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【摘 要】学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念，因而在“图形的认识”教学中，帮助学生形成正确的空间表象尤为重要。以“圆的认识”教学为例，通过有针对性的前测活动，关注学生的已有活动经验，使学习过程能够更加贴合学生的学习路径，通过别具匠心的环节设计，引导学生通过观察比较，建立正确的图形表象，借助操作感知，把握圆的本质内涵。
【关键词】圆的认识 图形表象 本质内涵
一、“圆”是什么
（一）教材中的圆
关于圆的严格定义，有一些不同的表述形式，以下列举两种初中教材中圆的定义。静态定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。
小学教材一般没有对圆下严格的定义。以常见的三种版本的教材为例，人教版（见图1）和苏教版（见图2）教材都是直接出示了生活中一些圆形的物体图案（摩天轮、水波纹、光盘、钟面等）引出圆；北师大版（见图3）教材是通过判断“哪种套圈游戏最公平”，凭学生已有的生活经验（每个人到中心的距离相同）引出圆。
（二）学生眼中的圆
“圆”是生活中较为常见的几何图形，但是在生活中，“圆”常常不以本来面目示人。对于低段学生来说，从小就被告知太阳是圆的、地球是圆的，然后就逐渐把“圆”和“球”混淆在一起。后来，又被告知硬币是圆的、纽扣是圆的，又混淆了“稍扁的圆柱形物体”和“圆”。而对于高段学生来说，经常会有老师在教学“分数的认识”的时候，拿着一张圆形纸片说：“把这个圆平均分成……”这时，又把“圆面”和“圆周”混为一谈（虽然圆形纸片严格意义上来说是圆柱形，但这里姑且先看作圆面）。以上这些认识误区都在笔者的预料之中，但也有意料之外的发现，笔者对本校50名学生进行了前测，有22名学生认为椭圆也是圆，经过访谈得知，他们的理由类似于“鲸鱼是鱼，那么椭圆就是圆”。
综上所述，虽然学生对圆非常熟悉，但是熟悉之中却有很多陌生之处，也有很多误解。因此，笔者认为“圆的认识”一课应该重点关注以下两个方面的内容：通过观察比较，建立正确表象；借助操作感知，把握圆的本质。
二、“圆”怎么教
（一）处处渗透，充分对比，建立正确图形表象
1.“圆周”or“圆面”
对于六年级的学生来说，“球”和“圆”的区别自然已经不是问题，但对圆是一条“封闭曲线”还是一个“圆面”这个问题却仍然模棱两可。因此，在本课中应该适时地向学生渗透“圆是一条封闭曲线”这一事实。
【片段一】
课件出示一些生活中的物体（如图4：奔驰车车标、车轮、硬币、方形钟面）。
师：（出示图5）哪些是半径？哪些是直径？（生答略）
师：为什么这些不是呢？
生：这条OB的端点没有在圆上。
师：你能来指一指圆上在哪里吗？（生指圆周）
师：B这个端点不在圆上，那是在哪里呢？
生：圆内。
师：那这条GH呢？
生：H这个端点在圆外。
师：是啊，圆的半径是一条线段，有两个端点，其中一个在圆心，另一个在圆上。
师：那么这条MN为什么不是直径呢？
生：因为它没有通过圆心。
由于生活经验的负迁移，许多学生都会误认为圆周内的部分就是“圆上”。本环节让学生结合直径、半径的定义自主区分圆上、圆内、圆外，进而再次明确“圆是一条封闭曲线”的事实。
2.“静态”and“动态”
如文始所述，圆的定义有静态和动态之分。对于小学生来说，自然不必知晓这两种定义的文字描述，但是我们可以在具体的学习环节中让学生感悟两种定义的区别。
