论文部分内容阅读
摘 要 熟练的运算能力是小学生应当具备的技能之一。计算教学在小学数学教学中有着举足轻重的地位，其中笔算除法是计算教学中的“老大难”问题。本文从教材出发，通过对教学后学生错题的收集与整理，并将错题进行归类，简单分析学生的错误原因，然后结合笔者此次的教学反思，提出几点教学建议。
关键词 除法竖式；算理与算法；计算教学
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）07-0190-02
2018年，笔者在第一次教学北师大版三年级下册“除法”这一单元时，按照教材的内容编排顺序进行教学，本以为有了之前“两位数除以一位数”的基础，学生应该可以掌握得很好，但是几节课下来，不容乐观，学生在“三位数除以一位数”上并没有完全理解和掌握除法竖式，对于除法竖式的书写均有不同程度的错误。
一、教材内容分析
“三位数除以一位数”是北师大版教材三年级下册第一单元的教学内容。这一单元的主要内容有：两位数除以一位数的除法；三位数除以一位数的除法（被除数中间没有0、被除数中间有0、被除数中没有0等）；除法的验算；连除、乘除的混合运算；解决两、三位数除以一位数的实际问题；解决有关连除、乘除混合运算的实际问题。本单元的学习，有两个基础：一是二年级下册学习的“两位数除以一位数、商是一位数有剩余的除法”时，通过分物观察来理解除法竖式每个步骤的含义；二是三年级上册学习了两位数除以一位数、商是两位数的口算方法。
本冊学习重点是探索并掌握竖式计算方法，使学生掌握两、三位数除以一位数的除法竖式笔算和验算方法，形成必要的计算技能；在学生掌握算法的同时帮助学生理解除法运算意义、运算特点以及运算顺序，进一步积累探索计算方法和规律的经验。
本单元的内容有着“承先启后”的作用，它既是学生在熟练掌握“两位数除以一位数笔算除法（商是一位数）”基础上的提升，又是后续学习“三位数除以两位数除法”“除数是两位数除法”的基础，所以学生对本单元内容的掌握情况将直接影响着学生的后续学习和发展。
二、计算错误类型及错因简析
在日常作业批改中，笔者有意识地将学生的错题记录。根据不同的错误类型，将错题进行归类，主要有以下八类错误。并且，根据学生的错题，询问学生，再加以分析，试图找出错因。
（一）商中0的占位问题
1.商的十位没有写0
错误主要出现在被除数的十位有0的除法中，特别是百位能够整除除数的除法中。学生在计算过程中，在商的十位留出位置，其实他们清楚的知道十位不够除，但是忽略在十位商0。
2.商的个位没有写0
错误主要出现在被除数的百位和十位能够整除除数，个位数字小于除数的除法中，特别是个位数字不为0的除法中。
学生借助前知识以及相关生活经验，对“10进位值制原理”具备一定的认知基础，也熟悉“满十进一”“借一作十”的特点，但对“位值”的认识还不是特别清晰，加之数的概念本身就是非常抽象的，三年级的学生在理解上会有一定的难度，所以学生对于商的十位或个位没有写数占位，不会很敏感地发现这样的计算错误。
（二）忽略余数问题
1.忽略百位的余数
错误主要出现在被除数百位不能整除除数，且被除数的十位和个位合起来可以整除除数的除法当中，例如：532÷4、718÷3等。学生在计算前，观察被除数和除数，会发现被除数后两位是除数的倍数，会在潜意识里认为该除法计算应该是简单的，所以在用被除数百位除以除数，试商后，忘记“减”的这一步，直接将十位落下继续除了。
2.忽略十位的余数
错误主要出现在被除数百位能够整除除数，十位除以除数不够商1，个位能够整除除数的除法中。学生的思维不够集中于计算，十位不够商1商0后，认为十位的商写好后就直接将目光放置到个位上，从而忽略把被除数十位上的数落下来。
3.忽略个位的余数
批改作业中，有部分学生在第一次计算中明明之前的书写是正确的，但是最后要将余数划去改为“0”。学生应该是受到非智力因素、情感因素的影响，三位数除以一位数一般都是能够整除的情况，算到最后一步往往是以“0”结尾的，所以有少部分学生会受思维定势的影响要让除法竖式以“0”结尾。
（三）商的错位问题
