在江苏各市近期模拟试题中,多处出现有向量的条件,求系数及含系数的多项式的值或取值范围的问题,很多同学感到难度较大,无从下手.其实这类问题的关键是将向量的条件转化为系数间的关系,化向量为数.归纳起来,主要有以下几种策略.
　　策略1：利用平方化向量为模
　　例1(2011南通二模第14题)在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC=λOA+μOB，则λ2+（μ-3）2的取值范围是．
　　思路探析：因A、B、C三点都是圆上的动点，从而向量OA，OB，OC都是动向量，但它们的模是相等的，所以可以通过平方把向量化为它们的模.
　　解：设OA,OB夹角为θ,则θ∈（0，π）,由OC=λOA+μOB两边平方得
　　|OC|2=λ2|OA|2+μ|OB|+2λμOA•OB
　　∴ 1=λ2+μ2+2λμcosθ
　　由cosθ∈（-1，1），∴ λ２+μ2+2λμ＞1且λ2+μ2-2λμ＜1
　　则λ+μ＞1
　　-1＜λ-μ＜1
　　λ＞0，μ＞0
　　有线性规划知识知λ2+（μ-3）2可以看做是点（λ，μ）到(0,3)距离的平方,则λ2+（μ-3）2的取值范围是（2，+∞）
　　策略2：利用数量积化向量为数
　　例2(2011常州学业水平检测第9题)设e1，e2是夹角为60°的两个单位向量,已知OM=e1，ON=e2，OP=xOM+yON(x,y为实数),若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形,则x-y取值的集合为
　　思路探析：题中知道e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，可以很容易的计算相关向量的数量积，所以考虑在OP=xOM+yON两边乘以某个向量，把向量的条件转化为数间的关系.
　　解:由OP=xOM+yON两边都乘以OM得两边都乘以得xOM2+yOM•ON=OP•OM
　　∴ x+12y=OP•OM(1)
　　两边都乘以ON得
　　xOM•ON+yON2=OP•ON∴ 12x+y=OP•ON(2)
　　（1）-（2）得
　　∴12x-12y=OP（OM-ON）=（OM+MP）•NM
　　=OM•NM+MP•NM=OM（OM-ON）
　　=OM2-OM•ON=1-12=12∴ x-y=12则x-y取值的集合为12
　　策略3：利用坐标系化向量为坐标
　　例3(2011苏锡常镇调研测试第13题)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC=λDE+μAP，则λ+μ的最小值为；
　　思路探析：已知条件在正方形ABCD中，出现直角，可以建立直角坐标系，把向量的相等转化为坐标的相等.
　　解：以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系,设|AB|=a,
　　y′=6+6sinθ-3cosθ（sinθ+2cosθ）2＞0 此函数为增函数
　　当θ=0时，ymin=32，则λ+μ最小值是12
　　策略4：利用基底化向量相等为系数相等
　　例4(2011苏北四市二模第13题)在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC于M、N两点，设AM=xAB，AN=xAC，（xy≠0），则4x+y的最小值是.
　　思路探析：根据平面向量基本定理，平面内任意一个向量都可以用一组不共线的向量线性表示，而且这种表示是唯一的，利用这一结论可以把向量的相等转化为系数的相等.
　　解：由M、E、N三点共线,存在实数m使AE=mAM+（1-m）AN，又AE=12AD=14（AB+AC）,
　　mxAB+（1-m）yAC=14AB+14AC由AB，AC不共线，得mx=14
　　（1-m）y=14
　　得14x+14y=14x+y=(4x+y)14x+14y=1+14+y4x+xy≥54+214=94
　　当且仅当y4x=xy时，即x=38，y=34时取等号
　　策略5：利用图形化向量为数值
　　例5如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB得夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.
　　思路探析：由OC=λOA+μOB，利用平行四边形法则可以将向量OC分解到OA和OB上，依据模的关系可以求出λ，μ的值.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文