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即将开始的新一轮课程改革，高中数学教师是参与者、执行者。在教学过程中，如何培养学生的数学能力，特别是学生的后续学习的能力，从而提升其核心素养呢？这要求教师不断提升自己的数学教学素养及教学能力，其基本途径之一是结合教学做课题研究。如何在日常琐碎的教学中收集素材（数据）、整理素材、提炼观点、实验应用，达到提升自己、服务学生，这是摆在每个中学数学教师面前的问题。下面笔者以刚刚结题的江西省重点课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”为例，浅议课题研究如何根植于日常教学。
1.课题研究的选题应贴近教学
数学教育课题的选题，就是选择和确定数学教育研究的对象和具体的内容，即研究什么、写什么的问题。如何选择有价值的、有意义的课题？首先对所选课题有一定的材料基础，需要丰富的第二手材料，还要通过实地调查、观察实验、亲身检验，掌握真实可靠的、丰富生动的第一手资料。其次是选择我们感兴趣的、有强烈研究欲望的课题，选择有强烈研究欲望的课题，能够提高研究问题的热情和积极性，增强克服困难的信心和毅力。再次，在数学教学实践中挖掘研究所观察的教学现象，捕捉研究灵感，了解学生所难，寻求突破良策。
当前的数学教学的着力点已被高考绑架，很多教师教学活动的安排仅仅围绕高考，以高考为标度、以刷题为手段，提升解题的熟练程度。教学活动因此缺失数学味，失去了数学教育的功能。数学教师应当明白数学学科在学生成长过程中能做出哪些独特的贡献？在提升学生核心素养的前提下，如何帮助学生顺利进入理想大学？这是摆在每个中学数学老师面前不可回避的问题，也是我们每天都在考虑的问题。
鉴于日常教学接触的对象与范围，课题选题宜“小”“近”“实”“真”。“小”就是从小事情、小现象、小问题入手，以小见大；“近”就是贴近教学、贴近现实、不好高骛远；“实”就是实实在在，除去大而空的描述，有研究的实体；“真”就是真讨论、真研究、真实践。考虑到上述方面的情况，申请课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”立项，并立为省级重点课题。
2.课题研究的素材应源于教学
教学与教学课题研究不冲突，关键是认识问题，让教学融入课题研究，课题研究又服务教学，达到相互融合，这是高层次的教学。围绕课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”，笔者一直在思考，如何在教学实践中做个有心人，悉心研究数学教学的每个环节，不断积累经验，以改进和优化数学教学为切入点进行深入的研究。如教材的处理与挖掘，将学科的思想渗透教学的方方面面，最大限度发挥它的教育功能等；研究高考试题及其命题背景，留心观察稍纵即逝的各种数学问题，收集素材。
2.1教材处理
素材是课题研究的对象，在新授课中如何收集好的素材，收集有价值的素材，需要我们处处留心，以知识的生成为依托，挖掘教材白纸黑字中的微言要义，读懂背后的东西，弄清知识的意蕴、知识的精义和主旨，深层次理解核心知识发生发展过程，抓住教材的关键点（核心），而不是围绕“一个知识（概念）、三项注意、几个例题、一道练习卷”的教学模式，实实在在落实课程标准，为学生一生的发展打基础，提升核心素养。
【案例】解析几何是用代数方法解决几何问题。“运算”是代数的核心，“距离”“角”等等是几何的核心，“斜率”是解析几何的核心。笔者利用这些核心概念，在坐标法思想的指导下，对圆锥曲线的定义有如下的思考。
教材利用离心率将形状不同、定义不同的二次曲线统一起来，并给出了统一定义，我们提出下列问题：
与此相关的问题教材与高考试题都曾出现，如：
【教材源题】△ABC的两个定点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC、边BC所在直线的斜率之积等于一定值，求顶点C的轨迹方程（北师大版选修2-1习题3-1第8题）。
【2011湖北理20】平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线。
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（-1，0）U（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1上是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2。若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由。
（2）距离是几何的另一个核心概念，可以用距离把圆、二次曲线统一起来。
①动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离和为2a（定值，2a>2c）的点P的轨迹方程为椭圆。
②动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离差的绝对值为2a（2a>2c）的点P的轨迹为双曲线。
