高等数学教学中培养创新能力的有效方法及实现途径

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  高等数学不仅是学习其他专业课程的基础与工具,而且对学生数学方法的掌握、思维能力的培养、严谨治学态度的养成、科学世界观的确立都具有非常重要的意义。但由于其概念的抽象性以及定理、习题证明方法的复杂性,常常使学生感到无从入手,并由此产生畏惧心理和厌学情绪。因此高等数学教学质量的提高及教学方法的探讨和研究一直为教师所关注。提高全民族的素质,培养高素质的创新人才正成为当前我国发展的关键战略,正如江泽民同志所指出的:“创新是一个民族进步的灵魂,是国家兴旺发达的不竭动力。一个没有创新能力的民族难以屹立于世界先进民族之林。”作为高校的数学教育工作者,培养创新型数学人才,更新教学理念,紧密结合本学科的特点,努力探索培养学员创新能力的途径,是时代赋予我们数学工作者的使命。下面是本人对高等数学教学与创新的能力的培养几点体会。
  
  一、高等数学教学中培养创新能力的有效方法
  
  1.化繁为易、化抽象为具体的方法。
  在高等数学教学中介绍数学的基本概念、基本方法、基本思想,突出计算能力、应用能力的培养,通常采用化繁为易、化抽象为具体的方法。数学概念的引入,一般不宜直接抛出,而应把概念的发生、形成、探索过程呈现出来,例如模拟一个概念产生发展的过程——在初始的探索阶段中。大多数概念由于它的抽象性,常使学生感到不可捉摸,这时应当为学生提供一个概念的模型,可以是一个特例、一个类比、一种比喻,或一个实物,当然,概念的各种性质应在模型中得到较好的体现,在介绍基本定理的时候,不拘泥于“定理—证明”的单一模式,有些仅给出结论,即降低理论性,突出对结论的应用,即数学的“工具性”。对于抽象性比较强的内容,注重精选典型的例子引入,并通过例子逐步展开理论,引导学生思考得出有关结论。如地球表面是一个球面,可为什么我们平常看到的却是平面呢?实际这就是曲面上微小的局部可以看作是平面,曲线在很小范围内也可以看作是直线。这样,就拉近了数学和生活的距离,给学生提供了一个具体的可供想象的空间。在导数概念、定积分概念的教学中,在局部“以直代曲”、以“不变代变”的重要的数学思想方法,学生就会容易地理解。
  2.理论教学中辅以应用知识和多媒体技术的方法。
  面向专业需求是高等数学课程建设以就业为导向的具体表现,不同的专业学习不同的数学知识,强调教学内容的实用性和针对性,主动配合专业技术教学,在内容上和教学衔接上满足专业技术教学的需要,渗透专业气氛。教师平时应注意收集与学生所学专业相关的材料,教学过程中应尽可能选取与专业相关的实例引入数学知识,指出数学与现实世界存在广泛的联系,引导学生从实际中发现问题,并归结为数学模型,尝试用数学知识和方法去解决问题。如《经济数学》课程,在学习微积分有关内容时,可以适当选取利率问题、投资问题、经济优化问题等;经济管理类专业可以介绍边际的概念;机电类专业可以介绍速率、线密度等问题;农科类专业可以介绍细胞繁殖速度、边际产量和最大利润率施肥量问题,等等。又如实际问题如何建立微分方程模型是比较难的,在介绍微分方程时可以举抵押贷款买车买房问题、人口增长等多个例子,进一步介绍Logistic模型,说明该模型的广泛应用性。