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线性规划是现代数学中研究最优化理论的重要模型,是运筹学的一个最重要的分支。它的应用范围十分广阔,从解决技术问题的最优设计到工业、农业、商业、交通运输、军事、经济、管理决策等众多领域都可以发挥作用,理论上最完善,实际应用得最广泛。
新教材增加的简单线性规划内容,不仅给传统的高中数学注入了新鲜的“血液”,而且给学生提供了学数学,用数学的实践机会。线性规划问题是教材中重点内容,也是高考中热点。线性规划问题主要考查在线性约束条件下,求可行域的面积或确定形状;求线性目标函数的取值范围、最值(如直线斜率,两点间的距离,点到直线的距离、范围等)或取最值时点的坐标。线性约束条件是由不等式(组)或方程(组)来表示的,因此线性规划必然与不等式、方程、函数等知识联系密切,而“在知识网络交汇点设计问题,促进学科内知识的交融和渗透”正好是新课程高考命题的求新点和切入点。高中阶段学习的线性规划具有工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法。
一、面积问题
1、(全国卷)在坐标平面上,不等式组y≥x-1y≤-3x+1所表示的平面区域的面积为_________。
解析:原不等式组去掉绝对值后转化为两个不等式组,画出平面区域,根据三角形面积公式求得答案。
二、最值问题
2、(全国卷)若x,y满足约束条件x+y≥0x-y+3≥00≤x≤3则z=2x-y的最大值为____________。
解析:z=2x-y的几何意义是斜率为2的直线的纵截距的相反数,在坐标平面上画出可行域,可得结果。
x,y满足x-y-2≤0x+2y-4>02y-3≤0则的最大值是________。
3、(江西)设实数
解析:在坐标平面上画出可行域z==的几何意义是两点O(0,0)A(x,y)连线的斜率,画圖可知,在点(1, )时z最大,故所求最大值为。
4、教材第二册(上)第99页 第5题
解析:由问题的形式联想到两点间距离公式,从而利用线性规划的思想去解决。上述几题中的约束条件是以不等式的形式出现,有时以方程形式给出,如教材第二册(上)第99页 第6题
方法提炼:
①解决线性规划问题,首先找到线性约束条件,画出可行域;线性约束条件可能是关于x、y的不等式(组)或方程(组)。
②其次要确定目标函数(多是二元函数)理解它的几何意义;如:截距问题,斜率 ,两点间距离,点到直线距离。
③最后利用图解法在可行域内找到目标函数的最值及最优解。
④线性规划问题体现了数学中的转化、数形结合思想。
新教材增加的简单线性规划内容,不仅给传统的高中数学注入了新鲜的“血液”,而且给学生提供了学数学,用数学的实践机会。线性规划问题是教材中重点内容,也是高考中热点。线性规划问题主要考查在线性约束条件下,求可行域的面积或确定形状;求线性目标函数的取值范围、最值(如直线斜率,两点间的距离,点到直线的距离、范围等)或取最值时点的坐标。线性约束条件是由不等式(组)或方程(组)来表示的,因此线性规划必然与不等式、方程、函数等知识联系密切,而“在知识网络交汇点设计问题,促进学科内知识的交融和渗透”正好是新课程高考命题的求新点和切入点。高中阶段学习的线性规划具有工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法。
一、面积问题
1、(全国卷)在坐标平面上,不等式组y≥x-1y≤-3x+1所表示的平面区域的面积为_________。
解析:原不等式组去掉绝对值后转化为两个不等式组,画出平面区域,根据三角形面积公式求得答案。
二、最值问题
2、(全国卷)若x,y满足约束条件x+y≥0x-y+3≥00≤x≤3则z=2x-y的最大值为____________。
解析:z=2x-y的几何意义是斜率为2的直线的纵截距的相反数,在坐标平面上画出可行域,可得结果。
x,y满足x-y-2≤0x+2y-4>02y-3≤0则的最大值是________。
3、(江西)设实数
解析:在坐标平面上画出可行域z==的几何意义是两点O(0,0)A(x,y)连线的斜率,画圖可知,在点(1, )时z最大,故所求最大值为。
4、教材第二册(上)第99页 第5题
解析:由问题的形式联想到两点间距离公式,从而利用线性规划的思想去解决。上述几题中的约束条件是以不等式的形式出现,有时以方程形式给出,如教材第二册(上)第99页 第6题
方法提炼:
①解决线性规划问题,首先找到线性约束条件,画出可行域;线性约束条件可能是关于x、y的不等式(组)或方程(组)。
②其次要确定目标函数(多是二元函数)理解它的几何意义;如:截距问题,斜率 ,两点间距离,点到直线距离。
③最后利用图解法在可行域内找到目标函数的最值及最优解。
④线性规划问题体现了数学中的转化、数形结合思想。