③动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离比为常数λ（λ≠1），则点P的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆）。
④动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离乘积为常数，则点P的轨迹为卡西尼卵形线。
上述定义以“距离”为纽带，以“运算”为基本手段，给出定义。
2.2.试题解密
众所周知，高考数学试题的命题方法一般是秘而不宣的，但采用数学手段对公布的数学试题进行剖析，追寻数学试题的命题背景及思维轨迹，挖掘试题所潜藏的资源，打开凝结在试题字里行间隐隐跳动的数学思维，探究数学试题的命题方法，进而引领学生站在高端，拓展思维。
北师大版数学教材必修2《立体几何》的编写，以长方体（正方体）为主要模型，这一特征和思路迁移到数学命题上。立体几何试题，特别是信息题，就是以正（长）方体为模型，利用截面（痕）、距离、与球相关的组合体或对图形进行分解与组合调整。因此对于立体几何试题解读，我们可以利用正（长）方体，解密其命题背景。 【2008辽宁文12】例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线（ ）
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
【背景解密】试题涉及“在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线”的条数，由于线的目标太小，解密试题时，可考虑“在空间中与三条直线都相交的平面”，故解密如下：
如图1，过定直线EF作平面a，交A1D1于点M，交BC于N点，平面a绕EF运动便可知动直线EF均适合条件，故在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条。试题命制时，撤去平面a，保留问题“在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线”有多少条，从而命制本题。
3.课题研究的活动应对接教研
课题研究的活动并不只是高大上的活动，它与教研活动紧密对接。围绕“宜小”“宜近”“宜实”“宜真”的研究素材，如何挖掘其内涵，发挥其作用？如何合理的组织课题研究活动，在课题组成员之间展开讨论、集中智慧、统一认识，进而带动教研组的数学教研？我们主要考虑三个方面的问题。
3.1素材拓展
对素材的研究，其目的不在于出版学术成果，而是寻求对素材所涉及的情景、潜在的价值进行挖掘，解决实际问题，进而形成研究成果，在教研组组内统一认识。围绕课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”，我们在校内组织了多场专题报告，主要研究数学教材、数学高考命题技术。
【案例】【源题】点M（x，y）到两个定点M1、M2距离的比是一正数m（m≠1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（轨迹：阿波罗尼斯圆）。
【2015湖北理14】如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2。
【阿波罗尼斯圆衍生问题】
对源题的条件作适当变形，如变两定点中的一个定点为圆，即把到一个定点的距离换成了到定圆的切线长，其余条件不变。
【1994全国文24】已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
对源题条件再作变化，如变两定点为定圆，即把到定点的距离全部换成了到两定圆的切线长，其余条件不变。
将切线长相等改为弦长相等，就有：
【2009江苏18】在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
3.2课例研究
课堂是学生舒展青春、升华生命的主要过程和载体；这一节一节的课堂构成了学生成长、成才、成功的人生历程；构成了学生探索、感悟、升华的生命旅途。如此美好的课堂，教学如何落实课程理念，落实教材编写的意图，努力践行“数学课升华为数学家的思维、教师的思维、学生的思维流动、碰撞的心理场”，这不仅仅落实在新授课的教学中，还要体现在习题的分析上，让数学课更有灵气。
【案例】对单位向量与单位圆的认识。
北师大版数学教材必修4的主要内容讨论三角函数、平面向量及三角恒等变形，教材的编写以单位圆为主线，并贯穿教材的始终。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义是在单位圆中进行的，教材借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容。如：定义域、值域、单调性、周期性等，这些都是旋转“整数周的代数表示”；三角函数的对称性与诱导公式等，这些都是“圆既是中心对称图形，也是轴对称图形的代数表示”，其实质就是圆的几何性质的解析表达。又如，单位圆与单位向量可以建立关系，教材利用单位圆，借助单位向量a=（cos a，sin a），证明了cos（α-β）展开式，并由此出发得到全部三角变换公式。
