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我们生活的世界中有许许多多涉及空间几何体的实际问题，这些图形及其应用不仅美化了我们生活的空间，同时也给我们的生活带来了便利，下面结合例题介绍空间几何体在生活中的应用.
一、聪明的足球守门员
例1 甲、乙两足球队决赛互罚点球时，罚球点离球门约10米，乙队守门员违例向前冲出3米，因而扑住了点球，不光彩地赢得了胜利.事实上乙队守门员违例向前冲出3米时，其要封堵的区域面积变小了，问此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的多少倍？
分析 根据题意画出直观图，可将问题转化为四棱锥底面与平行于底面的截面问题.
解 从罚球点S向球门ABCD四角连线，构成四棱锥SABCD，如图1所示.守门员从平面ABCD向前移动3米至平
面A′B′C′D′，只需封堵平面A′B′C′D′即可，所以SA′B′C′D′SABCD=（710）2=49100.
答：此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的49100.
评注：由于条件中没有告诉我们四棱锥的底面边长，因此不能求出底面面积.因为要求的是两个四边形的面积比，所以将问题转化为四棱锥高的比解决.
二、测量密封几何体内水面的高
例2 如图21所示，有一个密封的圆锥形容器，容器的高为h，容器内的水面高为h3，若将容器倒置，使水面与容器底面平行，如图22所示，求此时水面的高.
分析 因为图21与图22中圆锥形容器的水的体积相等，因此可以利用这个关系列方程求解.
解 设容器底面半径为r，图21中水面半径为r1，图22中水面高度为x，水面半径为r2，则r1r=23hh=23，所以r1=23r.又因为r2r=xh，所以r2=rxh.图21中水的体积V=13πr2h-13πr21·23h=13πr2h-13π·49r2·23h=19π81r2h.图22中水的体积V=13πr22x=V=13π·r2x3h2.所以13π·r2x3h2=19π81r2h，所以x3=1927h3，所以x=3193h，即此时水面的高为3193h.
评注：解空间几何体应用题，要弄清几何体之间的关系，尤其是几何不变量，也就是等量关系，再合理利用这些关系解决问题.
三、测量球壁厚度
例3 一空心合金钢球，重为105克，比重为7.0克/厘米3，测得钢球外径等于5.0厘米，求它的壁厚.
分析 因为球的质量=球的体积×球的比重，可以利用球的质量列出方程，解方程可得到结果.
解 如图3所示，设钢球的内径为2r厘米，则钢球重为W=7× [43π×（52）3-43πr3].根据题意得7× [43π×（52）3-43πr3]=105，所以43πr3=1256π-15，所以r=1258-454π≈2.292，所以壁厚2.5-r=0.208（厘米）.
答：钢球的壁厚为0.2厘米.
评注：本题是一道测量应用题，球的外径及质量通过测量容易得到，而球的内径和壁厚不容易得到，解题时可以通过球的质量列出关于球内径的方程求出内径，另外，球的外径与内径的差即为壁厚.
四、测量降雨的降水量
例4 降雨的降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶，（图41是过轴的截面）来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，问本次降雨的降水量是多少？
分析 根据题意可求得降水的“体积”，然后根据水的体积不变性，从台体转化为柱体求出降雨的降水量.
解 由所盛雨水正好是桶深的17，可得水深为357=5cm，设水面半径为r，如图42所示，在△ABC中，ACA′C′=CBC′B′，即7r-12=7，所以r=13.所以V水=π3×5×（122+132+12×13）=5π3×469，S上底=πR2=π×192=361π，所以V水S上底=5π3×469361π≈22（mm）.
答：本次降雨的降水量是22mm.
评注：涉及柱体、椎体、台体的面积或体积问题，都需要将问题转化为三角形问题，因此寻找特征三角形是解决问题的关键，而构建特征三角形一般从两高即几何体的高及斜高入手，如本题中的△ABC.
