的数学知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”从课程目标中可以看出，数学概念是高中数学的重要组成部分。因此，数学概念的学习与教学是最重要的课题之一。然而，传统的数学教学，注重数学概念内涵的教学，忽视概念的外延，忽视学生的认知结构，甚至灌输孤立的数学概念。于是，学生会在学习数学时出现种种问题，这与没有掌握好有关的数学
概念有很大的关系。本文在新课程理念的指导下，谈谈高中数学概念的教学设计。
2 教学设计
教学设计(Instructional Design，简称ID)也称教学系统设计(Instructional System Design)，国内外学者有自己的观点，如加涅(R. M. Gagne，1987)认为：“教学系统设计是计划教学系统的系统化过程。”国内学者乌美娜先生认为：“教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标、建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程，它以优化教学效果为目的，以学习理论、教学理论、和传播学为理论基础。”从上述对教学设计的定义可以看出，所谓教学设计，也就是為了达到教学目标，对“教什么”和“怎样教”进行的规划。教学设计的研究对象是对不同层次的教学系统的各个教学环节进行具体计划和决策的过程；教学设计是为解决教学实际问题而创设一个有效的教学系统；教学设计是基于一定的理论基础(如传播理论、学习理论、教学理论等)应用系统科学的方法对教学系统的各个要素、结构和功能进行整体研究，从而揭示教学要素之间必然的、规律性的联系，达到教学过程的优化控制，使教学效果最优化。教学设计与课堂教学是教学工作的两个很重要的环节，凡事“预则立，不预则废”，教学设计是课的“灵魂”，它很大程度上决定了教学过程和教学效果，事实上，教学设计的根本使命或许就是给学生提供一个良好的受教育的环境，为它们的发展设计一个“系统”的发展计划，使学生们能够在这样的环境中得到最合适的发展机会，能够最充分地用运自己的潜能发展自我。
数学教学设计是指基于一定的数学学习规律、数学教学规律、数学学科的特点等，应用系统科学的方法对数学课堂教学系统的各个要素、结构、功能进行整体研究，从而揭示教学要素之间必然的、规律性的联系，达到数学教学过程的优化控制，使数学教学处于有效教学的系统过程。数学课堂教学设计的确定既取决于具体的数学内容和培养目标，又依赖于具体学与教的理论的支持。
3 数学概念教学设计
3.1 数学概念的学习原理
数学概念是数学知识的基本单元。从理解的层面看，掌握数学概念不仅要简单地用语言将数学概念表述出来，而且要真正理解概念的内涵和外延，表现为能对数学对象进行识别和归类，用自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解。数学概念的获得有两种基本方式：概念形成与概念同化。
概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上概括出某一类事物本质属性而获得概念的方式。近年来关于概念形成的心理活动过程的研究表明，概念的形成有以下几个阶段：
①辨别不同的刺激模式，在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例。
②分化和类化各种刺激模式的属性，各种具体模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较。
③提出和验证假设，一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在数学概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出概念的本质属性。
④把新概念从以前学过的相关旧概念中分离出来，把新概念的本质属性推广到这个类目的一切例子，这个过程实际上是明确概念外延的过程，也是新概念与其他旧概念相区别的过程。
⑤用符合习惯的数学语言和符号表示新概念，即形式化。
概念的同化是指：在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关概念相联系和掌握概念的方式。以概念同化的方式学习数学概念的心理活动大致包括以下几个阶段：
①辨认。
②同化。建立新概念与原有概念实质性的联系，把新概念纳入已有的认知结构中，使新概念被赋予一定的意义。
③强化。通过辨认概念的肯定和否定例子，使新概念和原有概念精确化。
然而，我国传统数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行的。学者张奠宙先生认为，数学概念具有过程—对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程，因此必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方面理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理，仅从形式上做逻辑分析(属+种差)让学生理解概念是远远不够的。