商写错数位的错误主要出现在被除数百位能够整除除数，十位除以除数不够商1，十位和个位合起来能够整除除数的除法中。学生在计算被除数百位除以除数后，用十位除以除数，发现不够除，忽略要先在十位商0，就将十位上的数和个位上的数合起来继续除，发现商的个位空缺，便补0，这种错误学生不容易检查出来，特别像例题中，被除数的末尾有0，学生也想当然的认为商的末尾写0。
（四）计算步骤错误问题
1.被除数中间有0，商中间直接写0
被除数中间有0，且被除数百位能够整除除数时，商中间一定有0。学生可能对该知识掌握理解的不够清晰，所以当百位不能整除，十位是0时，就直接在十位商0，并用百位上的余数直接和个位合起来继续除了，导致计算错误。
2.商末尾写余数
出现这种错误的学生大多数是笔算时比较着急，想赶快完成作业后上交。此时，学生的注意力不够集中，学生虽然按照计算步骤运算，但是算到个位落下后，发现不够除时，把余数写在了商的个位上。
三、教学的几点建议
一直以来，教师多认为学生计算出错都是学生自己马虎、粗心，看到学生计算错了，就责怪他们不认真，但事实上，学生在计算时所犯的错误，并非只有学生自身的原因，还受题目本身被除数、除数的特点所影响。因此，教师在课堂教学前要发现教学的难点，在教学设计时进行充分有效的设计，来减少学生典型计算错误的出现。在有效进行课堂教学设计时，要注意以下几点。 （一）借助直观，理解算理
北师大版教科书借助桃子、橘子、小棒、方块等直观模型，结合具体分一分的过程，加强学生理解计算的道理，使学生更好的掌握竖式的计算步骤以及竖式中每一步的实际意义。
在本单元《分橘子》一课中，学习的是被除数首位不是除数的整数倍的除法计算。教科书创设了“孙悟空、猪八戒、沙和尚三人分橘子”的故事情境，让学生用4捆小棒零8根代替48个橘子，让学生经历分小棒现实过程来思考“48÷3”的计算方法。学生在分小棒的操作中，有可能先分整捆的，再分单根的；也有可能先分单根的，再分整捆的。在交流时，突出“先分整捆”的分法，让学生体会到“虽然两种分法都可以，但是先分整捆的，再分单根的更加简单，我们也更习惯于先分整捆的”。通过分小棒活动，渗透位值思想，并从“先分整捆”思考“高位除起”，从“先分整捆再分剩下的单根”体会“分步求商”。通过实际操作与理解算理相结合，帮助学生更好地掌握两位数除以一位数的基本算法，为三位数除以一位数做好铺垫。
《课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。”那么，教师在教学中就要做到让学生“经历分物，理解算理，形成算法”的过程，借助直观表征除法竖式的过程，使算理与算法紧密结合，让学生对除法竖式的运算得到真正意义上的理解。
（二）多种策略，突破难点
1.加強学生多说算理算法
教科书常出现“说一说竖式每一步的意思”的要求，学生说的过程其实就是在帮助学生理解除法竖式的算理，更有助于学生对计算方法的掌握。例如，888÷6，让学生说算法：被除数百位上的8除以6，在百位商1（一除），1个百乘6得6个百，写在8的下面（二乘），8个百减去6个百还剩下2个百（三减），剩下的2个百和十位上的8合起来是28个十，28个十除以6，在十位商4（一除）……学生通过动嘴多说，加强了对“一除二乘三减”除法竖式计算程序的理解。
2.组织学生在观察中比较
学生很容易在“商中0的占位”问题上较容易出现计算错误，因此，教师要多设置有对比性的除法式题，让学生通过观察比较，积极思考，启发他们发现有价值的计算规律，以此提高计算水平。例如，在练习课或复习课的教学中，可以组织学生计算并观察如下几组除法式题：840÷4，804÷4；570÷3，571÷3；505÷5，605÷5。经过观察，让学生在比较中体会“商中间有0与商末尾有0”“被除数中没有0，商中有0与被除数中有0，商中没有0”的联系与区别。
3.规范学生竖式笔算工整
笔者查看了计算正确率不高的学生的草稿，发现大部分学生书写的数字横七竖八，列的竖式东倒西歪。看来草稿纸混乱、书写潦草也是学生在笔算过程中出错的主要原因，由此可见，规范学生笔算时书写工整、格式规范，也是保证计算的正确率的前提。教师可以经常性教导学生打草稿时要向在练习本上做题一样，数字写整齐，相同数位对齐，格式保持整洁。一段时间查看学生的草稿本，评选出“优秀草稿本”，然后展示给全班学生，让学生在潜移默化中学习同学的优秀草稿本的做法，学会清楚列式书写与整齐排版。