【片段三】
课件出示一些生活中的物体（奔驰车车标、车轮、硬币、方形钟面）。（同片段一）
……
师：（指着方形钟面）这里有圆吗？ 生：没有。
生：有的，如果分针转动一圈就会形成一个圆。
师：大家能想到他说的圆吗？请你上来指给大家看。
生：（用手势指出分针转动后针尖所经过的轨迹）这就是圆。
师：（课件演示分针的动态，抽象出圆）太厉害了，连这样隐藏的圆都被你找到了。
静态的圆容易感知，动态的圆不好发现。为了指向性更加明确，这里特意设计了方形的钟面，逼迫学生排除钟面形状的干扰从另外的角度去寻找圆，进而利用课件动画演示分针转动形成的圆，让学生直观理解动态定义的圆——“在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。”在这里渗透圆的动态定义，让学生通过观察发现随着针尖的转动慢慢形成一个圆，向学生传达了“圆是点的集合”这样一个本质，对于学生建立正确的图形表象大有裨益。
3.“规范” “严谨”
学会画圆是本节课的重要目标之一，在六年级学习画圆之前，学生在生活中已经大量接触过画圆，会用圆形物体的边沿画圆，但是也会有一些认识上的误区，需要纠正，以帮助学生形成正确规范的表象。
【片段四】
师：我们知道了圆是这样的封闭的曲线图形，那么怎样才能把圆画出来呢？
课件依次出示前测结果：
（1）用圆形物体画。
师：怎么用圆形物体来画圆？
生：比如拿一个茶杯盖子，用铅笔描着画圆。
师：大家以前画过吗？
生：画过。
（2）用量角器来画。
师：（出示一个量角器）这个能画圆吗？ ’生：把两个量角器合起来就可以画了。
师：（课件出示两把量角器，如图6）这样能画出一个圆吗？请你试一试。
师：想一想，刚才用这两种方法画圆的过程有什么一样的地方？（生独立思考，同桌交流）
生：在画圆的时候，都有一个点要固定住。
师：这个点在用圆规画圆时是——针尖；在用钉绳工具画圆时是——磁钉。
生：还有这段距离不能变。
师：这段距离在用圆规画圆时是——针尖到笔芯的距离，在用钉绳工具画圆时是——绳子的长度。
师：是啊，通过两种画圆方法的比较，我们知道了画圆就是要先“定点”，再“定长”。（板书：定点、定长）
在比较两种看似不同实则相似的画圆方法的过程中，学生通过观察分析、归纳概括，沟通半径、圆心和画图工具之间的联系，找到了画圆方法的本质——定点、定长。在后续的练习中，也会出现这样的题目——“画一个直径为4cm的圆，那么圆规两脚间的距离是（ ）”，让学生在静态的图像和动态的操作间反复切换，以此来进一步巩固学生对圆的认知，为更好地理解圆的相关知识奠定了基础。
2.细节纠偏，巩固本质
用圆规画圆是最基本的方法，每个学生必须学会。在成人眼中轻而易举的事情，在学生手中却并不如此。在前测中发现学生在操作圆规的时候总有各种各样的问题存在，合理利用学生的典型错误，可以巩固对圆的本质的认知。
【片段六】
学生独立尝试用圆规画几个不同的圆。
师：（出示前测中具有代表性的画得不好的2个圆，如图8）你认为画成这样的原因是什么？
生：第一个是在画的时候，针尖动了一下，所以画不好了。
师：那说明在画圆的时候，针尖——不能动。（板书：针尖固定）
生：第二个是在画的时候圆规的两个脚动了一下。
师：你能上来给大家演示一下是怎么动了一下吗？（生动手演示）
师：圆规的脚这样动了一下，也就是说——圆规两脚间的距离发生了变化。那么在画圆的时候，我们要做到圆规两脚间的距离不能变。（板书：距离不变）
