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摘 要： 作者结合多年《概率论与数理统计》课程教学的经验及对翻转课堂教学方法的研究，在现有教学中加入引导学生自己学会分析问题和解决实际问题课程的环节，并且以二维随机变量函数的分布为例，说明翻转课堂模式在教学中如何实施。
关键词： 《概率论与数理统计》 教学方法 翻转课堂
一、引言
《概率论与数理统计》是工科专业的必修课，它的知识点较多，概念抽象，虽然实际应用广泛，但是学生普遍感觉不好理解，不好学习。现有的课堂教学还是以老师讲解、学生记录为主，大部分学生都是被动学习，时间长了就会产生厌学情绪。因此，需要引入新的教学方法，调动学生自主学习的积极性，同时也适应大学教学的潮流与趋势。
翻转课堂是从英语“Flipped Class Model”翻译过来的术语，一般被称为“翻转课堂式教学模式”。互联网技术的飞速发展，使得学生的学习不仅仅局限在书本上，还大大拓展学生获取知识的途径和方法，为学生在课前自己学习创造物质条件。所以教师怎么引导学生利用好互联网教育资源为我所用成了关键。因此，教师的角色发生变化，或者说教师如何在课堂引导学生将课下自己学到的知识点在课堂上进行表达成了关键，同时也可以在课堂上面对自学产生的问题进行分组讨论，最后引导学生自己解决。
二、翻转课堂教学法
1.翻转课堂教学法的特点
教学视频要主题明确，信息清楚。一个视频注重一个关键问题，或者说是引导学生思考，自己寻求答案。教师不仅要课前制作视频，在课堂上也要引导学生自己讲解知识点，鼓励学生发表自己的见解和看法。翻转课堂与传统教学最大的区别是，传统教学往往是一章，或者几章结束才有测试的过程。而翻转课堂学生观看了教学视频之后，是否理解了学习内容，视频后面紧跟着的四五个小问题可以帮助学生及时检测，并对自己的学习情况作出判断。如果发现几个问题回答得不好，学生可以回过头来再看一遍，仔细思考哪些方面出了问题。学生对问题的回答情况，能够及时地通过云平台进行汇总处理，帮助教师了解学生的学习状况。教学视频另一个优点，是便于学生一段时间学习之后的复习和巩固。评价技术的跟进，使得学生学习的相关环节得到实证性的资料，有利于教师真正了解学生。
2.翻转课堂教学法的实施步骤
翻转课堂教学法具体实施分成三个步骤：
（1）课前准备：教师在课前录制引导学生自学的视频，将上课要介绍的知识列举出来，讲解清楚，要求学生自己观看视频弄清楚知识点，并把不理解的问题记录下来，以便课堂讨论。
（2）课堂讨论：学生对自己反复观看视频仍然不能明白的地方，在课堂上与其他学生交流或者向老师提问，由老师答疑解惑，从而把课堂由过去的无差别的集体学习变成针对性的辅导，体现学生的个体差异，从而改变传统课堂的“一言堂”模式。
（3）课后测评：对于学生的学习效果进行测评，一方面测评学生的学习效果，另一方面是对教学资料的一次测试，对于那些大部分学生通过讲解仍然无法明白的知识点，就要改变讲解的方式，更新讲解视频和测试方式。
三、翻转课堂教学法实例
对于翻转课堂教学方法学习以后，觉得要把它引入《概率论与数理统计》课程教学中。我选取了二维随机变量函数的分布这个部分進行实践，因为在教学中发现学生对这个部分不好理解掌握不是很好。二维随机变量分成离散型和连续型，离散型随机变量比较简单。在课前先录制视频要求大家理解两个随机变量的函数仍然是一个随机变量，确定分布要分离散型和连续型。就离散型的分布关键就是求分布律，同时要求大家就二维离散型随机变量的问题在分布律的表格上找规律。比如：
设（X，Y）的分布律如下，求（1）V=max（X，Y）的分布律；（2）U=min（X，Y）的分布律；（3）W=X Y的分布律。
这个题目有三个问题，可以讲解第一小题，引导学生自己找规律。求V=max（X，Y）的分布律，先要确定V的取值为0、1、2、3、4、5，再求取每个值的概率。当V=0时，只有X=0，Y=0一种情况；当V=1时，有X=0，Y=1；X=1，Y=0和X=1，Y=1三种情况；这样一直下去，可能有学生觉得往下继续又麻烦又容易出错，因此不要大家把所有情况写出来，只要求把刚才取的值划在图表上找规律，如下图将画线部分的概率加起来就是取每个值的概率。
发现二维离散型随机变量简单函数的分布可以在表格上通过画线的方式轻松求出来。第一个讲解完了之后布置给学生自己研究后面两个函数的分布如何通过这种在图表上面画线的方法得出。这样可以引导学生通过自己动手找规律，加深对知识点的理解。
四、结语
翻转课堂教学法是一个新兴的教学模式，当然在教学实践中会存在一些问题。现在的大学生往往习惯在中学里教师满堂灌的模式，自己主动学习能力弱，这就要求教师多想办法，多制作一些吸引学生课前学习的视频。有的教师可能觉得《概率论与数理统计》教学任务重，课时少，不可能花很多时间在课堂讨论上。但是我认为新兴的事物都有个适应的过程，我们可以在现有不完全放弃传统教学模式的基础上，在每一章或者拿出几次课让学生自己讨论。慢慢地，不仅学生而且教师，都熟悉翻转课堂教学方法，使得课堂教学更多样化，调动学生的积极性。
参考文献：
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.
[2]陈希孺.数理统计学简史[M].长沙：湖南教育出版社，2000.