（三）注重练习，强化技能
教学时，需要注意落实教科书上每一道练习题的编排意图，适当增加对比练习、变式练习来帮助学生在练习过程中巩固知识、深化理解。
在本单元《节约》一课中，教学重难点是：探索用竖式计算三位数除以一位数的除法时，因不够商1而在商中间或末尾商0的除法计算方法。除了教科书上的相应练习，还可以设置一题判断题：三位数除以一位数（首位够除），被除数中间没有0，商的中间一定没有0。学生判断错误之后，可以追问什么情况下被除数中间没有0，商的中间有0。学生思考后回答：被除数百位能够整除除数，且被除数十位上的数小于除数时。然后，再根据学生的回答，出示此题：6 3÷6，要使商中间有0，
里可以填（ ）。通过这样的练习，让学生从理解算理的基础上能够灵活运用算理。
当然，教学中可以设计对比练习，例如：936÷3和936÷2，通过对比两个除法竖式，让学生复习巩固“当高位除后有余，余下来的数要和个位上的数合并继续除”这一计算方法。还可以设计几组学生容易犯的计算错误类型，让学生发现错误、并改正错误，最后让学生说一说以后除法竖式中的注意要点，以此避免学生再出现同类型的错误。
另外，在新授及练习环节结束时，还可以着眼于计算方法的进一步拓展，引导学生思考：三位数除以一位数（首位不够除）该怎么计算？四位数除以一位数该怎么计算？三位数除以两位数该怎么计算？等问题，这些问题并不要求学生要回答出正确答案，只是为了引发他们的探索欲望和更深层次的思考。
自我反思此次计算教学，或许是因为强化技能目标带来的压力，笔者更关注的是学生对计算方法的掌握，而忽视了学生对算理的理解，而且一堂课的时间有限，上课也不大舍得花时间给学生动手操作分物，没有让学生得到更加直观的算理的理解。从学生课后作业反映出，如果学生对算理不够理解就容易出现计算错误的现象，所以在下次的教学中，我将努力构建一个算理和算法平衡交融的计算课堂，使学生的算法有算理的支撑，让学生在算理的理解上形成算法，在算法中理解算理，不断提高除法竖式的计算能力。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李燕.小学生除法算式计算错误的主要类型及错因分析[D].首都师范大学，2007.
关键词 除法竖式；算理与算法；计算教学
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）07-0190-02
2018年，笔者在第一次教学北师大版三年级下册“除法”这一单元时，按照教材的内容编排顺序进行教学，本以为有了之前“两位数除以一位数”的基础，学生应该可以掌握得很好，但是几节课下来，不容乐观，学生在“三位数除以一位数”上并没有完全理解和掌握除法竖式，对于除法竖式的书写均有不同程度的错误。
一、教材内容分析
“三位数除以一位数”是北师大版教材三年级下册第一单元的教学内容。这一单元的主要内容有：两位数除以一位数的除法；三位数除以一位数的除法（被除数中间没有0、被除数中间有0、被除数中没有0等）；除法的验算；连除、乘除的混合运算；解决两、三位数除以一位数的实际问题；解决有关连除、乘除混合运算的实际问题。本单元的学习，有两个基础：一是二年级下册学习的“两位数除以一位数、商是一位数有剩余的除法”时，通过分物观察来理解除法竖式每个步骤的含义；二是三年级上册学习了两位数除以一位数、商是两位数的口算方法。
本冊学习重点是探索并掌握竖式计算方法，使学生掌握两、三位数除以一位数的除法竖式笔算和验算方法，形成必要的计算技能；在学生掌握算法的同时帮助学生理解除法运算意义、运算特点以及运算顺序，进一步积累探索计算方法和规律的经验。
本单元的内容有着“承先启后”的作用，它既是学生在熟练掌握“两位数除以一位数笔算除法（商是一位数）”基础上的提升，又是后续学习“三位数除以两位数除法”“除数是两位数除法”的基础，所以学生对本单元内容的掌握情况将直接影响着学生的后续学习和发展。
二、计算错误类型及错因简析
在日常作业批改中，笔者有意识地将学生的错题记录。根据不同的错误类型，将错题进行归类，主要有以下八类错误。并且，根据学生的错题，询问学生，再加以分析，试图找出错因。