师：（示范用圆规画圆，讲解要点）先在纸上找一个点，用针尖固定，两脚分开一定距离，圆规稍微倾斜，右手捏住把柄旋转一周。
学生再次模仿画圆。
在掌握了用圆规画圆的基本方法后，总能发现学生还会出现错误。笔者基于学生多次画圆的操作经验，回顾前测中出现的问题，通过讨论和分析，发现圆规画圆过程中的问题症结所在，进而再次强化对圆的本质认知，反过来可以规范画圆的方法。
3.首尾呼应，内化本质
在一些学生的已有经验里，“圆”就是光滑的曲线，因此在前测中有超过四成的学生认为椭圆也是圆，以致在课的一开始就出现了“椭圆是特殊的圆”还是“圆是特殊的椭圆”的争论。 【片段七】
师：（课件出示前测数据，如图9）全班所有学生都认为第二个图形是圆，有22人认为第一个图形是圆形。你有什么想法？
师：（出示图10）你认为哪种比赛方式最公平？能用刚学的知识来解释吗？
生：第三种，因为这种方法比赛的时候，每个人和中心的距离都是一样的。
师：（课件演示圆心到圆上的距离相等）这就是墨子说过的“一中同长”，你能说说一中同长指的是什么吗？
生：一中就是指圆心，同长就是指半径或者直径。
师：现在你能来跟那22位同学解释一下为什么椭圆不是圆了吗？
生：因为它的半径不是一样长。
师：假如说椭圆是有半径的，在哪里？（课件出示若干条从椭圆的中心点到椭圆上的线段）一样长吗？
生：不一样长。
师：如果是圆的话，那么这些线段应该是一样长的。
通过直观的游戏，让学生再次巩固圆的本质——到定点的距离等于定长的点的集合，从而与课始的问题首尾呼应，解决了部分学生的疑问，也让学生充分感受到了数学和生活的紧密联系，从而提高学习数学的兴趣。
“圆的认识”这节课已经进行了很多不同角度的研究，一千个教师就有一千种不同的上法，不同的教学设计承载了各自不同的教学意图和教学目标，精彩纷呈，各有所长。本课中，笔者通过有针对性的前测活动，关注学生的已有活动经验，使学习过程能够更加贴合学生的学习路径，通过别具匠心的环节设计，关注知识的本质，使学生形成正确的图形表象，进而深入地感悟概念的内涵。
（浙江省奉化市莼湖镇中心小学 315500）
【关键词】圆的认识 图形表象 本质内涵
一、“圆”是什么
（一）教材中的圆
关于圆的严格定义，有一些不同的表述形式，以下列举两种初中教材中圆的定义。静态定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。
小学教材一般没有对圆下严格的定义。以常见的三种版本的教材为例，人教版（见图1）和苏教版（见图2）教材都是直接出示了生活中一些圆形的物体图案（摩天轮、水波纹、光盘、钟面等）引出圆；北师大版（见图3）教材是通过判断“哪种套圈游戏最公平”，凭学生已有的生活经验（每个人到中心的距离相同）引出圆。
（二）学生眼中的圆
“圆”是生活中较为常见的几何图形，但是在生活中，“圆”常常不以本来面目示人。对于低段学生来说，从小就被告知太阳是圆的、地球是圆的，然后就逐渐把“圆”和“球”混淆在一起。后来，又被告知硬币是圆的、纽扣是圆的，又混淆了“稍扁的圆柱形物体”和“圆”。而对于高段学生来说，经常会有老师在教学“分数的认识”的时候，拿着一张圆形纸片说：“把这个圆平均分成……”这时，又把“圆面”和“圆周”混为一谈（虽然圆形纸片严格意义上来说是圆柱形，但这里姑且先看作圆面）。以上这些认识误区都在笔者的预料之中，但也有意料之外的发现，笔者对本校50名学生进行了前测，有22名学生认为椭圆也是圆，经过访谈得知，他们的理由类似于“鲸鱼是鱼，那么椭圆就是圆”。
