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摘 要：可转换债券是一种较为复杂的金融衍生产品，其定价具有重要的理论和实际意义。通过借鉴国内外研究成果，使用随机波动率的Hull-White期权定价模型，用拟蒙特卡罗方法对可转换债券进行定价，数值实验表明：与蒙特卡罗方法相比，拟蒙特卡罗模拟的价格与真实价格更接近、收敛速度更快，这也能够证明随机波动率的Hull-White期权定价模型可以为可转换债券的期权部分进行定价。
关键词：Hull-White模型;可转换债券;拟蒙特卡罗模拟;低差异序列
中图分类号：F830.91 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2021）27-0063-04
引言
金融市场中的统计模型一直是学术界研究的重点[1～2]。张梅琳和周义荣（2009）运用股价及利率特性推导出了双因素可转债定价模型[3]。王明雷（2012）在Hull-White模型的基礎上，建立了受外界干扰因子影响的随机波动率模型，对可转债中的期权部分进行了定价研究[4]。Shen Y.和Siu T.K.（2013）对Hull-White模型下的债券期权进行了估值[5]。董微（2015）研究认为，TF98和LSM模型能够较准确地拟合可转债价格[6]。潘坚和肖庆宪（2016）在Hull-White模型下，开发了以随机障碍为主要特征的障碍期权估值模型[7]。O.Samimi等人（2017）对随机波动率和随机利率模型（Heston-Hull-White）进行美式期权定价[8]。林鸿熙和江良（2018）给出了一种有效的正则化方法，对Hull-White模型进行稳定的参数估计[9]。
蒙特卡罗模拟方法在金融计算中被广泛使用[10]，蒙特卡罗方法和拟蒙特卡罗方法的应用已有较多成果。罗付岩和徐海云（2008）对拟蒙特卡罗模拟方法中使用的Halton、Faure、Sobol序列进行了定价分析，结果表明低维数条件下，三种序列比蒙特卡罗模拟的结果好，高维数条件下，Faure、Sobol序列比蒙特卡罗模拟的结果好，Halton序列则比较敏感[11]。张丽虹（2015）对美式期权进行定价，将蒙特卡洛方法得到的数值结果与用有限差分法得到的准确解进行比较，发现蒙特卡洛方法仿真结果不太精确，波动较大，尤其是在模拟次数较小的时候，而增加模拟次数可提高精度[12]。白薇（2015）选择看涨期权，使用Euler离散化方法和Milstein离散化方法对拟蒙特卡罗方法下Hestom模型的离散化数值解做了研究，发现拟蒙特卡罗比传统的蒙特卡罗方法更能够提高模拟的效率[13]。杨首樟和任燕燕（2017）分别使用蒙特卡罗和拟蒙特卡罗模拟对欧式期权进行定价对比，结果表明在低维度情况下拟蒙特卡罗模拟方法定价更加精确，收敛速度也更快;在高维情况下通过修正也可以达到同样的效果[14]。
本文在已有工作的基础上，使用随机波动率的Hull-White模型为可转债的期权部分价值进行定价，运用拟蒙特卡罗方法模拟价格路径，与传统的蒙特卡罗方法进行比较，对可转换债券进行比较准确的定价。
一、模型阐述
（一）纯债券部分价值
我们认为，可转债由纯债券和期权两部分价值组成。纯债券部分价值为债券所有者在债券有效期内获得的现金流的贴现值，可用下式表示：
式中，I为债券每年票面利率，M为债券初始发行价，t为债券持有年限，r为市场无风险利率，n表示从现在起至最后期限的时间（年），h表示从现在起至下一次除息日的小数年数，n+h表示从现在起至最后期限的时间。
（二）Hull-White模型下的期权部分价值
很多研究使用波动率为常数的B-S期权定价公式为可转债期权价值定价，但是股票收益率序列具有长记忆性和自相似性等特征，因此将波动率的随机性考虑在期权定价中与真实的市场情况更加接近。随机波动率更能刻画新信息对未来的预测能力。John Hull与Alan White首先假设波动率的平方和股票价格分别满足下列随机微分方程：
Hull-White得出了符合上述方程的近似解，但没有得出解析解。此后学者又在Hull-White模型的基础上对期权定价进行了进一步的研究，但他们都没有给出期权随时变化的解析解，而且没有考虑两个方程之间的相关性。
我们在Hull-White模型的基础上，考虑了更多外部冲击因素的影响，引入如下随机波动率模型，假设标的资产价格和波动率分别满足下列随机方程：