这样处理，避开了平面向量基本定理的使用，直接将仿射坐标转化为直角坐标处理，化向量问题为解析几何问题，避免繁杂的向量运算，过程简明扼要。
课题所涉及的问题发生在实际的教学实践中，教师通过对问题的研究，解决教学中的实际问题，因此教学带动研究，而研究提升教学的层次。教师通过教学实践和研究，提出解决问题的新策略、新方案，这些也在教学实践中被检验，由此促进课题研究和教学实践不断地循环验证，做到教学与科研不分家，视教学与科研为日常工作。
1.课题研究的选题应贴近教学
数学教育课题的选题，就是选择和确定数学教育研究的对象和具体的内容，即研究什么、写什么的问题。如何选择有价值的、有意义的课题？首先对所选课题有一定的材料基础，需要丰富的第二手材料，还要通过实地调查、观察实验、亲身检验，掌握真实可靠的、丰富生动的第一手资料。其次是选择我们感兴趣的、有强烈研究欲望的课题，选择有强烈研究欲望的课题，能够提高研究问题的热情和积极性，增强克服困难的信心和毅力。再次，在数学教学实践中挖掘研究所观察的教学现象，捕捉研究灵感，了解学生所难，寻求突破良策。
当前的数学教学的着力点已被高考绑架，很多教师教学活动的安排仅仅围绕高考，以高考为标度、以刷题为手段，提升解题的熟练程度。教学活动因此缺失数学味，失去了数学教育的功能。数学教师应当明白数学学科在学生成长过程中能做出哪些独特的贡献？在提升学生核心素养的前提下，如何帮助学生顺利进入理想大学？这是摆在每个中学数学老师面前不可回避的问题，也是我们每天都在考虑的问题。
鉴于日常教学接触的对象与范围，课题选题宜“小”“近”“实”“真”。“小”就是从小事情、小现象、小问题入手，以小见大；“近”就是贴近教学、贴近现实、不好高骛远；“实”就是实实在在，除去大而空的描述，有研究的实体；“真”就是真讨论、真研究、真实践。考虑到上述方面的情况，申请课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”立项，并立为省级重点课题。
2.课题研究的素材应源于教学
教学与教学课题研究不冲突，关键是认识问题，让教学融入课题研究，课题研究又服务教学，达到相互融合，这是高层次的教学。围绕课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”，笔者一直在思考，如何在教学实践中做个有心人，悉心研究数学教学的每个环节，不断积累经验，以改进和优化数学教学为切入点进行深入的研究。如教材的处理与挖掘，将学科的思想渗透教学的方方面面，最大限度发挥它的教育功能等；研究高考试题及其命题背景，留心观察稍纵即逝的各种数学问题，收集素材。
2.1教材处理
素材是课题研究的对象，在新授课中如何收集好的素材，收集有价值的素材，需要我们处处留心，以知识的生成为依托，挖掘教材白纸黑字中的微言要义，读懂背后的东西，弄清知识的意蕴、知识的精义和主旨，深层次理解核心知识发生发展过程，抓住教材的关键点（核心），而不是围绕“一个知识（概念）、三项注意、几个例题、一道练习卷”的教学模式，实实在在落实课程标准，为学生一生的发展打基础，提升核心素养。
【案例】解析几何是用代数方法解决几何问题。“运算”是代数的核心，“距离”“角”等等是几何的核心，“斜率”是解析几何的核心。笔者利用这些核心概念，在坐标法思想的指导下，对圆锥曲线的定义有如下的思考。
教材利用离心率将形状不同、定义不同的二次曲线统一起来，并给出了统一定义，我们提出下列问题：
与此相关的问题教材与高考试题都曾出现，如：
【教材源题】△ABC的两个定点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC、边BC所在直线的斜率之积等于一定值，求顶点C的轨迹方程（北师大版选修2-1习题3-1第8题）。
【2011湖北理20】平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线。
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（-1，0）U（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1上是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2。若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由。
（2）距离是几何的另一个核心概念，可以用距离把圆、二次曲线统一起来。
①动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离和为2a（定值，2a>2c）的点P的轨迹方程为椭圆。
②动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离差的绝对值为2a（2a>2c）的点P的轨迹为双曲线。
③动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离比为常数λ（λ≠1），则点P的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆）。
④动点P（x，y）到两点A（-c，0）、B（c，0）距离乘积为常数，则点P的轨迹为卡西尼卵形线。
