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广义的无知：指缺乏知识，不明事理。这里所述的“无知”，指的是教师在教学新知识时，把全班学生当作是一个零起点的整体，对于要学习的知识是一无所知（就算他们知道，也当他们是不知道的那种）。如教学《圆的周长》一课时，教师把学生当作是对这一知识点完全空白的一种状态，除了在圆的认识一课中学到的如：同圆或等圆的直径等于半径的两倍，以及有关于圆心和怎么画圆等知识以外，有关于圆的周长的相关知识，比如圆周率等，一无所知，并由此把教学重点放在了去发现圆的周长与直径，然后再去测量，并计算出圆周率，于是就有了这样的教学实践：
教学片断1：
师：鼓号队用的大鼓和小鼓（咚咚咚……敲几下）使用时间有点长了，边上有点松，想用铁丝给它们围上一圈加固一下，哪个需要的铁丝长呢？
生：大鼓。
师：怎么知道的？
生：看也看得出，大鼓的一圈更长一些。
师：聪明，会观察。类似这种横截面是圆形的物体，我们要给它围上一圈加固一下，这一圈的长度，其实就是圆形的周长，今天这节课老师将带着大家一起来研究圆的周长。（板书，并画圆）
师：说说圆的周长指哪部分？
生：围着圆的外面一圈的长度。
师：用手摸一摸。如大鼓的周长、一元硬币的周长、圆形瓶盖的周长、茶杯口的周长……
师小结：圆的周长，即围着圆一圈的长度。（课件演示）
师：学过哪些图形的周长计算？
生：正方形的周长、长方形的周长。
师：这些图形的周长是怎么算的，公式是……？
生：正方形周长=边长×4，长方形周长=（长 宽）×2
师：公式中的4和2分别代表了什么？它们会变吗？
生：4表4条边，或者说周长是边长的4倍；2是长加宽的和的2倍。
师：这两个数会变吗？
生：不会。
师：也就是说这两个倍数是固定不变的，周长只与它们的边长或者长与宽有关系。
师：看了正方形与长方形的周长计算公式，联系今天要学的圆的周长，你有什么想法或者问题吗？
生1：圆的周长怎么算？
生2：圆的周长与什么有关？
生3：圆的周长会不会也与一个固定的倍数有关。
生4：如果有这个倍数，倍数是多少？跟谁有倍数关系？
……
师：刚才你们已经知道了围大鼓的一圈更长一些，那么这一圈到底有多长呢？你准备怎么得到这个数据？
生1：用软尺绕一圈量出长度。
生2：用绳子绕一圈，再去量绳子的长度。
生3：把卷尺拉出来放在地上，将鼓放在尺上滚一圈，量出长度。
动手测量，板书数据。
再测量手中的硬币、圆形瓶盖的周长。板书数据（单位：厘米）：周长：鼓：203；大瓶盖：39.5;小瓶盖：23；硬币：7.8；
师：观察测得的数据，你们有什么发现或想法？
生1：小圆的周长小，大圆的周长大。
生2：圆越大，周长越长。
师：画圆时，是怎么样来控制圆的大小的？
生：圆规两脚间的距离大，圆就大，圆规两脚间的距离小，圆就小。
师：那你们觉得圆的周长会与什么有关系呢？
生：半径，因为圆规两脚的距离就是圆的半径。
师：也就是直径，因为d=2r。
师：接下来我们来测测直径，看看圆的周长到底与直径有什么样的关系。
生分组测量，板书数据：直径：鼓：69；大瓶盖：12.2；小瓶盖：7；硬币：2.3（有一个是2.484，后来问了才知道，他是用7.8÷3.14算出来的，因为带了计算器嘛，算算更方便，省得量了，也说明他对圆周率有一定的认知基础，并不完全是未知的。）。
师：观察同一圆的周长与直径，算一算，看看会有什么样的关系呢？
生计算，反馈：同一圆中，周长都是直径的3倍多一点。
师：其实我们刚才所算的这个数据，就是圆周率，它代表的是圆的周长与直径的一个倍数，它是一个固定不变的数，很久以前就有人在研究这个数了。介绍圆周率的发展史。
简评：
整个过程虽然学生也在动，但只是跟着在动而已，没有主动的探索，只是按部就班的顺着老师的意思在实践而已，并不是真正意义上的实践，也许只是动手操作一下，思想没有真正地动起来。教学中忽视学生已有的知识经验，把所有的学生当作一个对新知识全然未知的群体。老师就变成了一个领路人一样，牵着学生慢慢地去发现。学生的主动性一点都没有，只是因为老师让做什么就做什么了，比较牵强，也没有层次性，完全脱离了学生的现状。几十个人的一个班集体，绝不是在同一个水平线上的。对于学生在量直径时用到了3.14来计算了，都无动于衷，还是按照原来的设计“顺利”进行，像是在冬天的寒风中，嚼着干硬的馒头，真说不出是什么味道。