杜宾斯基（美国）等人对学习数学概念的研究表明，数学概念的认知过程经历四个阶段：①Acton(活动)阶段，通过活动让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；②Process(过程)阶段，过程阶段是学生对活动进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；③Object(对象)阶段，对象阶段是通过前面的抽象，认识到了概念的本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动；④Scheme(图式)阶段，“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包括反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。这个被称为APOS的理论，不但清楚地指明了学生建构数学概念的层次，而且为数学教师如何进行数学概念的教学提供了一种具体的策略。
3.2 数学概念教学设计的模式
根据数学概念的学习原理，提出以下几种数学概念教学设计的模式。
(一) 概念形成模式：具体例子或形成概念域（系）——观察共性——抽象本质——形成定义——强化概念——概念应用。
* 操作程序：教师提供概念的正例——学生概括例子的共同、本质的属性——讨论、观察、思考——师生共同归纳实例的本质属性——给出定义——学生举正例、教师举反例——概念应用——形成概念域（系）。
* 案例（人教A版必修1函数概念教学设计）
1) 先给出两个实例，炮弹发射时间与高度的关系，归结为数集A={t|0≤t≤26}与B={h|0≤h≤845}的对应关系。臭氧层空洞的面积随时间变化情况，归结为数集A={t|1979≤t≤2001}与B={s|0≤s≤26}的对应关系。
2) 引导学生观察思考例子的共性，回答表中恩格尔系数和时间（年）的关系。进而设置思考题：“分析、归纳三个例子，它们有什么共同点？”
3) 师生共同归纳上述几例的共性，得到：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有惟一确定的y和它对应f：A→B。
4) 给出函数的定义。
5) 强化概念，要求学生举例，如y=2x+1，y= ……教师可以举反例，如y=± ，下例是否为函数……
6) 概念应用与形成概念域（转入函数相关命题学习）。
（二）概念的同化模式：先行组织者——定义概念——强化概念——概念应用——形成概念域（系）。
* 程序：呈现先行组织者——给出定义——概念的辨认、剖析与同化——强化概念——概念应用。
* 案例（人教A版必修2直线与平面垂直概念教学设计）
1) 呈現学生已经习得的生活中的例子（呈现先行组织者），如旗杆与地面的位置关系、大桥的桥柱与水面的位置关系等等。
2) 给出直线与平面垂直的定义。
3) 辨认、剖析概念。区别“任意一条”与“无数条”的关系，把直线与平面平行与垂直作一比较，从而完善直线与平面位置关系的认知体系。
4) 强化概念。除定义外，如何判断一条直线与平面平行？进一步研究直线与平面垂直。
5) 直线与平面垂直概念的应用。
6) 形成概念系。
（三）问题引申模式：问题情境——问题解决——引入概念——强化概念——概念应用——形成概念域（系）。
* 程序：创设问题情境——引导学生解决问题——在解决问题中形成概念——强化概念——概念应用。
* 案例（人教A版必修1二分法概念教学设计）
1) 创设问题情境。如电话线路的维修问题，“幸运52”的猜商品价格的问题等等。
2) 引导学生思考解决上述问题的方案——采用逼近思想。如上述的电话线路的维修问题，可以从中间一根电话杆开始检测，若正常，则故障在后面；若不正常，则故障在前面，一直有这样的方法逼近故障点，最后把问题解决。
3) 引出函数的零点问题，给下定义。
4) 用二分法求函数的零点。如怎样求方程x +2x-1=0的近似解。并归纳二分法求函数零点的步骤。
5) 概念强化与应用。借助计算器或计算机，用二分法解决求方程近似解问题。
总之，数学概念教学是高中数学教学的重要组成部分，新课标下的数学概念教学地位尤为突出，这一点一定要引起我们的重视。令人欣喜的是，人教A版数学新教材数学的概念大都是按照概念形成、概念同化与问题引申的模式编写的，因此，我们一定要在数学概念学习原理的指导下，按照学生的认知规律进行数学概念教学设计。
参考文献：
［1］刘绍学.普通高中课程标准实验教科书必修1，3［M］.北京：人民教育出版社，2006.
［2］喻平.数学教育心理学［M］.南宁：广西教育出版社，2004.
［3］曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.
［4］孙杰远.现代数学教育［M］.桂林：广西师范大学出版社，2004.
［5］张奠宙，宋乃庆.数学教育学概论［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［6］严士健等.普通高中数学课程标准解读［M］.南京：江苏教育出版社，2004.