定理1：假设标的资产价格和波动率分别满足上述式（3）、式（4）两个随机方程，则标的资产期权B满足的方程为：
证明：
风险中性无套利条件下可以形成投资组合，即：
？驻是原生资产份额，假设∏是在t时刻的投资组合，选择恰当的？驻，使得在（t，t+dt）时间段内，∏无风险。且在该时间段内，？驻不变，那么在时刻t+dt，投资组合的回报是：
这里没有给出模型的解析解，在模型所满足的方程下，我们使用数值方法为期权部分定价。
（三）可转换债券定价模型
综上，可转债定价模型可表示为：
A为纯债券部分价值，B为满足定理1的期权价值。
二、可转换债券定价模型的拟蒙特卡罗模拟
传统的蒙特卡罗模拟方法被广泛应用于期权定价模型中。它的基本原理是大数定理和中心极限定理，通过建立一个统计模型或者随机过程，使参数等于所求问题的解，再通过反复的随机取样，计算参数的估计值和统计量，从而得到所求问题的近似解，抽样次数越多，近似解越接近于真实值。蒙特卡罗模拟采用的随机数存在偏差大、分布不均匀等特点，且蒙特卡罗模拟的收敛速度为O（n-1/2），此速度很慢。拟蒙特卡罗模拟改善了蒙特卡罗模拟的这些缺点，它与拟蒙特卡罗方法相同，但是用具有低偏差特征的低差异序列代替了伪随机数序列。Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常见的低差异序列。 优点：与蒙特卡罗方法相比，拟蒙特卡罗收敛速度更快，收敛效果更好。
缺点：为了让定价能够达到一定的准确度，需要进行大量的模拟，所以拟蒙特卡罗模拟运行时间偏长。
根据前文所述，可转换债券定价模型包含两部分。其中纯债券部分不含有随机项，可视为一个定值。由于没给出期权部分随机波动率模型的解析解，我们借助拟蒙特卡罗数值方法对可转债价格进行数值计算。
具体的步骤如下：首先，根据标的资产的均值和方差，模拟出大量变量期权有效期内的样本路径;其次，计算各路径下期权的到期回报，并根据市场无风险利率求回报的贴现，得到大量回报贴现值;最后，对所模拟出的样本路径上的盈利收益求平均值。
三、数值分析与对比实验
（一）数据来源
按照以上方法，以中国船舶重工股份有限公司2012年发行的重工转债为例，对可转债的价格走势进行模拟，最后与蒙特卡罗方法的结果进行对比，寻找精确度更高的模拟方法见表1。
（二）参数确定
1.M=100，转股价格K=6.05。
2.r1=0.5%，r2=0.5%，r3=1.0%;r4=1.0%，r5=2.0%，r6=2.0%。
4.无风险利率r=3.25%。
5.S0=7.55。
7.根据市场情况取干扰因子？茁=-0.05。
（三）可转债价格路径的拟蒙特卡罗模拟
本文使用拟蒙特卡罗模拟方法中的halton序列，用matlab进行模拟计算[15]。设定模拟次数为1 000次，绘制出重工转债前300天的理论价格趋势，并将重工转债2012年6月18日至2013年2月15日一共150个交易日的实际收盘价放于同一张图中，发现实际价格与理论价格基本吻合。所以本文认为，拟蒙特卡罗对重工转债定价是合理的。
（四）模拟拟蒙特卡罗与蒙特卡罗的方法对比
分别用传统的蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法计算出不同模拟次数的重工转债的上市首日收盘价如表2所示。
从表2中可以看出，使用两种方法得到的定价误差率都在10%以內，所以蒙特卡罗和拟蒙特卡罗都可以为可转债进行定价。但是两种方法估计出的价格的收敛速度不一样，模拟次数为5 000次的时候，拟蒙特卡罗方法定价的误差率已经缩小到了0.04%，而蒙特卡罗定价的误差率为0.9%，所以随着模拟次数的增多，拟蒙特卡罗方法估计出的价格会更加接近市场真实值，拟蒙特卡罗的定价效果优于蒙特卡罗。
总之，假定波动率为常数的可转债定价模型不符合市场规律，我们使用随机波动率的Hull-White模型，用拟蒙特卡罗数值方法模拟价格路径，并与传统的蒙特卡罗模拟结果进行对比。数值实验表明，使用低差异序列的拟蒙特卡罗方法比传统的蒙特卡罗方法的定价结果收敛速度更快、精确度更高。同时，我们使用的定价模型也取得了良好的效果。
参考文献：
[1] Ai T L，Xing H.Statistical models and methods for financial markets[M].Springer New York，2008.
