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为深入思考与践行“为学生的终身发展奠基”的教育理念，我们申请了安徽省教育科学规划课题“高中数学高效课堂特征与有效教学模式的研究”并获立项（编号JG12056），经过课题组教师一年来的努力，取得了一些阶段性成果，现将我们的思考与实践进行梳理，力求从六方面探讨如何构建高中数学高效课堂。
一、高效课堂以学生终身发展为本
针对高中数学，教师在新课教学和高考复习中大搞题海战术，追求“熟能生巧”，投入大量精力强化训练，以换取考试中的高分。这些做法对学生应付考试来说也许“有效”，但对学生的成长和终身发展来说负面影响较大。例如：有些学生因为题海战术和强化训练而失去学习数学的兴趣，期盼早日摆脱数学学习；还有一些学生因为数学给他们留下的痛苦记忆而丧失创造的才能与激情。
在高中数学课堂教学中，不少教师重结果、轻过程，在概念、公式和定理的记忆与运用方面下苦功夫，而对从感性到理性、从直观到抽象以及从具体到概括的过程中，学生抽象概括能力、理性思维能力的培养重视不够，缺乏培养学生主动获取知识的态度、习惯以及学会学习的意识，没有有效落实培养学生的学习兴趣、科学精神等“情感、态度与价值观”目标，导致学生被动学习，学习品质日趋下降。
我们提出的高中数学高效课堂策略是针对教师的教法与学生的学法，思考如何科学地帮助学生在更好地掌握各种知识与技能的基础上，学会按照数学的方式思维，以实现思维方法向数学素养的过渡，最终在学生主动学习、充满探究激情的课堂教学中，引领学生欣赏数学的魅力，在持久的学习动力驱动下体验数学的精神力量，激发创新热情，获得终身学习的能力。
二、精讲应帮助学生自主构建知识体系
传统数学课堂推崇教师精讲，要求教师紧扣目的要求，把握学生实际水平，突出重点和难点，少而精，避免注入式、满堂灌、凌空说教和烦琐讲解。我们提出的高中数学高效课堂不仅满足上述要求，更仔细研究学生已有的知识结构、认知规律和学习状态，调动、激发学生对知识与方法渴求的心理状态，在学生所学的新知识与原有知识发生矛盾冲突时、在学生苦苦求索无果时启发讲解，使学生茅塞顿开，重新定位自己对数学的认识，既拓展数学认知结构，又感悟数学思维。这要求教师在备课中准确理解教材，恰当把握教学中的“度”，既让学生了解一些数学史知识，拓宽视野，又合理剖析数学思维的发现、发展规律，创造性地使用教材。在教学策略上，教师可通过“造势”，让学生主动出击，以充分表达各自的所思所想；教师要适时地点拨与引导，以达到“四两拨千斤”的效果。
精讲不仅是传授知识和方法，更是帮助学生自主建构知识体系，关注学生能力的培养、个性的发展与潜能的开发，让课堂成为学生自我成长、自觉学习和自主建构的课堂。例如，在函数奇偶性的教学中，教师可引导学生欣赏函数图象的对称之美，在“愤悱”状态中分析对称点坐标的特征，通过适时的点拨，使学生提炼其中的规律与关系，最终指导学生进行准确精炼的数学表达。为此，教师应在学生操作与思考之后，恰到好处地启发和诱导，使学生对f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）的认识与理解逐渐清晰、明确（它是图象对称性的本质表达）。
三、多练要培养学生的创新思维能力
练习确实具有一定效果，但过度练习会剥夺学生独立思考、自由发挥的机会。因此，不仅要重视知识与方法巩固阶段的练习，更应重视知识、方法与技能获得以及数学思想形成过程中的练习，使学生自己动手、主动思考、发现问题和解决问题。例如，在二项定理的教学中，教师设计如下练习。
其一，运用多项式乘法运算法则，将（a1 b1）（a2 b2）和（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）展开；
其二，若令a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，请据此将（a b）2、（a b）3和（a b）4展开。