（一）商中0的占位问题
1.商的十位没有写0
错误主要出现在被除数的十位有0的除法中，特别是百位能够整除除数的除法中。学生在计算过程中，在商的十位留出位置，其实他们清楚的知道十位不够除，但是忽略在十位商0。
2.商的个位没有写0
错误主要出现在被除数的百位和十位能够整除除数，个位数字小于除数的除法中，特别是个位数字不为0的除法中。
学生借助前知识以及相关生活经验，对“10进位值制原理”具备一定的认知基础，也熟悉“满十进一”“借一作十”的特点，但对“位值”的认识还不是特别清晰，加之数的概念本身就是非常抽象的，三年级的学生在理解上会有一定的难度，所以学生对于商的十位或个位没有写数占位，不会很敏感地发现这样的计算错误。
（二）忽略余数问题
1.忽略百位的余数
错误主要出现在被除数百位不能整除除数，且被除数的十位和个位合起来可以整除除数的除法当中，例如：532÷4、718÷3等。学生在计算前，观察被除数和除数，会发现被除数后两位是除数的倍数，会在潜意识里认为该除法计算应该是简单的，所以在用被除数百位除以除数，试商后，忘记“减”的这一步，直接将十位落下继续除了。
2.忽略十位的余数
错误主要出现在被除数百位能够整除除数，十位除以除数不够商1，个位能够整除除数的除法中。学生的思维不够集中于计算，十位不够商1商0后，认为十位的商写好后就直接将目光放置到个位上，从而忽略把被除数十位上的数落下来。
3.忽略个位的余数
批改作业中，有部分学生在第一次计算中明明之前的书写是正确的，但是最后要将余数划去改为“0”。学生应该是受到非智力因素、情感因素的影响，三位数除以一位数一般都是能够整除的情况，算到最后一步往往是以“0”结尾的，所以有少部分学生会受思维定势的影响要让除法竖式以“0”结尾。
（三）商的错位问题
商写错数位的错误主要出现在被除数百位能够整除除数，十位除以除数不够商1，十位和个位合起来能够整除除数的除法中。学生在计算被除数百位除以除数后，用十位除以除数，发现不够除，忽略要先在十位商0，就将十位上的数和个位上的数合起来继续除，发现商的个位空缺，便补0，这种错误学生不容易检查出来，特别像例题中，被除数的末尾有0，学生也想当然的认为商的末尾写0。
（四）计算步骤错误问题
1.被除数中间有0，商中间直接写0
被除数中间有0，且被除数百位能够整除除数时，商中间一定有0。学生可能对该知识掌握理解的不够清晰，所以当百位不能整除，十位是0时，就直接在十位商0，并用百位上的余数直接和个位合起来继续除了，导致计算错误。
2.商末尾写余数
出现这种错误的学生大多数是笔算时比较着急，想赶快完成作业后上交。此时，学生的注意力不够集中，学生虽然按照计算步骤运算，但是算到个位落下后，发现不够除时，把余数写在了商的个位上。
三、教学的几点建议
一直以来，教师多认为学生计算出错都是学生自己马虎、粗心，看到学生计算错了，就责怪他们不认真，但事实上，学生在计算时所犯的错误，并非只有学生自身的原因，还受题目本身被除数、除数的特点所影响。因此，教师在课堂教学前要发现教学的难点，在教学设计时进行充分有效的设计，来减少学生典型计算错误的出现。在有效进行课堂教学设计时，要注意以下几点。 （一）借助直观，理解算理
北师大版教科书借助桃子、橘子、小棒、方块等直观模型，结合具体分一分的过程，加强学生理解计算的道理，使学生更好的掌握竖式的计算步骤以及竖式中每一步的实际意义。
在本单元《分橘子》一课中，学习的是被除数首位不是除数的整数倍的除法计算。教科书创设了“孙悟空、猪八戒、沙和尚三人分橘子”的故事情境，让学生用4捆小棒零8根代替48个橘子，让学生经历分小棒现实过程来思考“48÷3”的计算方法。学生在分小棒的操作中，有可能先分整捆的，再分单根的；也有可能先分单根的，再分整捆的。在交流时，突出“先分整捆”的分法，让学生体会到“虽然两种分法都可以，但是先分整捆的，再分单根的更加简单，我们也更习惯于先分整捆的”。通过分小棒活动，渗透位值思想，并从“先分整捆”思考“高位除起”，从“先分整捆再分剩下的单根”体会“分步求商”。通过实际操作与理解算理相结合，帮助学生更好地掌握两位数除以一位数的基本算法，为三位数除以一位数做好铺垫。