[2] Antoon Pelsser.Efficient methods for valuing interest rate derivatives[M].Beijing World Publishing Corporation，2013.
[3] 张梅琳，周义荣.可转换债券：参数估计与定价实证[J].数理统计与管理，2009，（2）：331-340.
[4] 王明雷.具有随机波动率的可转换公司债券定价模型研究[D].杭州：浙江理工大学，2012.
[5] Shen Y，Siu T K.Pricing bond options under a Markovian regime-switching Hull-White model[J].Economic Modelling，2013，（1）：933-940.
[6] 董微.可转债定价的实证研究[J].统计与决策，2015，（14）：168-170.
[7] 潘坚，肖庆宪.Pricing Stochastic Barrier Options under Hull-White Interest Rate Model[J].Journal of Donghua University（English Edition），2016，（3）：433-438.
[8] O.Samimi，Z.Mardani，S.Sharafpour，F.Mehrdoust.LSM Algorithm for Pricing American Option Under Heston-Hull-White’s Stochastic Volatility Model[J].Computational Economics，2017，（2）：173-187.
[9] 林鸿熙，江良.Hull-White短期利率模型参数估计[J].数学的实践与认识，2018，（24）：146-153.
[10] Hesterberg T.Monte Carlo Strategies in Scientific Computing.（Book Reviews）（Book Review）[M].World Book Inc，2010.
[11] 罗付岩，徐海云.拟蒙特卡罗模拟方法在金融计算中的应用研究[J].数理统计与管理，2008，（4）：605-610.
[12] 张丽虹.美式期权定价的一种蒙特卡洛方法[J].经济研究导刊，2015，（27）：95-99.
[13] 白薇.拟蒙特卡洛方法下Heston模型的离散化[D].北京：清华大学，2015.
[14] 杨首樟，任燕燕.拟蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用研究[J].科学与管理，2017，（1）：43-48.
[15] 曹志广.金融计算与编程：基于MATLAB的应用[M].上海：上海财经大学出版社，2013.
[责任编辑 文 峰]
关键词：Hull-White模型;可转换债券;拟蒙特卡罗模拟;低差异序列
中图分类号：F830.91 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2021）27-0063-04
引言
金融市场中的统计模型一直是学术界研究的重点[1～2]。张梅琳和周义荣（2009）运用股价及利率特性推导出了双因素可转债定价模型[3]。王明雷（2012）在Hull-White模型的基礎上，建立了受外界干扰因子影响的随机波动率模型，对可转债中的期权部分进行了定价研究[4]。Shen Y.和Siu T.K.（2013）对Hull-White模型下的债券期权进行了估值[5]。董微（2015）研究认为，TF98和LSM模型能够较准确地拟合可转债价格[6]。潘坚和肖庆宪（2016）在Hull-White模型下，开发了以随机障碍为主要特征的障碍期权估值模型[7]。O.Samimi等人（2017）对随机波动率和随机利率模型（Heston-Hull-White）进行美式期权定价[8]。林鸿熙和江良（2018）给出了一种有效的正则化方法，对Hull-White模型进行稳定的参数估计[9]。