这里所述的“有知”，指的是所学内容虽然是新知识，但学生毕竟是一个大群体，各自学习水平不一，知识基础也不同，何况一部分学生还是数学兴趣小组的积极分子，对于圆的周长的计算，已经是熟练于心，那么我们在教学这一节课时，就必须正视这一部分学生的现状，更何况还有更多的学生已经对这一知识有所了解，我们老师所做的，更重要的是要发挥学生的主体作用，正视学生已有的知识，不能把他们已经知道的，也当作他们全然不知似的，正是重视了学生的已有知识，才有了《圆的周长》的第二种教学实践：
教学片断2：
师：今天我们来研究圆的周长，（板书课题）对于圆的周长，你已经知道了什么？
生1：圆的周长=圆周率×直径
生2：圆周率=3.14
生3：圆周长=圆周率×半径×2
生4：圆周率=圆周长÷直径
师：对于这些同学知道的知识，其他同学有什么问题吗？
生1：圆周率是怎么来的？
生2：是不是大圆的圆周率大，小圆的圆周率小？
生3：有什么方法证明圆周率是3.14？
……
然后就是让先前的那部分同学带领其他同学进行数据的测量与收集，并进行计算，主要是分两部分：一是对同一个圆的数据进行测量，并计算；二是对不同的圆的数据进行测量并计算，发现了圆的周长总是它的直径的3倍多一点，但并不是先前所说的3.14那么精确，而大圆与小圆的那个圆周率虽然不完全一样，但都是3倍多一点，这个范围还是确定的，在让学生经历了这么一个置疑、探索、发现的过程后，老师再给大家介绍圆周率的发展史，以及人们用来计算圆周率的更为科学的方法，自然就让他们明白了大家算出来的结果虽然都是3倍多一点，但并不正好是3.14那么精确，有些比3.14大，有些比3.14小，原因是我们所用的方法与工具相对来说还是比较落后的，因此误差也比较大，要进行有效的探索就需要掌握科学的方法以及借用先进的工具等，让他们真正明白圆周率这么一个无限不循环小数的实际意义。
简评：
这种方式尊重学生已有的知识经验，让相对先进的学生把自己已有的知识介绍给别人，再让别的学生提出问题，有利于调动学生的学习积极性，促进学生的互动。先前介绍知识的学生，有些是自己预先自学过，有些是家长提早教过的，没有经过自己的真正探索，对知识也只是一知半解，只知其然不知其所以然，所以对于别的学生向他们提出的问题可能一时就解释不了，这时老师再适时地加以调控，引导他们投入到探索发现中来，对于先前所述加以验证，就不只是老师强加给他们的要他们动手量一量，他们就动手量一量，要让他们算一算，他们就算一算了，而是他们真正有了实践验证的内动力了，因为数据才是最能说明问题的。
（工作单位：浙江省桐乡市崇德小学）
教学片断1：
师：鼓号队用的大鼓和小鼓（咚咚咚……敲几下）使用时间有点长了，边上有点松，想用铁丝给它们围上一圈加固一下，哪个需要的铁丝长呢？
生：大鼓。
师：怎么知道的？
生：看也看得出，大鼓的一圈更长一些。
师：聪明，会观察。类似这种横截面是圆形的物体，我们要给它围上一圈加固一下，这一圈的长度，其实就是圆形的周长，今天这节课老师将带着大家一起来研究圆的周长。（板书，并画圆）
师：说说圆的周长指哪部分？
生：围着圆的外面一圈的长度。
师：用手摸一摸。如大鼓的周长、一元硬币的周长、圆形瓶盖的周长、茶杯口的周长……
师小结：圆的周长，即围着圆一圈的长度。（课件演示）
师：学过哪些图形的周长计算？
生：正方形的周长、长方形的周长。
师：这些图形的周长是怎么算的，公式是……？
生：正方形周长=边长×4，长方形周长=（长 宽）×2
师：公式中的4和2分别代表了什么？它们会变吗？
生：4表4条边，或者说周长是边长的4倍；2是长加宽的和的2倍。
师：这两个数会变吗？
生：不会。
师：也就是说这两个倍数是固定不变的，周长只与它们的边长或者长与宽有关系。
师：看了正方形与长方形的周长计算公式，联系今天要学的圆的周长，你有什么想法或者问题吗？
生1：圆的周长怎么算？
生2：圆的周长与什么有关？
生3：圆的周长会不会也与一个固定的倍数有关。
生4：如果有这个倍数，倍数是多少？跟谁有倍数关系？
……
师：刚才你们已经知道了围大鼓的一圈更长一些，那么这一圈到底有多长呢？你准备怎么得到这个数据？
生1：用软尺绕一圈量出长度。
生2：用绳子绕一圈，再去量绳子的长度。
生3：把卷尺拉出来放在地上，将鼓放在尺上滚一圈，量出长度。
动手测量，板书数据。
再测量手中的硬币、圆形瓶盖的周长。板书数据（单位：厘米）：周长：鼓：203；大瓶盖：39.5;小瓶盖：23；硬币：7.8；