五、输液的时间与速度
例5 医院在给患者输液时，常将输液瓶竖直挂在输液架上，如图5所示，在输液开始时，瓶内药液为一个圆柱与一个圆台的组合体，圆柱的高为9cm，底面圆的直径为8cm，圆台的高为3cm，母线与底面成45°角，输液开始后滴管内匀速滴下球状药液.若球状药液的半径R=310mm，要使瓶内药液在165min内输完，每分钟应滴下多少滴？
分析 设滴管内每分钟应滴y滴药液，可求出y滴药液的体积.而瓶内药液的体积V=V柱+V台，这两个体积是相等的，因此可利用这个等量关系列出方程，求出y即可.
解 根据题意可知，圆台上底半径为4cm，下底半径为1cm.设滴管内每分钟应滴y滴药液，y滴药液的体积为y·V球=y·4π3R3=y·4π3（310）3=y·40π3（mm3）=π75y（cm3）.瓶内药液的体积V=V柱+V台=π·42·9+13·π·3（12+1×4+42）=165π（cm3）.由165×π75y=165π，得y=75.
答：每分钟应滴75滴.
评注：本题是利用体积不变，即瓶内药液与输完的药液体积相等列出方程解决的.
六、漏罐漏油问题
例6 某人买了一罐容积为V（L）、高为a（m）的正三棱柱型灌装机油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距离下地面高度分别为b（m）、c（m）的地方.为了减少罐内机油的损失，此人应采取什么方式将机油拿回家，试估计罐内机油最理想的状态能剩多少？ 分析 根据题意画出示意图，如图6所示，正三棱柱ABCA′B′C′，破损处为D、E.“最理想的状态能剩多少？”就是“罐内所剩机油的最大值为多少？”显然过D、E两点的平面同时应过B′，才能达到要求，因此将问题转化为求几何体ABCDB′E的体积.而求该几何体的体积的方法不唯一，下面仅给出一种.
解 根据题意画出示意图，正三棱柱ABCA′B′C′如图6所示，破损处为D、E.因为VABCDB′E=VDBCEB′+VDABC，而VDABC=bV3a，故只需求VDBCEB′.由VDBCEB′VA′BCC′B′=a+c2a，VA′BCC′B′=23V，得VDBCEB′=（a+c）V3a.故最理想的估计是剩下（a+b+c）V3a（L）.因而采用破口朝上，倾斜灌口的方式.
评注：解此题，首先弄清题意，转化为相应的数学问题，即求几何体ABCDB′E的体积，这是解决此问题的关键.
七、怎样选择才能获胜
例7 现有A、B、C、D四个长方体容器，容器A、B的底面积均为a2，高分别为a、b；容器C、D的底面积均为b2，高分别为a、b（a≠b）.现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取出两个，盛水多者为胜.问先取者是否有必胜的方案，为什么？
分析 分析题意，由题意设计方案，再对各方案比较，从而选取最佳方案.
解 根据题意，各容器的容积分别为VA=a3，VB=a2b，VC=ab2，VD=b3.抽取的方案是：（1）A、B与C、D；（2）A、C与B、D；（3）A、D与B、C.而（1）（VA+VB）-（VC+VD）=（a3+a2b）-（ab2+b3）=（a+b）2（a-b）；（2）（VA+VC）-（VB+VD）=（a3+ab2）-（a2b+b3）=（a2+b2）（a-b）；（3）（VA+VD）-（VB+VC）=（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a+b）（a-b）2.因为a≠b，所以（a-b）2>0.所以仅方案（3）能分出胜负，即先取A和D者必胜.
评注：从解题过程可知，将游戏“每人一次从四个容器中取出两个，盛水多者为胜.”转化为比较先取的两个容器的容积和要大于剩下两个容器的容积和，把问题转化为“代数式”比较大小问题.然后根据题意设计出三种方案，再借助分类讨论思想对方案进行鉴别选取，使问题得到解决.
用数学知识解决实际问题，在数学学习中越来越体现出其重要地位，因此要通过练习逐步掌握用所学数学知识来解决生活中遇到的问题的方法，提高生活质量和数学素养.