蒙特卡罗模拟方法在金融计算中被广泛使用[10]，蒙特卡罗方法和拟蒙特卡罗方法的应用已有较多成果。罗付岩和徐海云（2008）对拟蒙特卡罗模拟方法中使用的Halton、Faure、Sobol序列进行了定价分析，结果表明低维数条件下，三种序列比蒙特卡罗模拟的结果好，高维数条件下，Faure、Sobol序列比蒙特卡罗模拟的结果好，Halton序列则比较敏感[11]。张丽虹（2015）对美式期权进行定价，将蒙特卡洛方法得到的数值结果与用有限差分法得到的准确解进行比较，发现蒙特卡洛方法仿真结果不太精确，波动较大，尤其是在模拟次数较小的时候，而增加模拟次数可提高精度[12]。白薇（2015）选择看涨期权，使用Euler离散化方法和Milstein离散化方法对拟蒙特卡罗方法下Hestom模型的离散化数值解做了研究，发现拟蒙特卡罗比传统的蒙特卡罗方法更能够提高模拟的效率[13]。杨首樟和任燕燕（2017）分别使用蒙特卡罗和拟蒙特卡罗模拟对欧式期权进行定价对比，结果表明在低维度情况下拟蒙特卡罗模拟方法定价更加精确，收敛速度也更快;在高维情况下通过修正也可以达到同样的效果[14]。
本文在已有工作的基础上，使用随机波动率的Hull-White模型为可转债的期权部分价值进行定价，运用拟蒙特卡罗方法模拟价格路径，与传统的蒙特卡罗方法进行比较，对可转换债券进行比较准确的定价。
一、模型阐述
（一）纯债券部分价值
我们认为，可转债由纯债券和期权两部分价值组成。纯债券部分价值为债券所有者在债券有效期内获得的现金流的贴现值，可用下式表示：
式中，I为债券每年票面利率，M为债券初始发行价，t为债券持有年限，r为市场无风险利率，n表示从现在起至最后期限的时间（年），h表示从现在起至下一次除息日的小数年数，n+h表示从现在起至最后期限的时间。
（二）Hull-White模型下的期权部分价值
很多研究使用波动率为常数的B-S期权定价公式为可转债期权价值定价，但是股票收益率序列具有长记忆性和自相似性等特征，因此将波动率的随机性考虑在期权定价中与真实的市场情况更加接近。随机波动率更能刻画新信息对未来的预测能力。John Hull与Alan White首先假设波动率的平方和股票价格分别满足下列随机微分方程：
Hull-White得出了符合上述方程的近似解，但没有得出解析解。此后学者又在Hull-White模型的基础上对期权定价进行了进一步的研究，但他们都没有给出期权随时变化的解析解，而且没有考虑两个方程之间的相关性。
我们在Hull-White模型的基础上，考虑了更多外部冲击因素的影响，引入如下随机波动率模型，假设标的资产价格和波动率分别满足下列随机方程：
定理1：假设标的资产价格和波动率分别满足上述式（3）、式（4）两个随机方程，则标的资产期权B满足的方程为：
证明：
风险中性无套利条件下可以形成投资组合，即：
？驻是原生资产份额，假设∏是在t时刻的投资组合，选择恰当的？驻，使得在（t，t+dt）时间段内，∏无风险。且在该时间段内，？驻不变，那么在时刻t+dt，投资组合的回报是：
这里没有给出模型的解析解，在模型所满足的方程下，我们使用数值方法为期权部分定价。
（三）可转换债券定价模型
综上，可转债定价模型可表示为：
A为纯债券部分价值，B为满足定理1的期权价值。
二、可转换债券定价模型的拟蒙特卡罗模拟
传统的蒙特卡罗模拟方法被广泛应用于期权定价模型中。它的基本原理是大数定理和中心极限定理，通过建立一个统计模型或者随机过程，使参数等于所求问题的解，再通过反复的随机取样，计算参数的估计值和统计量，从而得到所求问题的近似解，抽样次数越多，近似解越接近于真实值。蒙特卡罗模拟采用的随机数存在偏差大、分布不均匀等特点，且蒙特卡罗模拟的收敛速度为O（n-1/2），此速度很慢。拟蒙特卡罗模拟改善了蒙特卡罗模拟的这些缺点，它与拟蒙特卡罗方法相同，但是用具有低偏差特征的低差异序列代替了伪随机数序列。Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常见的低差异序列。 优点：与蒙特卡罗方法相比，拟蒙特卡罗收敛速度更快，收敛效果更好。
缺点：为了让定价能够达到一定的准确度，需要进行大量的模拟，所以拟蒙特卡罗模拟运行时间偏长。
根据前文所述，可转换债券定价模型包含两部分。其中纯债券部分不含有随机项，可视为一个定值。由于没给出期权部分随机波动率模型的解析解，我们借助拟蒙特卡罗数值方法对可转债价格进行数值计算。
具体的步骤如下：首先，根据标的资产的均值和方差，模拟出大量变量期权有效期内的样本路径;其次，计算各路径下期权的到期回报，并根据市场无风险利率求回报的贴现，得到大量回报贴现值;最后，对所模拟出的样本路径上的盈利收益求平均值。
三、数值分析与对比实验
（一）数据来源
按照以上方法，以中国船舶重工股份有限公司2012年发行的重工转债为例，对可转债的价格走势进行模拟，最后与蒙特卡罗方法的结果进行对比，寻找精确度更高的模拟方法见表1。
（二）参数确定
1.M=100，转股价格K=6.05。
2.r1=0.5%，r2=0.5%，r3=1.0%;r4=1.0%，r5=2.0%，r6=2.0%。
4.无风险利率r=3.25%。
5.S0=7.55。
7.根据市场情况取干扰因子？茁=-0.05。