在切实、认真完成练习的过程中，学生发现二项展开式是关于a、b的齐次式，与一般多项式展开不同的是，在运算过程中有合并同类项的过程。悉心感受和仔细思考有关二项展开式的问题，可激发学生从欣赏形式美到思考其中蕴含的数学规律，使学生探究数学内在的和谐美。在欣赏二次展开式工整的形式之美和充分交流的基础上，可要求学生对已有运算重新审视，并将其系统化、逻辑化。这样，学生便在探究中由感性体验过渡到理性思考，进而归纳总结项数、次数等内在的运算规律和特征，并运用组合视角重新认识多项式乘法法则，最终学会发现问题、解决问题，具有探究的意识，具备创新的能力。
四、容量应指向学生的数学思维活动
不少教师为了追求大容量，增加教学内容，课堂上提高语速，加快节奏，设计详细精美的课件，快速演示或呈现教学内容。在这样的课堂上，学生要接受过多的知识，没有充足的时间领悟教学内容，缺乏自主思考、合作交流及探索研究。因此，教师应集中精力引导学生有效地通过不同角度和形式探究与思考所学知识，尤其要重视学习中遇到的困惑与热点问题，即把教师的“教”转化为学生的“学”。在教师的启发、引导下，学生认真思考。于是，数学学习成为体验、发现数学的过程。这样，学生在自我激励的状态下进行再创造，最终透彻地理解所学知识。例如，“错位相减法”这一内容是数列教学中的难点，因此，在教学时，教师应着力引导学生思考知识的其来龙去脉，具体而言可设置五组问题。其一，等差数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式等简洁、优美，使用方便，请同学们讨论一下这些公式具有哪些特征？其二，按照你对数列公式特征的认识，你能猜想等比数列前n项和公式的可能形式吗？其三，虽然我们具体猜想等比数列前n项和公式的形式比较困难，但我们能猜想这一公式可用哪些量来表示，可以列举一些实例验证你的猜想吗？其四，为了获得等比数列前n项和公式，我们进行一系列猜想。思考一下，我们通常怎样探索新问题？审视数列公式的推导过程，再思考一下，我们在探索新问题时，有什么做法是共通的？其五，思考等比数列各项之间有什么关系？针对等比数列前n项和表达式的特征，我们可借鉴公式推导中消项的思想与方法，请同学们试试该怎样消项？经过思考与交流，学生不仅认识到数列中的公式均由基本量的简洁形式表示，更成功地从庄子提出的问题中构造数列，顺利验证了公式的简洁形式。在上述知识、方法和思想的类比中，学生猜想出等比数列的前n项和公式也应通过消项才能用基本量表示。这样，学生通过等比数列的通项特征成功地领悟了“错位相减法”与数列的一般方法是浑然一体的，既实现了“错位相消法”与数列其他知识和方法的融会贯通，又使学生能动地构建“错位相减法”，最终自觉、自如地运用。 引导学生在思维活动中多角度地理解数学，旨在形成比较系统的知识模块，突出数学问题的结构规律，揭示数学知识的内在联系，使学生将所学的数学知识内化至自己的知识体系中，进而体味到所学内容的思想价值，最终构建高中数学高效课堂。
五、教学要落实主体心智全面发展
许多学生认为“数学是一门演算的科学”。其实，数学不等同于运算与逻辑。形式化既不是数学的起源，也不是数学最终的目标。归根结底，数学教学的真谛是：引领学生观察世界，发现数学，经历方法的训练，提炼数学思想，学会认识和改造客观世界，最终理解数学的价值。因此，在数学教学中，教师应鼓励学生自主探究，激发学生学习数学的兴趣，注重开展观察、归纳、类比、联想、猜想、试误、验证和求真等探究活动，在分析问题与解决问题的过程中，让学生逐步具备从图形、图象、图表和现实中概括和抽象的能力，并熟练运用以形助数、以数解形、灵活转化、正难则反、战略上藐视参数及战术上重视参数等数学思维方法，感受“数学让人聪明”的无穷魅力。
例如，在教学“等差数列的概念和通项公式”这一内容时，教师可创设情境，得出三个数列：48，53，58，63；18，15.5，13，10.5，8，5.5；72，144，216，288，360。为了引领学生思考，教师可设置六组问题：其一，上述数列看起来很有规律，用数学表达式如何描述这个规律？给这类数列取一个怎样的名称合适呢？其二，等差数列的公差是一个常数，如果我们运用图象表示上述等差数列，那么这些图象具有哪些直观特征呢？公差的几何意义是什么？图象上连续的三个点之间具有怎样的几何关系？用表达式怎样表示？图象上连续的多个点之间具有怎样的几何关系？用表达式怎样表示？其三，求等差数列8，5，2，……的第20项，有哪些方法？推而广之，能求出该数列的通项公式吗？其四，等差数列定义的递推关系式反映了等差数列的基本规律，从递推关系如何求得等差数列的通项公式？