（作者：李震，江苏省泰兴中学）
一、聪明的足球守门员
例1 甲、乙两足球队决赛互罚点球时，罚球点离球门约10米，乙队守门员违例向前冲出3米，因而扑住了点球，不光彩地赢得了胜利.事实上乙队守门员违例向前冲出3米时，其要封堵的区域面积变小了，问此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的多少倍？
分析 根据题意画出直观图，可将问题转化为四棱锥底面与平行于底面的截面问题.
解 从罚球点S向球门ABCD四角连线，构成四棱锥SABCD，如图1所示.守门员从平面ABCD向前移动3米至平
面A′B′C′D′，只需封堵平面A′B′C′D′即可，所以SA′B′C′D′SABCD=（710）2=49100.
答：此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的49100.
评注：由于条件中没有告诉我们四棱锥的底面边长，因此不能求出底面面积.因为要求的是两个四边形的面积比，所以将问题转化为四棱锥高的比解决.
二、测量密封几何体内水面的高
例2 如图21所示，有一个密封的圆锥形容器，容器的高为h，容器内的水面高为h3，若将容器倒置，使水面与容器底面平行，如图22所示，求此时水面的高.
分析 因为图21与图22中圆锥形容器的水的体积相等，因此可以利用这个关系列方程求解.
解 设容器底面半径为r，图21中水面半径为r1，图22中水面高度为x，水面半径为r2，则r1r=23hh=23，所以r1=23r.又因为r2r=xh，所以r2=rxh.图21中水的体积V=13πr2h-13πr21·23h=13πr2h-13π·49r2·23h=19π81r2h.图22中水的体积V=13πr22x=V=13π·r2x3h2.所以13π·r2x3h2=19π81r2h，所以x3=1927h3，所以x=3193h，即此时水面的高为3193h.
评注：解空间几何体应用题，要弄清几何体之间的关系，尤其是几何不变量，也就是等量关系，再合理利用这些关系解决问题.
三、测量球壁厚度
例3 一空心合金钢球，重为105克，比重为7.0克/厘米3，测得钢球外径等于5.0厘米，求它的壁厚.
分析 因为球的质量=球的体积×球的比重，可以利用球的质量列出方程，解方程可得到结果.
解 如图3所示，设钢球的内径为2r厘米，则钢球重为W=7× [43π×（52）3-43πr3].根据题意得7× [43π×（52）3-43πr3]=105，所以43πr3=1256π-15，所以r=1258-454π≈2.292，所以壁厚2.5-r=0.208（厘米）.
答：钢球的壁厚为0.2厘米.
评注：本题是一道测量应用题，球的外径及质量通过测量容易得到，而球的内径和壁厚不容易得到，解题时可以通过球的质量列出关于球内径的方程求出内径，另外，球的外径与内径的差即为壁厚.
四、测量降雨的降水量
例4 降雨的降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶，（图41是过轴的截面）来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，问本次降雨的降水量是多少？
分析 根据题意可求得降水的“体积”，然后根据水的体积不变性，从台体转化为柱体求出降雨的降水量.
解 由所盛雨水正好是桶深的17，可得水深为357=5cm，设水面半径为r，如图42所示，在△ABC中，ACA′C′=CBC′B′，即7r-12=7，所以r=13.所以V水=π3×5×（122+132+12×13）=5π3×469，S上底=πR2=π×192=361π，所以V水S上底=5π3×469361π≈22（mm）.
答：本次降雨的降水量是22mm.
评注：涉及柱体、椎体、台体的面积或体积问题，都需要将问题转化为三角形问题，因此寻找特征三角形是解决问题的关键，而构建特征三角形一般从两高即几何体的高及斜高入手，如本题中的△ABC.