（三）可转债价格路径的拟蒙特卡罗模拟
本文使用拟蒙特卡罗模拟方法中的halton序列，用matlab进行模拟计算[15]。设定模拟次数为1 000次，绘制出重工转债前300天的理论价格趋势，并将重工转债2012年6月18日至2013年2月15日一共150个交易日的实际收盘价放于同一张图中，发现实际价格与理论价格基本吻合。所以本文认为，拟蒙特卡罗对重工转债定价是合理的。
（四）模拟拟蒙特卡罗与蒙特卡罗的方法对比
分别用传统的蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法计算出不同模拟次数的重工转债的上市首日收盘价如表2所示。
从表2中可以看出，使用两种方法得到的定价误差率都在10%以內，所以蒙特卡罗和拟蒙特卡罗都可以为可转债进行定价。但是两种方法估计出的价格的收敛速度不一样，模拟次数为5 000次的时候，拟蒙特卡罗方法定价的误差率已经缩小到了0.04%，而蒙特卡罗定价的误差率为0.9%，所以随着模拟次数的增多，拟蒙特卡罗方法估计出的价格会更加接近市场真实值，拟蒙特卡罗的定价效果优于蒙特卡罗。
总之，假定波动率为常数的可转债定价模型不符合市场规律，我们使用随机波动率的Hull-White模型，用拟蒙特卡罗数值方法模拟价格路径，并与传统的蒙特卡罗模拟结果进行对比。数值实验表明，使用低差异序列的拟蒙特卡罗方法比传统的蒙特卡罗方法的定价结果收敛速度更快、精确度更高。同时，我们使用的定价模型也取得了良好的效果。
参考文献：
[1] Ai T L，Xing H.Statistical models and methods for financial markets[M].Springer New York，2008.
[2] Antoon Pelsser.Efficient methods for valuing interest rate derivatives[M].Beijing World Publishing Corporation，2013.
[3] 张梅琳，周义荣.可转换债券：参数估计与定价实证[J].数理统计与管理，2009，（2）：331-340.
[4] 王明雷.具有随机波动率的可转换公司债券定价模型研究[D].杭州：浙江理工大学，2012.
[5] Shen Y，Siu T K.Pricing bond options under a Markovian regime-switching Hull-White model[J].Economic Modelling，2013，（1）：933-940.
[6] 董微.可转债定价的实证研究[J].统计与决策，2015，（14）：168-170.
[7] 潘坚，肖庆宪.Pricing Stochastic Barrier Options under Hull-White Interest Rate Model[J].Journal of Donghua University（English Edition），2016，（3）：433-438.
[8] O.Samimi，Z.Mardani，S.Sharafpour，F.Mehrdoust.LSM Algorithm for Pricing American Option Under Heston-Hull-White’s Stochastic Volatility Model[J].Computational Economics，2017，（2）：173-187.
[9] 林鸿熙，江良.Hull-White短期利率模型参数估计[J].数学的实践与认识，2018，（24）：146-153.
[10] Hesterberg T.Monte Carlo Strategies in Scientific Computing.（Book Reviews）（Book Review）[M].World Book Inc，2010.
[11] 罗付岩，徐海云.拟蒙特卡罗模拟方法在金融计算中的应用研究[J].数理统计与管理，2008，（4）：605-610.
[12] 张丽虹.美式期权定价的一种蒙特卡洛方法[J].经济研究导刊，2015，（27）：95-99.
[13] 白薇.拟蒙特卡洛方法下Heston模型的离散化[D].北京：清华大学，2015.
[14] 杨首樟，任燕燕.拟蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用研究[J].科学与管理，2017，（1）：43-48.
[15] 曹志广.金融计算与编程：基于MATLAB的应用[M].上海：上海财经大学出版社，2013.
[责任编辑 文 峰]