如何从等差数列图象上理解所用的方法？其五，怎样结合等差数列的图象理解通项公式？怎样根据通项公式画出等差数列的图象？其六，从等差数列的通项公式和图象中，能得出等差数列的哪些性质？通过思考这些问题，可使学生学会从实际出发，抽取数学属性、关系，形成各种概念、判断，从数与形、具体与抽象等多个角度理解数列的概念和规律。在探寻数学知识的广泛联系、数学规律的形成及数学思想方法提炼的过程中，学生不仅学习了“数列递推与通项的化归”“基本量”“累加消项”和“公式化”的相关知识，更深刻地理解了“数形结合”与“化归”等思维方法，最终丰富心智活动，发展数学思维能力。
六、人文课堂保驾可持续发展
为了让学生学数学、用数学，培养学生的数学素养，启迪学生的智慧，发展学生的个性，提高学生的综合素质，使学生获得可持续发展，一句话，这需要创设人文课堂。因此，教师在数学课堂教学中应注重协同数学技术教育与数学文化教育，营造师生平等对话、民主理性的课堂文化氛围，引领学生开始愉快的学习旅程。首先，在引导学生讨论、答疑、感悟、赏析、探索与合作学习的过程中，教师应及时给予恰当的鼓励和诚恳的指导，以消除学生对数学的畏惧感，增强学生学好数学的信心，为学生掌握方法、形成思想、提高悟性、增强意识及培养思维习惯创造和谐、积极的情感环境，以调动学生的非智力因素，激发学生的情感体验和自我追求，使学生自主地投入学习活动中。其次，师生之间充满信赖的交流，有利于锻炼学生的理性思维，培养学生的严谨品格，促进学生的思想解放，树立学生的科学态度，增强学生的精神力量，使学生更具创新精神，最终在自我提高、自我完善的过程中全面发展和健康成长。
在高中数学课堂教学中，我们力求用生动鲜活、富有感染力的语言进行阐释，力求引导学生在数学中体会“鱼翔浅底”的透彻，获得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜，拥有“一览众山小”的气魄，感悟“书中自有黄金屋”的丰富……当学生在数学课堂中欣赏到数学鲜艳的美，感受到数学学习的丰富多彩时，数学课堂就成为传承数学文化、培养理性精神和执着追求品格的圣殿。学生精神世界中的数学鲜活而富有生命力，它不仅让学生聪慧，更让学生强大，最终成为学生终生的精神动力与智慧源泉。
（作者单位：安徽省潜山野寨中学）
（责任编辑：梁金）
一、高效课堂以学生终身发展为本
针对高中数学，教师在新课教学和高考复习中大搞题海战术，追求“熟能生巧”，投入大量精力强化训练，以换取考试中的高分。这些做法对学生应付考试来说也许“有效”，但对学生的成长和终身发展来说负面影响较大。例如：有些学生因为题海战术和强化训练而失去学习数学的兴趣，期盼早日摆脱数学学习；还有一些学生因为数学给他们留下的痛苦记忆而丧失创造的才能与激情。
在高中数学课堂教学中，不少教师重结果、轻过程，在概念、公式和定理的记忆与运用方面下苦功夫，而对从感性到理性、从直观到抽象以及从具体到概括的过程中，学生抽象概括能力、理性思维能力的培养重视不够，缺乏培养学生主动获取知识的态度、习惯以及学会学习的意识，没有有效落实培养学生的学习兴趣、科学精神等“情感、态度与价值观”目标，导致学生被动学习，学习品质日趋下降。
我们提出的高中数学高效课堂策略是针对教师的教法与学生的学法，思考如何科学地帮助学生在更好地掌握各种知识与技能的基础上，学会按照数学的方式思维，以实现思维方法向数学素养的过渡，最终在学生主动学习、充满探究激情的课堂教学中，引领学生欣赏数学的魅力，在持久的学习动力驱动下体验数学的精神力量，激发创新热情，获得终身学习的能力。
二、精讲应帮助学生自主构建知识体系
传统数学课堂推崇教师精讲，要求教师紧扣目的要求，把握学生实际水平，突出重点和难点，少而精，避免注入式、满堂灌、凌空说教和烦琐讲解。我们提出的高中数学高效课堂不仅满足上述要求，更仔细研究学生已有的知识结构、认知规律和学习状态，调动、激发学生对知识与方法渴求的心理状态，在学生所学的新知识与原有知识发生矛盾冲突时、在学生苦苦求索无果时启发讲解，使学生茅塞顿开，重新定位自己对数学的认识，既拓展数学认知结构，又感悟数学思维。这要求教师在备课中准确理解教材，恰当把握教学中的“度”，既让学生了解一些数学史知识，拓宽视野，又合理剖析数学思维的发现、发展规律，创造性地使用教材。在教学策略上，教师可通过“造势”，让学生主动出击，以充分表达各自的所思所想；教师要适时地点拨与引导，以达到“四两拨千斤”的效果。