综上所述，虽然学生对圆非常熟悉，但是熟悉之中却有很多陌生之处，也有很多误解。因此，笔者认为“圆的认识”一课应该重点关注以下两个方面的内容：通过观察比较，建立正确表象；借助操作感知，把握圆的本质。
二、“圆”怎么教
（一）处处渗透，充分对比，建立正确图形表象
1.“圆周”or“圆面”
对于六年级的学生来说，“球”和“圆”的区别自然已经不是问题，但对圆是一条“封闭曲线”还是一个“圆面”这个问题却仍然模棱两可。因此，在本课中应该适时地向学生渗透“圆是一条封闭曲线”这一事实。
【片段一】
课件出示一些生活中的物体（如图4：奔驰车车标、车轮、硬币、方形钟面）。
师：（出示图5）哪些是半径？哪些是直径？（生答略）
师：为什么这些不是呢？
生：这条OB的端点没有在圆上。
师：你能来指一指圆上在哪里吗？（生指圆周）
师：B这个端点不在圆上，那是在哪里呢？
生：圆内。
师：那这条GH呢？
生：H这个端点在圆外。
师：是啊，圆的半径是一条线段，有两个端点，其中一个在圆心，另一个在圆上。
师：那么这条MN为什么不是直径呢？
生：因为它没有通过圆心。
由于生活经验的负迁移，许多学生都会误认为圆周内的部分就是“圆上”。本环节让学生结合直径、半径的定义自主区分圆上、圆内、圆外，进而再次明确“圆是一条封闭曲线”的事实。
2.“静态”and“动态”
如文始所述，圆的定义有静态和动态之分。对于小学生来说，自然不必知晓这两种定义的文字描述，但是我们可以在具体的学习环节中让学生感悟两种定义的区别。
【片段三】
课件出示一些生活中的物体（奔驰车车标、车轮、硬币、方形钟面）。（同片段一）
……
师：（指着方形钟面）这里有圆吗？ 生：没有。
生：有的，如果分针转动一圈就会形成一个圆。
师：大家能想到他说的圆吗？请你上来指给大家看。
生：（用手势指出分针转动后针尖所经过的轨迹）这就是圆。
师：（课件演示分针的动态，抽象出圆）太厉害了，连这样隐藏的圆都被你找到了。
静态的圆容易感知，动态的圆不好发现。为了指向性更加明确，这里特意设计了方形的钟面，逼迫学生排除钟面形状的干扰从另外的角度去寻找圆，进而利用课件动画演示分针转动形成的圆，让学生直观理解动态定义的圆——“在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。”在这里渗透圆的动态定义，让学生通过观察发现随着针尖的转动慢慢形成一个圆，向学生传达了“圆是点的集合”这样一个本质，对于学生建立正确的图形表象大有裨益。
3.“规范” “严谨”
学会画圆是本节课的重要目标之一，在六年级学习画圆之前，学生在生活中已经大量接触过画圆，会用圆形物体的边沿画圆，但是也会有一些认识上的误区，需要纠正，以帮助学生形成正确规范的表象。
【片段四】
师：我们知道了圆是这样的封闭的曲线图形，那么怎样才能把圆画出来呢？
课件依次出示前测结果：
（1）用圆形物体画。
师：怎么用圆形物体来画圆？
生：比如拿一个茶杯盖子，用铅笔描着画圆。
师：大家以前画过吗？
生：画过。
（2）用量角器来画。
师：（出示一个量角器）这个能画圆吗？ ’生：把两个量角器合起来就可以画了。
师：（课件出示两把量角器，如图6）这样能画出一个圆吗？请你试一试。
师：想一想，刚才用这两种方法画圆的过程有什么一样的地方？（生独立思考，同桌交流）
生：在画圆的时候，都有一个点要固定住。
师：这个点在用圆规画圆时是——针尖；在用钉绳工具画圆时是——磁钉。
生：还有这段距离不能变。
师：这段距离在用圆规画圆时是——针尖到笔芯的距离，在用钉绳工具画圆时是——绳子的长度。