师：观察测得的数据，你们有什么发现或想法？
生1：小圆的周长小，大圆的周长大。
生2：圆越大，周长越长。
师：画圆时，是怎么样来控制圆的大小的？
生：圆规两脚间的距离大，圆就大，圆规两脚间的距离小，圆就小。
师：那你们觉得圆的周长会与什么有关系呢？
生：半径，因为圆规两脚的距离就是圆的半径。
师：也就是直径，因为d=2r。
师：接下来我们来测测直径，看看圆的周长到底与直径有什么样的关系。
生分组测量，板书数据：直径：鼓：69；大瓶盖：12.2；小瓶盖：7；硬币：2.3（有一个是2.484，后来问了才知道，他是用7.8÷3.14算出来的，因为带了计算器嘛，算算更方便，省得量了，也说明他对圆周率有一定的认知基础，并不完全是未知的。）。
师：观察同一圆的周长与直径，算一算，看看会有什么样的关系呢？
生计算，反馈：同一圆中，周长都是直径的3倍多一点。
师：其实我们刚才所算的这个数据，就是圆周率，它代表的是圆的周长与直径的一个倍数，它是一个固定不变的数，很久以前就有人在研究这个数了。介绍圆周率的发展史。
简评：
整个过程虽然学生也在动，但只是跟着在动而已，没有主动的探索，只是按部就班的顺着老师的意思在实践而已，并不是真正意义上的实践，也许只是动手操作一下，思想没有真正地动起来。教学中忽视学生已有的知识经验，把所有的学生当作一个对新知识全然未知的群体。老师就变成了一个领路人一样，牵着学生慢慢地去发现。学生的主动性一点都没有，只是因为老师让做什么就做什么了，比较牵强，也没有层次性，完全脱离了学生的现状。几十个人的一个班集体，绝不是在同一个水平线上的。对于学生在量直径时用到了3.14来计算了，都无动于衷，还是按照原来的设计“顺利”进行，像是在冬天的寒风中，嚼着干硬的馒头，真说不出是什么味道。
这里所述的“有知”，指的是所学内容虽然是新知识，但学生毕竟是一个大群体，各自学习水平不一，知识基础也不同，何况一部分学生还是数学兴趣小组的积极分子，对于圆的周长的计算，已经是熟练于心，那么我们在教学这一节课时，就必须正视这一部分学生的现状，更何况还有更多的学生已经对这一知识有所了解，我们老师所做的，更重要的是要发挥学生的主体作用，正视学生已有的知识，不能把他们已经知道的，也当作他们全然不知似的，正是重视了学生的已有知识，才有了《圆的周长》的第二种教学实践：
教学片断2：
师：今天我们来研究圆的周长，（板书课题）对于圆的周长，你已经知道了什么？
生1：圆的周长=圆周率×直径
生2：圆周率=3.14
生3：圆周长=圆周率×半径×2
生4：圆周率=圆周长÷直径
师：对于这些同学知道的知识，其他同学有什么问题吗？
生1：圆周率是怎么来的？
生2：是不是大圆的圆周率大，小圆的圆周率小？
生3：有什么方法证明圆周率是3.14？
……
然后就是让先前的那部分同学带领其他同学进行数据的测量与收集，并进行计算，主要是分两部分：一是对同一个圆的数据进行测量，并计算；二是对不同的圆的数据进行测量并计算，发现了圆的周长总是它的直径的3倍多一点，但并不是先前所说的3.14那么精确，而大圆与小圆的那个圆周率虽然不完全一样，但都是3倍多一点，这个范围还是确定的，在让学生经历了这么一个置疑、探索、发现的过程后，老师再给大家介绍圆周率的发展史，以及人们用来计算圆周率的更为科学的方法，自然就让他们明白了大家算出来的结果虽然都是3倍多一点，但并不正好是3.14那么精确，有些比3.14大，有些比3.14小，原因是我们所用的方法与工具相对来说还是比较落后的，因此误差也比较大，要进行有效的探索就需要掌握科学的方法以及借用先进的工具等，让他们真正明白圆周率这么一个无限不循环小数的实际意义。
简评：
这种方式尊重学生已有的知识经验，让相对先进的学生把自己已有的知识介绍给别人，再让别的学生提出问题，有利于调动学生的学习积极性，促进学生的互动。先前介绍知识的学生，有些是自己预先自学过，有些是家长提早教过的，没有经过自己的真正探索，对知识也只是一知半解，只知其然不知其所以然，所以对于别的学生向他们提出的问题可能一时就解释不了，这时老师再适时地加以调控，引导他们投入到探索发现中来，对于先前所述加以验证，就不只是老师强加给他们的要他们动手量一量，他们就动手量一量，要让他们算一算，他们就算一算了，而是他们真正有了实践验证的内动力了，因为数据才是最能说明问题的。
（工作单位：浙江省桐乡市崇德小学）