《课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。”那么，教师在教学中就要做到让学生“经历分物，理解算理，形成算法”的过程，借助直观表征除法竖式的过程，使算理与算法紧密结合，让学生对除法竖式的运算得到真正意义上的理解。
（二）多种策略，突破难点
1.加強学生多说算理算法
教科书常出现“说一说竖式每一步的意思”的要求，学生说的过程其实就是在帮助学生理解除法竖式的算理，更有助于学生对计算方法的掌握。例如，888÷6，让学生说算法：被除数百位上的8除以6，在百位商1（一除），1个百乘6得6个百，写在8的下面（二乘），8个百减去6个百还剩下2个百（三减），剩下的2个百和十位上的8合起来是28个十，28个十除以6，在十位商4（一除）……学生通过动嘴多说，加强了对“一除二乘三减”除法竖式计算程序的理解。
2.组织学生在观察中比较
学生很容易在“商中0的占位”问题上较容易出现计算错误，因此，教师要多设置有对比性的除法式题，让学生通过观察比较，积极思考，启发他们发现有价值的计算规律，以此提高计算水平。例如，在练习课或复习课的教学中，可以组织学生计算并观察如下几组除法式题：840÷4，804÷4；570÷3，571÷3；505÷5，605÷5。经过观察，让学生在比较中体会“商中间有0与商末尾有0”“被除数中没有0，商中有0与被除数中有0，商中没有0”的联系与区别。
3.规范学生竖式笔算工整
笔者查看了计算正确率不高的学生的草稿，发现大部分学生书写的数字横七竖八，列的竖式东倒西歪。看来草稿纸混乱、书写潦草也是学生在笔算过程中出错的主要原因，由此可见，规范学生笔算时书写工整、格式规范，也是保证计算的正确率的前提。教师可以经常性教导学生打草稿时要向在练习本上做题一样，数字写整齐，相同数位对齐，格式保持整洁。一段时间查看学生的草稿本，评选出“优秀草稿本”，然后展示给全班学生，让学生在潜移默化中学习同学的优秀草稿本的做法，学会清楚列式书写与整齐排版。
（三）注重练习，强化技能
教学时，需要注意落实教科书上每一道练习题的编排意图，适当增加对比练习、变式练习来帮助学生在练习过程中巩固知识、深化理解。
在本单元《节约》一课中，教学重难点是：探索用竖式计算三位数除以一位数的除法时，因不够商1而在商中间或末尾商0的除法计算方法。除了教科书上的相应练习，还可以设置一题判断题：三位数除以一位数（首位够除），被除数中间没有0，商的中间一定没有0。学生判断错误之后，可以追问什么情况下被除数中间没有0，商的中间有0。学生思考后回答：被除数百位能够整除除数，且被除数十位上的数小于除数时。然后，再根据学生的回答，出示此题：6 3÷6，要使商中间有0，
里可以填（ ）。通过这样的练习，让学生从理解算理的基础上能够灵活运用算理。
当然，教学中可以设计对比练习，例如：936÷3和936÷2，通过对比两个除法竖式，让学生复习巩固“当高位除后有余，余下来的数要和个位上的数合并继续除”这一计算方法。还可以设计几组学生容易犯的计算错误类型，让学生发现错误、并改正错误，最后让学生说一说以后除法竖式中的注意要点，以此避免学生再出现同类型的错误。
另外，在新授及练习环节结束时，还可以着眼于计算方法的进一步拓展，引导学生思考：三位数除以一位数（首位不够除）该怎么计算？四位数除以一位数该怎么计算？三位数除以两位数该怎么计算？等问题，这些问题并不要求学生要回答出正确答案，只是为了引发他们的探索欲望和更深层次的思考。
自我反思此次计算教学，或许是因为强化技能目标带来的压力，笔者更关注的是学生对计算方法的掌握，而忽视了学生对算理的理解，而且一堂课的时间有限，上课也不大舍得花时间给学生动手操作分物，没有让学生得到更加直观的算理的理解。从学生课后作业反映出，如果学生对算理不够理解就容易出现计算错误的现象，所以在下次的教学中，我将努力构建一个算理和算法平衡交融的计算课堂，使学生的算法有算理的支撑，让学生在算理的理解上形成算法，在算法中理解算理，不断提高除法竖式的计算能力。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李燕.小学生除法算式计算错误的主要类型及错因分析[D].首都师范大学，2007.