这样既能让学生了解到数学的巨大作用,又能提高学生的学习兴趣。运用多媒体技术能够描绘静态或动态的图形和图象,使枯燥、抽象的数学知识变得生动而又具体,可以将难以用语言描述、难以为学生所接受和理解的知识变得形象、直观、简洁,为学生呈现其它教学手段所不能提供的经验背景。比如曲面与曲线涉及较多的空间图形,利用多媒体辅助教学,可以形成视觉上的冲击,有助于学生感性认识上升到理性认识,从形象思维过渡到抽象思维,从而有效地突破教学难点、掌握重点。
  3.分层次的教学方法。
  大学生在数学知识掌握程度、数学想象和思维能力、对数学学习的情感与态度等方面有显著差异,这些差异也是学生学习高等数学的认知基础和情意水平方面的差异,将直接影响学生对高等数学的学习。若对所有的学生都做同样的要求,就会出现一部分学生感到所学内容难以接受,而另一部分学生又感到内容偏少、知识面窄的情况。因此在内容的选择上应体现一定的弹性,注意满足不同层次学生的不同的需求,积极为学生的个性化学习搭建平台、拓展空间。教学中可实行同步授课、目标分层、练习分层、作业分层、考核分层,使不同层次的学生各适其所、各获其益,实现有差异的发展,以提高全体学生的学习积极性。例如“导数的概念”的教学,在要求全班学生理解导数概念的基础上,建立三级教学目标。一级教学目标:了解用定义求导数的方法,掌握由定义推出的基本初等函数求导公式;二级教学目标:了解导数的实质及有关变化率的模型,掌握用定义求导数的三个步骤;三级教学目标:掌握导数的实质,能利用导数讨论有关变化率的模型,讨论分段函数在分段点处的导数。
  4.重发展性的教学方法。
  现在的高等数学考试内容单一,试题侧重记忆,以计算方法和技巧为主,考试形式几乎是清一色的笔试,不能反映出学生的真正的数学水平,不利于创新型人才的培养。因此,我们必须改变只重考试成绩、忽视过程评价的做法,采取鼓励、肯定、积极的发展性评价,建立多元动态的教学评价体系。一是改革考试目的,既考核学生的数学知识掌握程度,又侧重于考查学生运用数学知识和解决实际问题的能力,特别是鼓励和培养学生的创新精神。如可通过数学建模的方式将书本知识与真实任务相结合,以此来考查学生的学习结果。二是改变考试方法,做到形式多样,能力考试与综合考试相结合,闭卷考试与开卷考试相结合,有机地将终结性评价与形成性评价结合起来,给予学生多次评价的机会。三是用全面发展的标准来评价学生,将考试和其它评价方法相结合,全面描述学生发展状况,注重学生综合素质的考查,以实现“知识与技能”、“过程与方法”以及“情感态度与价值观”的全面发展。
  5.网站式的教学方法。
  教学网站是一种全新的计算机辅助教学手段,从某种意义上来讲,教学网站是一个教学平台,在这个平台上,教师可以展示高等数学与各专业的联系以及各种教学素材(教案、习题等),还可以增加师生交流区,供学生和教师交流心得。任何一种教学风格、教学技能、教学特点均可以在这个平台上得以充分展示,这种图文并茂、声像俱呈的教学手段有利于教师更好地实施自己的教学构想和达到自己的教学目的。另外,教学网站还具有开放性和拓展性,通过超级链接向外延伸,为师生的教与学提供了丰富的教学资源。
  
