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[摘 要] 对于抽象函数及其函数方程问题的解答,其关键在于捕捉题目的信息特征,发现解决问题的突破口,寻求合理、简洁的解题方法,达到化繁为简、化难为易的目的.
[关键词] 抽象函数;结构特征;解题方法
抽象函数及其函数方程问题越来越多地受到命题者的青睐,不仅要求对函数的本质有着深刻的理解,而且解题方法灵活多变,求解技巧性强,同时涉及的范围较广,对学生掌握所学知识之间的内在联系要求较高. 对学生的数学素养提出了较高要求,因此是数学竞赛的热点和难点.本文归纳了一些求解抽象函数的方法和技巧,以达到抛砖引玉的目的.
[?] 巧取特殊值,求解函数解析式
对于多个变量的抽象函数方程,可将其中的某个变量视为主元,进行恰当的赋值,形成“关系链”,从而简化运算,达到特殊引路,探求一般规律的目的和效果.
例1:求所有函数f:R→R,使得对所有的x,y∈R,有
评注:巧取特殊值,简化运算,形成“关系链”,起到了“特殊探路把门敲,化繁为简层次高”的效果,从而优化解题技巧.
[?] 巧构结构式,求解函数解析式
对于一些多变量的抽象函数方程,当变量的取值范围对等时,往往可以通过变换变量的位置,将隐含的结构关系式外显化,然后通过外显的结构特征和性质,使问题得以转化,达到解决问题的目的.
例2:设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意的x,y∈R,都有
f(xy 1)=f(x)f(y)-f(y)-x 2,则f(x)=________.
(2004年全国高中数学联合竞赛试题)
分析与解答:题此题中的函数方程含两个变量x,y,而两者关系对等,将两者交换位置,则可得到另一个方程,在聯立两个方程得到一个新的关系式;再结合条件即可求得解析式.
即令x=y,y=x,有f(yx 1)=f(y)f(x)- f(x)-y 2(x,y∈R),
结合条件中的f(xy 1)=f(x)f(y)-f(y)-x 2(x,y∈R),
解得f(x)-x=f(y)-y(x,y∈R).
由于对任意的x,y都成立,
则f(x)-x=C(常数).
又由于f(0)=1,
于是将x=0带入上式,
解得C=1,从而f(x)=x 1.
评注:在解一些抽象函数方程、方程组时,通过变换、转化,将内在的信息特征外显化,发现可用于构造的因素,引入新的形式,借助新形式的性质,使复杂的运算和推证变得容易处理,使问题变得清晰可解.
[?] 巧用换元法,求解函数解析式
对于一些结构复杂的函数方程,利用变量代换的方法,将抽象的函数方程式转化为新变量形式,以整体形式代入,转化为各字母的方程组形式,从而解出具体的函数解析式.
[关键词] 抽象函数;结构特征;解题方法
抽象函数及其函数方程问题越来越多地受到命题者的青睐,不仅要求对函数的本质有着深刻的理解,而且解题方法灵活多变,求解技巧性强,同时涉及的范围较广,对学生掌握所学知识之间的内在联系要求较高. 对学生的数学素养提出了较高要求,因此是数学竞赛的热点和难点.本文归纳了一些求解抽象函数的方法和技巧,以达到抛砖引玉的目的.
[?] 巧取特殊值,求解函数解析式
对于多个变量的抽象函数方程,可将其中的某个变量视为主元,进行恰当的赋值,形成“关系链”,从而简化运算,达到特殊引路,探求一般规律的目的和效果.
例1:求所有函数f:R→R,使得对所有的x,y∈R,有
评注:巧取特殊值,简化运算,形成“关系链”,起到了“特殊探路把门敲,化繁为简层次高”的效果,从而优化解题技巧.
[?] 巧构结构式,求解函数解析式
对于一些多变量的抽象函数方程,当变量的取值范围对等时,往往可以通过变换变量的位置,将隐含的结构关系式外显化,然后通过外显的结构特征和性质,使问题得以转化,达到解决问题的目的.
例2:设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意的x,y∈R,都有
f(xy 1)=f(x)f(y)-f(y)-x 2,则f(x)=________.
(2004年全国高中数学联合竞赛试题)
分析与解答:题此题中的函数方程含两个变量x,y,而两者关系对等,将两者交换位置,则可得到另一个方程,在聯立两个方程得到一个新的关系式;再结合条件即可求得解析式.
即令x=y,y=x,有f(yx 1)=f(y)f(x)- f(x)-y 2(x,y∈R),
结合条件中的f(xy 1)=f(x)f(y)-f(y)-x 2(x,y∈R),
解得f(x)-x=f(y)-y(x,y∈R).
由于对任意的x,y都成立,
则f(x)-x=C(常数).
又由于f(0)=1,
于是将x=0带入上式,
解得C=1,从而f(x)=x 1.
评注:在解一些抽象函数方程、方程组时,通过变换、转化,将内在的信息特征外显化,发现可用于构造的因素,引入新的形式,借助新形式的性质,使复杂的运算和推证变得容易处理,使问题变得清晰可解.
[?] 巧用换元法,求解函数解析式
对于一些结构复杂的函数方程,利用变量代换的方法,将抽象的函数方程式转化为新变量形式,以整体形式代入,转化为各字母的方程组形式,从而解出具体的函数解析式.