［7］李依南.《高中数学课程标准》所引起数学概念教学的思考［J］.教育论坛，2005，12.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：数学概念 新课标 新课程理念 教学设计
1 问题提出
数学概念是数学知识的细胞，也是思维的单元，是学生在学习数学中赖以思维的基础。只有树立了正确的概念，才能牢固地掌握基础知识，概念不清就谈不上进一步学习其他数学知识。数学教育改革的不断深入，对数学概念学习也提出了更高的要求，高中数学新课标的课程目标中指出：“获得必要的数学知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”从课程目标中可以看出，数学概念是高中数学的重要组成部分。因此，数学概念的学习与教学是最重要的课题之一。然而，传统的数学教学，注重数学概念内涵的教学，忽视概念的外延，忽视学生的认知结构，甚至灌输孤立的数学概念。于是，学生会在学习数学时出现种种问题，这与没有掌握好有关的数学
概念有很大的关系。本文在新课程理念的指导下，谈谈高中数学概念的教学设计。
2 教学设计
教学设计(Instructional Design，简称ID)也称教学系统设计(Instructional System Design)，国内外学者有自己的观点，如加涅(R. M. Gagne，1987)认为：“教学系统设计是计划教学系统的系统化过程。”国内学者乌美娜先生认为：“教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标、建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程，它以优化教学效果为目的，以学习理论、教学理论、和传播学为理论基础。”从上述对教学设计的定义可以看出，所谓教学设计，也就是為了达到教学目标，对“教什么”和“怎样教”进行的规划。教学设计的研究对象是对不同层次的教学系统的各个教学环节进行具体计划和决策的过程；教学设计是为解决教学实际问题而创设一个有效的教学系统；教学设计是基于一定的理论基础(如传播理论、学习理论、教学理论等)应用系统科学的方法对教学系统的各个要素、结构和功能进行整体研究，从而揭示教学要素之间必然的、规律性的联系，达到教学过程的优化控制，使教学效果最优化。教学设计与课堂教学是教学工作的两个很重要的环节，凡事“预则立，不预则废”，教学设计是课的“灵魂”，它很大程度上决定了教学过程和教学效果，事实上，教学设计的根本使命或许就是给学生提供一个良好的受教育的环境，为它们的发展设计一个“系统”的发展计划，使学生们能够在这样的环境中得到最合适的发展机会，能够最充分地用运自己的潜能发展自我。
数学教学设计是指基于一定的数学学习规律、数学教学规律、数学学科的特点等，应用系统科学的方法对数学课堂教学系统的各个要素、结构、功能进行整体研究，从而揭示教学要素之间必然的、规律性的联系，达到数学教学过程的优化控制，使数学教学处于有效教学的系统过程。数学课堂教学设计的确定既取决于具体的数学内容和培养目标，又依赖于具体学与教的理论的支持。
3 数学概念教学设计
3.1 数学概念的学习原理
数学概念是数学知识的基本单元。从理解的层面看，掌握数学概念不仅要简单地用语言将数学概念表述出来，而且要真正理解概念的内涵和外延，表现为能对数学对象进行识别和归类，用自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解。数学概念的获得有两种基本方式：概念形成与概念同化。
概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上概括出某一类事物本质属性而获得概念的方式。近年来关于概念形成的心理活动过程的研究表明，概念的形成有以下几个阶段：
①辨别不同的刺激模式，在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例。
②分化和类化各种刺激模式的属性，各种具体模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较。
③提出和验证假设，一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在数学概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出概念的本质属性。
④把新概念从以前学过的相关旧概念中分离出来，把新概念的本质属性推广到这个类目的一切例子，这个过程实际上是明确概念外延的过程，也是新概念与其他旧概念相区别的过程。
⑤用符合习惯的数学语言和符号表示新概念，即形式化。
概念的同化是指：在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关概念相联系和掌握概念的方式。以概念同化的方式学习数学概念的心理活动大致包括以下几个阶段：
①辨认。
②同化。建立新概念与原有概念实质性的联系，把新概念纳入已有的认知结构中，使新概念被赋予一定的意义。
③强化。通过辨认概念的肯定和否定例子，使新概念和原有概念精确化。
然而，我国传统数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行的。学者张奠宙先生认为，数学概念具有过程—对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程，因此必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方面理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理，仅从形式上做逻辑分析(属+种差)让学生理解概念是远远不够的。