师：是啊，通过两种画圆方法的比较，我们知道了画圆就是要先“定点”，再“定长”。（板书：定点、定长）
在比较两种看似不同实则相似的画圆方法的过程中，学生通过观察分析、归纳概括，沟通半径、圆心和画图工具之间的联系，找到了画圆方法的本质——定点、定长。在后续的练习中，也会出现这样的题目——“画一个直径为4cm的圆，那么圆规两脚间的距离是（ ）”，让学生在静态的图像和动态的操作间反复切换，以此来进一步巩固学生对圆的认知，为更好地理解圆的相关知识奠定了基础。
2.细节纠偏，巩固本质
用圆规画圆是最基本的方法，每个学生必须学会。在成人眼中轻而易举的事情，在学生手中却并不如此。在前测中发现学生在操作圆规的时候总有各种各样的问题存在，合理利用学生的典型错误，可以巩固对圆的本质的认知。
【片段六】
学生独立尝试用圆规画几个不同的圆。
师：（出示前测中具有代表性的画得不好的2个圆，如图8）你认为画成这样的原因是什么？
生：第一个是在画的时候，针尖动了一下，所以画不好了。
师：那说明在画圆的时候，针尖——不能动。（板书：针尖固定）
生：第二个是在画的时候圆规的两个脚动了一下。
师：你能上来给大家演示一下是怎么动了一下吗？（生动手演示）
师：圆规的脚这样动了一下，也就是说——圆规两脚间的距离发生了变化。那么在画圆的时候，我们要做到圆规两脚间的距离不能变。（板书：距离不变）
师：（示范用圆规画圆，讲解要点）先在纸上找一个点，用针尖固定，两脚分开一定距离，圆规稍微倾斜，右手捏住把柄旋转一周。
学生再次模仿画圆。
在掌握了用圆规画圆的基本方法后，总能发现学生还会出现错误。笔者基于学生多次画圆的操作经验，回顾前测中出现的问题，通过讨论和分析，发现圆规画圆过程中的问题症结所在，进而再次强化对圆的本质认知，反过来可以规范画圆的方法。
3.首尾呼应，内化本质
在一些学生的已有经验里，“圆”就是光滑的曲线，因此在前测中有超过四成的学生认为椭圆也是圆，以致在课的一开始就出现了“椭圆是特殊的圆”还是“圆是特殊的椭圆”的争论。 【片段七】
师：（课件出示前测数据，如图9）全班所有学生都认为第二个图形是圆，有22人认为第一个图形是圆形。你有什么想法？
师：（出示图10）你认为哪种比赛方式最公平？能用刚学的知识来解释吗？
生：第三种，因为这种方法比赛的时候，每个人和中心的距离都是一样的。
师：（课件演示圆心到圆上的距离相等）这就是墨子说过的“一中同长”，你能说说一中同长指的是什么吗？
生：一中就是指圆心，同长就是指半径或者直径。
师：现在你能来跟那22位同学解释一下为什么椭圆不是圆了吗？
生：因为它的半径不是一样长。
师：假如说椭圆是有半径的，在哪里？（课件出示若干条从椭圆的中心点到椭圆上的线段）一样长吗？
生：不一样长。
师：如果是圆的话，那么这些线段应该是一样长的。
通过直观的游戏，让学生再次巩固圆的本质——到定点的距离等于定长的点的集合，从而与课始的问题首尾呼应，解决了部分学生的疑问，也让学生充分感受到了数学和生活的紧密联系，从而提高学习数学的兴趣。
“圆的认识”这节课已经进行了很多不同角度的研究，一千个教师就有一千种不同的上法，不同的教学设计承载了各自不同的教学意图和教学目标，精彩纷呈，各有所长。本课中，笔者通过有针对性的前测活动，关注学生的已有活动经验，使学习过程能够更加贴合学生的学习路径，通过别具匠心的环节设计，关注知识的本质，使学生形成正确的图形表象，进而深入地感悟概念的内涵。
（浙江省奉化市莼湖镇中心小学 315500）