精讲不仅是传授知识和方法，更是帮助学生自主建构知识体系，关注学生能力的培养、个性的发展与潜能的开发，让课堂成为学生自我成长、自觉学习和自主建构的课堂。例如，在函数奇偶性的教学中，教师可引导学生欣赏函数图象的对称之美，在“愤悱”状态中分析对称点坐标的特征，通过适时的点拨，使学生提炼其中的规律与关系，最终指导学生进行准确精炼的数学表达。为此，教师应在学生操作与思考之后，恰到好处地启发和诱导，使学生对f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）的认识与理解逐渐清晰、明确（它是图象对称性的本质表达）。
三、多练要培养学生的创新思维能力
练习确实具有一定效果，但过度练习会剥夺学生独立思考、自由发挥的机会。因此，不仅要重视知识与方法巩固阶段的练习，更应重视知识、方法与技能获得以及数学思想形成过程中的练习，使学生自己动手、主动思考、发现问题和解决问题。例如，在二项定理的教学中，教师设计如下练习。
其一，运用多项式乘法运算法则，将（a1 b1）（a2 b2）和（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）展开；
其二，若令a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，请据此将（a b）2、（a b）3和（a b）4展开。
在切实、认真完成练习的过程中，学生发现二项展开式是关于a、b的齐次式，与一般多项式展开不同的是，在运算过程中有合并同类项的过程。悉心感受和仔细思考有关二项展开式的问题，可激发学生从欣赏形式美到思考其中蕴含的数学规律，使学生探究数学内在的和谐美。在欣赏二次展开式工整的形式之美和充分交流的基础上，可要求学生对已有运算重新审视，并将其系统化、逻辑化。这样，学生便在探究中由感性体验过渡到理性思考，进而归纳总结项数、次数等内在的运算规律和特征，并运用组合视角重新认识多项式乘法法则，最终学会发现问题、解决问题，具有探究的意识，具备创新的能力。
四、容量应指向学生的数学思维活动
不少教师为了追求大容量，增加教学内容，课堂上提高语速，加快节奏，设计详细精美的课件，快速演示或呈现教学内容。在这样的课堂上，学生要接受过多的知识，没有充足的时间领悟教学内容，缺乏自主思考、合作交流及探索研究。因此，教师应集中精力引导学生有效地通过不同角度和形式探究与思考所学知识，尤其要重视学习中遇到的困惑与热点问题，即把教师的“教”转化为学生的“学”。在教师的启发、引导下，学生认真思考。于是，数学学习成为体验、发现数学的过程。这样，学生在自我激励的状态下进行再创造，最终透彻地理解所学知识。例如，“错位相减法”这一内容是数列教学中的难点，因此，在教学时，教师应着力引导学生思考知识的其来龙去脉，具体而言可设置五组问题。其一，等差数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式等简洁、优美，使用方便，请同学们讨论一下这些公式具有哪些特征？其二，按照你对数列公式特征的认识，你能猜想等比数列前n项和公式的可能形式吗？其三，虽然我们具体猜想等比数列前n项和公式的形式比较困难，但我们能猜想这一公式可用哪些量来表示，可以列举一些实例验证你的猜想吗？其四，为了获得等比数列前n项和公式，我们进行一系列猜想。思考一下，我们通常怎样探索新问题？审视数列公式的推导过程，再思考一下，我们在探索新问题时，有什么做法是共通的？其五，思考等比数列各项之间有什么关系？针对等比数列前n项和表达式的特征，我们可借鉴公式推导中消项的思想与方法，请同学们试试该怎样消项？经过思考与交流，学生不仅认识到数列中的公式均由基本量的简洁形式表示，更成功地从庄子提出的问题中构造数列，顺利验证了公式的简洁形式。在上述知识、方法和思想的类比中，学生猜想出等比数列的前n项和公式也应通过消项才能用基本量表示。这样，学生通过等比数列的通项特征成功地领悟了“错位相减法”与数列的一般方法是浑然一体的，既实现了“错位相消法”与数列其他知识和方法的融会贯通，又使学生能动地构建“错位相减法”，最终自觉、自如地运用。 引导学生在思维活动中多角度地理解数学，旨在形成比较系统的知识模块，突出数学问题的结构规律，揭示数学知识的内在联系，使学生将所学的数学知识内化至自己的知识体系中，进而体味到所学内容的思想价值，最终构建高中数学高效课堂。