杜宾斯基（美国）等人对学习数学概念的研究表明，数学概念的认知过程经历四个阶段：①Acton(活动)阶段，通过活动让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；②Process(过程)阶段，过程阶段是学生对活动进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；③Object(对象)阶段，对象阶段是通过前面的抽象，认识到了概念的本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动；④Scheme(图式)阶段，“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包括反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。这个被称为APOS的理论，不但清楚地指明了学生建构数学概念的层次，而且为数学教师如何进行数学概念的教学提供了一种具体的策略。
3.2 数学概念教学设计的模式
根据数学概念的学习原理，提出以下几种数学概念教学设计的模式。
(一) 概念形成模式：具体例子或形成概念域（系）——观察共性——抽象本质——形成定义——强化概念——概念应用。
* 操作程序：教师提供概念的正例——学生概括例子的共同、本质的属性——讨论、观察、思考——师生共同归纳实例的本质属性——给出定义——学生举正例、教师举反例——概念应用——形成概念域（系）。
* 案例（人教A版必修1函数概念教学设计）
1) 先给出两个实例，炮弹发射时间与高度的关系，归结为数集A={t|0≤t≤26}与B={h|0≤h≤845}的对应关系。臭氧层空洞的面积随时间变化情况，归结为数集A={t|1979≤t≤2001}与B={s|0≤s≤26}的对应关系。
2) 引导学生观察思考例子的共性，回答表中恩格尔系数和时间（年）的关系。进而设置思考题：“分析、归纳三个例子，它们有什么共同点？”
3) 师生共同归纳上述几例的共性，得到：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有惟一确定的y和它对应f：A→B。
4) 给出函数的定义。
5) 强化概念，要求学生举例，如y=2x+1，y= ……教师可以举反例，如y=± ，下例是否为函数……
6) 概念应用与形成概念域（转入函数相关命题学习）。
（二）概念的同化模式：先行组织者——定义概念——强化概念——概念应用——形成概念域（系）。
* 程序：呈现先行组织者——给出定义——概念的辨认、剖析与同化——强化概念——概念应用。
* 案例（人教A版必修2直线与平面垂直概念教学设计）
1) 呈現学生已经习得的生活中的例子（呈现先行组织者），如旗杆与地面的位置关系、大桥的桥柱与水面的位置关系等等。
2) 给出直线与平面垂直的定义。
3) 辨认、剖析概念。区别“任意一条”与“无数条”的关系，把直线与平面平行与垂直作一比较，从而完善直线与平面位置关系的认知体系。
4) 强化概念。除定义外，如何判断一条直线与平面平行？进一步研究直线与平面垂直。
5) 直线与平面垂直概念的应用。
6) 形成概念系。
（三）问题引申模式：问题情境——问题解决——引入概念——强化概念——概念应用——形成概念域（系）。
* 程序：创设问题情境——引导学生解决问题——在解决问题中形成概念——强化概念——概念应用。
* 案例（人教A版必修1二分法概念教学设计）
1) 创设问题情境。如电话线路的维修问题，“幸运52”的猜商品价格的问题等等。
2) 引导学生思考解决上述问题的方案——采用逼近思想。如上述的电话线路的维修问题，可以从中间一根电话杆开始检测，若正常，则故障在后面；若不正常，则故障在前面，一直有这样的方法逼近故障点，最后把问题解决。
3) 引出函数的零点问题，给下定义。
4) 用二分法求函数的零点。如怎样求方程x +2x-1=0的近似解。并归纳二分法求函数零点的步骤。
5) 概念强化与应用。借助计算器或计算机，用二分法解决求方程近似解问题。
总之，数学概念教学是高中数学教学的重要组成部分，新课标下的数学概念教学地位尤为突出，这一点一定要引起我们的重视。令人欣喜的是，人教A版数学新教材数学的概念大都是按照概念形成、概念同化与问题引申的模式编写的，因此，我们一定要在数学概念学习原理的指导下，按照学生的认知规律进行数学概念教学设计。
参考文献：
［1］刘绍学.普通高中课程标准实验教科书必修1，3［M］.北京：人民教育出版社，2006.
［2］喻平.数学教育心理学［M］.南宁：广西教育出版社，2004.
［3］曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.
［4］孙杰远.现代数学教育［M］.桂林：广西师范大学出版社，2004.
［5］张奠宙，宋乃庆.数学教育学概论［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［6］严士健等.普通高中数学课程标准解读［M］.南京：江苏教育出版社，2004.
［7］李依南.《高中数学课程标准》所引起数学概念教学的思考［J］.教育论坛，2005，12.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”