[3]何朝阳，欧玉芳，曹祁.美国大学翻转课堂教学模式的启示[J].高等工程教育研究，2014（02）.
关键词： 《概率论与数理统计》 教学方法 翻转课堂
一、引言
《概率论与数理统计》是工科专业的必修课，它的知识点较多，概念抽象，虽然实际应用广泛，但是学生普遍感觉不好理解，不好学习。现有的课堂教学还是以老师讲解、学生记录为主，大部分学生都是被动学习，时间长了就会产生厌学情绪。因此，需要引入新的教学方法，调动学生自主学习的积极性，同时也适应大学教学的潮流与趋势。
翻转课堂是从英语“Flipped Class Model”翻译过来的术语，一般被称为“翻转课堂式教学模式”。互联网技术的飞速发展，使得学生的学习不仅仅局限在书本上，还大大拓展学生获取知识的途径和方法，为学生在课前自己学习创造物质条件。所以教师怎么引导学生利用好互联网教育资源为我所用成了关键。因此，教师的角色发生变化，或者说教师如何在课堂引导学生将课下自己学到的知识点在课堂上进行表达成了关键，同时也可以在课堂上面对自学产生的问题进行分组讨论，最后引导学生自己解决。
二、翻转课堂教学法
1.翻转课堂教学法的特点
教学视频要主题明确，信息清楚。一个视频注重一个关键问题，或者说是引导学生思考，自己寻求答案。教师不仅要课前制作视频，在课堂上也要引导学生自己讲解知识点，鼓励学生发表自己的见解和看法。翻转课堂与传统教学最大的区别是，传统教学往往是一章，或者几章结束才有测试的过程。而翻转课堂学生观看了教学视频之后，是否理解了学习内容，视频后面紧跟着的四五个小问题可以帮助学生及时检测，并对自己的学习情况作出判断。如果发现几个问题回答得不好，学生可以回过头来再看一遍，仔细思考哪些方面出了问题。学生对问题的回答情况，能够及时地通过云平台进行汇总处理，帮助教师了解学生的学习状况。教学视频另一个优点，是便于学生一段时间学习之后的复习和巩固。评价技术的跟进，使得学生学习的相关环节得到实证性的资料，有利于教师真正了解学生。
2.翻转课堂教学法的实施步骤
翻转课堂教学法具体实施分成三个步骤：
（1）课前准备：教师在课前录制引导学生自学的视频，将上课要介绍的知识列举出来，讲解清楚，要求学生自己观看视频弄清楚知识点，并把不理解的问题记录下来，以便课堂讨论。
（2）课堂讨论：学生对自己反复观看视频仍然不能明白的地方，在课堂上与其他学生交流或者向老师提问，由老师答疑解惑，从而把课堂由过去的无差别的集体学习变成针对性的辅导，体现学生的个体差异，从而改变传统课堂的“一言堂”模式。
（3）课后测评：对于学生的学习效果进行测评，一方面测评学生的学习效果，另一方面是对教学资料的一次测试，对于那些大部分学生通过讲解仍然无法明白的知识点，就要改变讲解的方式，更新讲解视频和测试方式。
三、翻转课堂教学法实例
对于翻转课堂教学方法学习以后，觉得要把它引入《概率论与数理统计》课程教学中。我选取了二维随机变量函数的分布这个部分進行实践，因为在教学中发现学生对这个部分不好理解掌握不是很好。二维随机变量分成离散型和连续型，离散型随机变量比较简单。在课前先录制视频要求大家理解两个随机变量的函数仍然是一个随机变量，确定分布要分离散型和连续型。就离散型的分布关键就是求分布律，同时要求大家就二维离散型随机变量的问题在分布律的表格上找规律。比如：
设（X，Y）的分布律如下，求（1）V=max（X，Y）的分布律；（2）U=min（X，Y）的分布律；（3）W=X Y的分布律。
这个题目有三个问题，可以讲解第一小题，引导学生自己找规律。求V=max（X，Y）的分布律，先要确定V的取值为0、1、2、3、4、5，再求取每个值的概率。当V=0时，只有X=0，Y=0一种情况；当V=1时，有X=0，Y=1；X=1，Y=0和X=1，Y=1三种情况；这样一直下去，可能有学生觉得往下继续又麻烦又容易出错，因此不要大家把所有情况写出来，只要求把刚才取的值划在图表上找规律，如下图将画线部分的概率加起来就是取每个值的概率。
发现二维离散型随机变量简单函数的分布可以在表格上通过画线的方式轻松求出来。第一个讲解完了之后布置给学生自己研究后面两个函数的分布如何通过这种在图表上面画线的方法得出。这样可以引导学生通过自己动手找规律，加深对知识点的理解。
四、结语
翻转课堂教学法是一个新兴的教学模式，当然在教学实践中会存在一些问题。现在的大学生往往习惯在中学里教师满堂灌的模式，自己主动学习能力弱，这就要求教师多想办法，多制作一些吸引学生课前学习的视频。有的教师可能觉得《概率论与数理统计》教学任务重，课时少，不可能花很多时间在课堂讨论上。但是我认为新兴的事物都有个适应的过程，我们可以在现有不完全放弃传统教学模式的基础上，在每一章或者拿出几次课让学生自己讨论。慢慢地，不仅学生而且教师，都熟悉翻转课堂教学方法，使得课堂教学更多样化，调动学生的积极性。
参考文献：
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.
[2]陈希孺.数理统计学简史[M].长沙：湖南教育出版社，2000.
[3]何朝阳，欧玉芳，曹祁.美国大学翻转课堂教学模式的启示[J].高等工程教育研究，2014（02）.