五、教学要落实主体心智全面发展
许多学生认为“数学是一门演算的科学”。其实，数学不等同于运算与逻辑。形式化既不是数学的起源，也不是数学最终的目标。归根结底，数学教学的真谛是：引领学生观察世界，发现数学，经历方法的训练，提炼数学思想，学会认识和改造客观世界，最终理解数学的价值。因此，在数学教学中，教师应鼓励学生自主探究，激发学生学习数学的兴趣，注重开展观察、归纳、类比、联想、猜想、试误、验证和求真等探究活动，在分析问题与解决问题的过程中，让学生逐步具备从图形、图象、图表和现实中概括和抽象的能力，并熟练运用以形助数、以数解形、灵活转化、正难则反、战略上藐视参数及战术上重视参数等数学思维方法，感受“数学让人聪明”的无穷魅力。
例如，在教学“等差数列的概念和通项公式”这一内容时，教师可创设情境，得出三个数列：48，53，58，63；18，15.5，13，10.5，8，5.5；72，144，216，288，360。为了引领学生思考，教师可设置六组问题：其一，上述数列看起来很有规律，用数学表达式如何描述这个规律？给这类数列取一个怎样的名称合适呢？其二，等差数列的公差是一个常数，如果我们运用图象表示上述等差数列，那么这些图象具有哪些直观特征呢？公差的几何意义是什么？图象上连续的三个点之间具有怎样的几何关系？用表达式怎样表示？图象上连续的多个点之间具有怎样的几何关系？用表达式怎样表示？其三，求等差数列8，5，2，……的第20项，有哪些方法？推而广之，能求出该数列的通项公式吗？其四，等差数列定义的递推关系式反映了等差数列的基本规律，从递推关系如何求得等差数列的通项公式？如何从等差数列图象上理解所用的方法？其五，怎样结合等差数列的图象理解通项公式？怎样根据通项公式画出等差数列的图象？其六，从等差数列的通项公式和图象中，能得出等差数列的哪些性质？通过思考这些问题，可使学生学会从实际出发，抽取数学属性、关系，形成各种概念、判断，从数与形、具体与抽象等多个角度理解数列的概念和规律。在探寻数学知识的广泛联系、数学规律的形成及数学思想方法提炼的过程中，学生不仅学习了“数列递推与通项的化归”“基本量”“累加消项”和“公式化”的相关知识，更深刻地理解了“数形结合”与“化归”等思维方法，最终丰富心智活动，发展数学思维能力。
六、人文课堂保驾可持续发展
为了让学生学数学、用数学，培养学生的数学素养，启迪学生的智慧，发展学生的个性，提高学生的综合素质，使学生获得可持续发展，一句话，这需要创设人文课堂。因此，教师在数学课堂教学中应注重协同数学技术教育与数学文化教育，营造师生平等对话、民主理性的课堂文化氛围，引领学生开始愉快的学习旅程。首先，在引导学生讨论、答疑、感悟、赏析、探索与合作学习的过程中，教师应及时给予恰当的鼓励和诚恳的指导，以消除学生对数学的畏惧感，增强学生学好数学的信心，为学生掌握方法、形成思想、提高悟性、增强意识及培养思维习惯创造和谐、积极的情感环境，以调动学生的非智力因素，激发学生的情感体验和自我追求，使学生自主地投入学习活动中。其次，师生之间充满信赖的交流，有利于锻炼学生的理性思维，培养学生的严谨品格，促进学生的思想解放，树立学生的科学态度，增强学生的精神力量，使学生更具创新精神，最终在自我提高、自我完善的过程中全面发展和健康成长。
在高中数学课堂教学中，我们力求用生动鲜活、富有感染力的语言进行阐释，力求引导学生在数学中体会“鱼翔浅底”的透彻，获得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜，拥有“一览众山小”的气魄，感悟“书中自有黄金屋”的丰富……当学生在数学课堂中欣赏到数学鲜艳的美，感受到数学学习的丰富多彩时，数学课堂就成为传承数学文化、培养理性精神和执着追求品格的圣殿。学生精神世界中的数学鲜活而富有生命力，它不仅让学生聪慧，更让学生强大，最终成为学生终生的精神动力与智慧源泉。
（作者单位：安徽省潜山野寨中学）
（责任编辑：梁金）