五、输液的时间与速度
例5 医院在给患者输液时，常将输液瓶竖直挂在输液架上，如图5所示，在输液开始时，瓶内药液为一个圆柱与一个圆台的组合体，圆柱的高为9cm，底面圆的直径为8cm，圆台的高为3cm，母线与底面成45°角，输液开始后滴管内匀速滴下球状药液.若球状药液的半径R=310mm，要使瓶内药液在165min内输完，每分钟应滴下多少滴？
分析 设滴管内每分钟应滴y滴药液，可求出y滴药液的体积.而瓶内药液的体积V=V柱+V台，这两个体积是相等的，因此可利用这个等量关系列出方程，求出y即可.
解 根据题意可知，圆台上底半径为4cm，下底半径为1cm.设滴管内每分钟应滴y滴药液，y滴药液的体积为y·V球=y·4π3R3=y·4π3（310）3=y·40π3（mm3）=π75y（cm3）.瓶内药液的体积V=V柱+V台=π·42·9+13·π·3（12+1×4+42）=165π（cm3）.由165×π75y=165π，得y=75.
答：每分钟应滴75滴.
评注：本题是利用体积不变，即瓶内药液与输完的药液体积相等列出方程解决的.
六、漏罐漏油问题
例6 某人买了一罐容积为V（L）、高为a（m）的正三棱柱型灌装机油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距离下地面高度分别为b（m）、c（m）的地方.为了减少罐内机油的损失，此人应采取什么方式将机油拿回家，试估计罐内机油最理想的状态能剩多少？ 分析 根据题意画出示意图，如图6所示，正三棱柱ABCA′B′C′，破损处为D、E.“最理想的状态能剩多少？”就是“罐内所剩机油的最大值为多少？”显然过D、E两点的平面同时应过B′，才能达到要求，因此将问题转化为求几何体ABCDB′E的体积.而求该几何体的体积的方法不唯一，下面仅给出一种.
解 根据题意画出示意图，正三棱柱ABCA′B′C′如图6所示，破损处为D、E.因为VABCDB′E=VDBCEB′+VDABC，而VDABC=bV3a，故只需求VDBCEB′.由VDBCEB′VA′BCC′B′=a+c2a，VA′BCC′B′=23V，得VDBCEB′=（a+c）V3a.故最理想的估计是剩下（a+b+c）V3a（L）.因而采用破口朝上，倾斜灌口的方式.
评注：解此题，首先弄清题意，转化为相应的数学问题，即求几何体ABCDB′E的体积，这是解决此问题的关键.
七、怎样选择才能获胜
例7 现有A、B、C、D四个长方体容器，容器A、B的底面积均为a2，高分别为a、b；容器C、D的底面积均为b2，高分别为a、b（a≠b）.现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取出两个，盛水多者为胜.问先取者是否有必胜的方案，为什么？
分析 分析题意，由题意设计方案，再对各方案比较，从而选取最佳方案.
解 根据题意，各容器的容积分别为VA=a3，VB=a2b，VC=ab2，VD=b3.抽取的方案是：（1）A、B与C、D；（2）A、C与B、D；（3）A、D与B、C.而（1）（VA+VB）-（VC+VD）=（a3+a2b）-（ab2+b3）=（a+b）2（a-b）；（2）（VA+VC）-（VB+VD）=（a3+ab2）-（a2b+b3）=（a2+b2）（a-b）；（3）（VA+VD）-（VB+VC）=（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a+b）（a-b）2.因为a≠b，所以（a-b）2>0.所以仅方案（3）能分出胜负，即先取A和D者必胜.
评注：从解题过程可知，将游戏“每人一次从四个容器中取出两个，盛水多者为胜.”转化为比较先取的两个容器的容积和要大于剩下两个容器的容积和，把问题转化为“代数式”比较大小问题.然后根据题意设计出三种方案，再借助分类讨论思想对方案进行鉴别选取，使问题得到解决.
用数学知识解决实际问题，在数学学习中越来越体现出其重要地位，因此要通过练习逐步掌握用所学数学知识来解决生活中遇到的问题的方法，提高生活质量和数学素养.
（作者：李震，江苏省泰兴中学）