  二、实现高等数学教学中培养学生的创新能力的方法及途径
  
  本节就上述方法的实现研究相关的有效途径。科学的方法能促进学生创新能力培养,落后的教学方法只能阻碍甚至扼杀学生的创新精神与创新能力。高等数学教学方法的选取与具体教学内容密切相关,从教学方法角度考虑,高等数学的教学内容可分为三大类:概念性内容、理论性内容和应用性内容。不同类型的教学内容对学生创新能力的培养有着不同的侧重点,教师应针对这些不同的侧重点,采取相应的教学方法,以增强学生创新能力培养的有效性。
  1.概念性内容应充分再现数学发现的思维过程
  发现思维过程的指导思想是在教师的启发下,使学生自觉、主动地研究客观事物的属性,发现事物发展的起因和内部联系,从中找出规律,形成自己的概念。《高等数学》中的许多重要概念,如极限、连续、导数、微分、定积分、重积分等都是从一些不同科学领域中的实际问题经过高度抽象而得到的,它们都是前人开创性工作的结晶,其形成过程本身就是一个个充分体现创新思维的全过程。如果教师能够合理运用这些教学内容,不是按部就班地讲授,而是从提高学生的创新能力出发,有意识地引导学员积极思考,从实际问题中透过现象看本质,使他们的思维真正融合于这些重要概念所蕴涵的数学思想,从而亲自体验概念产生的创新思维的全过程,就能顺理成章地重新“启发”这些重要概念。在进行概念性内容的教学时,创新能力培养的重、难点都在于课堂上如何处理好教材上已知的定义(学员思想上尚未形成)与实例之间的关系,教师不但要引导学生通过实例得到基本数学表达式,更应关注在实例抽象过程中学生思维上相关概念形成的过程,全力引导、启发学生体会其中的数学思想,只有这样,才能使学生“发现”这些隐藏在实例中的事物的本质,“提出”相应的概念,达到提高创新能力的目的。如在定积分概念的教学中,教员应把重点放在如何引导学员深入分析曲边梯形的面积和变速直线运动的路程这两个问题上,从处理曲与直、变速与匀速之间的相互转换过程中感悟定积分的思想方法,再通过他们自己的抽象、归纳,自然而然地“创造”出定积分的定义。再比如,在讲解牛顿—莱布尼兹公式时,教师应通过变速直线运动位移的不同计算方法,着重讲清、讲透牛顿—莱布尼兹是如何发现定积分与被积函数原函数之间的内在联系,然后又是如何通过引入一类新的函数——变上限函数而证明了牛顿—莱布尼兹公式,最终给学生展示牛顿—莱布尼兹公式发现的全过程,让学生体会或领略到前人创新思维的真谛,以增强他们自己创新的信心。
  2.理论性内容应充分体现探索式教学之中
  探索式教学法是由教员根据教学内容,适当设置或改变一些条件,提出相应的问题,引导学生通过探索、研究,揭示问题的内部规律的一种教学法。它的主要优点是可以充分发挥学生的观察力、思维力、想象力和创造力,利用学员在探索过程中产生的新奇、困惑,激起他们的大胆猜测,促进他们创造性思维能力的提高。《高等数学》的理论性内容主要包括定理、性质等,作为教材上的这些内容,经过人们长期的提炼,往往抹去了它们最初形成的痕迹,使得逻辑关系十分严密,对学习者的推理能力要求较高,若教授不得法,不注意引导学员研究这些内容形成的前因后果,照本宣科,就会使学员感到枯燥无味。对这部分内容的引入,切忌突然搬出,这样会使学员感到神秘莫测,匪夷所思,望而生畏,应该根据已知知识与新内容之间的内在逻辑关系顺其自然地引入定理,在分析定理条件与结论之间的联系时,通过变更条件、提出相关问题,使学员置身于定理出现前的情景,再经过引导学员运用比较、分析、演绎、综合、归纳等方法,弄清定理条件与结论的必然联系,达到感知定理产生过程,强化创造性思维能力训练的目的。如在微分中值定理的教学中,首先设置函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,并且f(a)=f(b)的几何直观背景,要求学生观察曲线y=f(x)上水平切线的存在性,然后改变上述条件中的任一个,再观察曲线y=f(x)上水平切线的存在性,分析种种可能出现的情况,由此推测出Rolle定理。在引进Lagrange定理时,教员去掉Rolle定理中的条件f(a)=f(b),要求学生观察曲线上y=f(x)切线与连接两点(a,f(a))、(b,f(b))的弦的位置关系,通过比较、类比,学生就可以猜测到Lagrange定理的结论。通过上述过程,不但提高了学生的创新意识,还能够让学生感受到探索未知,获取真知的乐趣。
  3.应用性内容应着眼于学生的发散思维和聚合思维的培养
  聚合思维在内容上具有求同性和专注性,发散思维在内容上具变通性和开放性。每个人的思维都有聚合性,又有发散性。因而,学生的发散思维能力和聚合思维能力培养这两者应相辅相成,不可偏废。在数学教育中,往往更强调对学生聚合思维的训练,而对发散思维训练较少注意。事实上,由于高数教材的表述侧重于聚合思维,教师要善于挖掘和选取数学问题中具有发散思维的素材,恰当地确定发散对象或选取发散点,以此培养学生发散思维。《高等数学》的应用性内容,在这里包括计算性内容和应用题内容,计算题和应用题往往灵活多变,解法多样,对每个学员而言,由于受到观察问题的视角以及自身相关知识的局限,往往会受到某种思维定势的影响,只能找到某一种解决方法,有时甚至找不到思路。如果教师能组织学生进行讨论,互相交流,互相启迪,就可以汇集大家的智慧,从多角度、多途径寻找解决问题的方法。在讨论过程中,要鼓励学员敢于标新立异,善于一题多解、一题多变,从而达到活跃思维、发散思维、提高创新能力的目的。
  
  三、结束语
  
  人才培养模式的创新依靠课程改革,课程改革的基本途径是课堂教学。如何用有效的教学方法培养大学生创新能力是本文主要探讨的内容。本文给出了行之有效的培养创新能力的教学方法及实现该方法的途径。教师只有以先进的现代教育教学理念为指导,不断总结提高自己的日常教学,才能真正创新人才培养模式。采用恰当的教学方法,以培养学生的创新能力,是一项艰难而又十分有意义的创新性工作,需要我们不断探索、不断创新,以适应未来创新型人才培养的需要。
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