上述定义以“距离”为纽带，以“运算”为基本手段，给出定义。
2.2.试题解密
众所周知，高考数学试题的命题方法一般是秘而不宣的，但采用数学手段对公布的数学试题进行剖析，追寻数学试题的命题背景及思维轨迹，挖掘试题所潜藏的资源，打开凝结在试题字里行间隐隐跳动的数学思维，探究数学试题的命题方法，进而引领学生站在高端，拓展思维。
北师大版数学教材必修2《立体几何》的编写，以长方体（正方体）为主要模型，这一特征和思路迁移到数学命题上。立体几何试题，特别是信息题，就是以正（长）方体为模型，利用截面（痕）、距离、与球相关的组合体或对图形进行分解与组合调整。因此对于立体几何试题解读，我们可以利用正（长）方体，解密其命题背景。 【2008辽宁文12】例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线（ ）
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
【背景解密】试题涉及“在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线”的条数，由于线的目标太小，解密试题时，可考虑“在空间中与三条直线都相交的平面”，故解密如下：
如图1，过定直线EF作平面a，交A1D1于点M，交BC于N点，平面a绕EF运动便可知动直线EF均适合条件，故在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条。试题命制时，撤去平面a，保留问题“在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线”有多少条，从而命制本题。
3.课题研究的活动应对接教研
课题研究的活动并不只是高大上的活动，它与教研活动紧密对接。围绕“宜小”“宜近”“宜实”“宜真”的研究素材，如何挖掘其内涵，发挥其作用？如何合理的组织课题研究活动，在课题组成员之间展开讨论、集中智慧、统一认识，进而带动教研组的数学教研？我们主要考虑三个方面的问题。
3.1素材拓展
对素材的研究，其目的不在于出版学术成果，而是寻求对素材所涉及的情景、潜在的价值进行挖掘，解决实际问题，进而形成研究成果，在教研组组内统一认识。围绕课题“高考数学命题与数学教材关系的探究”，我们在校内组织了多场专题报告，主要研究数学教材、数学高考命题技术。
【案例】【源题】点M（x，y）到两个定点M1、M2距离的比是一正数m（m≠1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（轨迹：阿波罗尼斯圆）。
【2015湖北理14】如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2。
【阿波罗尼斯圆衍生问题】
对源题的条件作适当变形，如变两定点中的一个定点为圆，即把到一个定点的距离换成了到定圆的切线长，其余条件不变。
【1994全国文24】已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
对源题条件再作变化，如变两定点为定圆，即把到定点的距离全部换成了到两定圆的切线长，其余条件不变。
将切线长相等改为弦长相等，就有：
【2009江苏18】在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
3.2课例研究
课堂是学生舒展青春、升华生命的主要过程和载体；这一节一节的课堂构成了学生成长、成才、成功的人生历程；构成了学生探索、感悟、升华的生命旅途。如此美好的课堂，教学如何落实课程理念，落实教材编写的意图，努力践行“数学课升华为数学家的思维、教师的思维、学生的思维流动、碰撞的心理场”，这不仅仅落实在新授课的教学中，还要体现在习题的分析上，让数学课更有灵气。
【案例】对单位向量与单位圆的认识。
北师大版数学教材必修4的主要内容讨论三角函数、平面向量及三角恒等变形，教材的编写以单位圆为主线，并贯穿教材的始终。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义是在单位圆中进行的，教材借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容。如：定义域、值域、单调性、周期性等，这些都是旋转“整数周的代数表示”；三角函数的对称性与诱导公式等，这些都是“圆既是中心对称图形，也是轴对称图形的代数表示”，其实质就是圆的几何性质的解析表达。又如，单位圆与单位向量可以建立关系，教材利用单位圆，借助单位向量a=（cos a，sin a），证明了cos（α-β）展开式，并由此出发得到全部三角变换公式。
这样处理，避开了平面向量基本定理的使用，直接将仿射坐标转化为直角坐标处理，化向量问题为解析几何问题，避免繁杂的向量运算，过程简明扼要。
课题所涉及的问题发生在实际的教学实践中，教师通过对问题的研究，解决教学中的实际问题，因此教学带动研究，而研究提升教学的层次。教师通过教学实践和研究，提出解决问题的新策略、新方案，这些也在教学实践中被检验，由此促进课题研究和教学实践不断地循环验证，做到教学与科研不分家，视教学与科研为日常工作。