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【摘要】本文探讨了如何设计适合本科生教育的微分概念的微课程，主旨是激发学生的学习兴趣；提高学习效率；引导学生深入理解微分的本质；运用信息技术，提升学生自主学；解决学生时间碎片化的问题。
【关键词】微分 高等数学 微课程 教学设计
【基金项目】贵州医科大学教学工程项目。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）47-0124-02
高等数学具有知识点多、内容严谨且逻辑性强的特点；是后续课程学习的理论基础；对培养学生提出、分析，解决问题的能力和逻辑思维锻炼有重要作用。因此，教育工作者一直致力于研究高等数学的教学模式改革与教学方法创新。目前，越来越多的教师参与到了微课程的设计与研究中，积极推动了高等数学的教学模式改革，高校也兴起了微课程设计热潮。在高等数学教学设计微分的微课程时，笔者采取了下面的思路：
一、情景设计，趣味引入
引例：摆钟的钟摆受温度变化会发生热胀冷缩现象，从而影响摆钟的精确程度。问钟摆的摆长在冬季缩短0.01cm，这样将使摆钟产生多大的误差？
以热胀冷缩现象为背景，提出一个日常生活中的问题，这样的引入方式能够吸引学生的注意力，增加趣味性，激发学生的学习兴趣并深入探索，更能体现高等数学中很多概念来源于实际的本质，纠正高等数学脱离实际的错误认识。热胀冷缩现象是常识性知识，随着气温的变化，计算结果会受到影响，内容相对容易理解。
二、概念剖析，严谨解读
微分是微积分学中的概念之一，该知识点与前后内容有重要联系。目前，笔者使用的教材为同济大学数学系主编的《高等数学（第七版）》。该教材已经经历多次修订，内容严谨，但学生自学时受知识面的限制，难以从本质上理解微分的概念。如果按照正常顺序陈述的方式，学生经常死记硬背定义，甚至不知道如何应用。
考虑以上原因，笔者在讲授时，以定义式Δy=AΔx+ο（Δx）为出发点，即函数值增量等于自变量增量的线性形式加上自变量的高阶无穷小。由定义式可知，f（x0）和f（x0+Δx）需都有意义。所以，微分的定义要求函数y=f（x）要在x0的某个领域内有定义。还要强调：线性主部中的常数A与自变量增量无关，否则就不是线性形式。
本微课程旨在教会学生学习概念性知识点的方法——先记忆定义式，再分析前提条件。定义式的记忆难度远远小于直接背诵教材上的定义。由定义式分析出所有条件，可以实现理解记忆的目的。此外，只有熟记定义式，学生才能够分析明确微分与其它概念之间的联系。
三、引导思考，详细推理
问题：在一元函数中，导数与微分是什么关系？
方法：问题式教学法。
提示： 从导数和微分的本质出发，在PPT中呈现导数定义式与微分定义式。
结论：对于一元函数，可导与可微等价，且dy=f′（x0）dx，导数 =f′（x0）称为微商。
四、概念回归，注重应用
高等数学来源于实际，反过来又应用到实际生产生活。将概念回归到引例，可以帮助学生深化对概念的理解。同时，用微分解决实际问题，也体现了微分在生产实际与科学研究方面的重要应用，例如近似计算Δy≈f′（x0）Δx。
由于时钟摆动的周期是1秒钟，一个周期的误差为
ΔT≈dT=T′（l0）·Δl= ·Δl= ×（-0.0001）≈-0.0002（s）
那么，一天的誤差就是60×60×24×0.0002=17.28（s）
微课程具有时间短、内容精炼的特点。受时间限制，课堂仅介绍函数值增量的近似计算，提醒学生微分还可以用来近似计算x0点附近的函数值。
最后需要指出微分近似计算的优缺点，微分的应用是线性近似计算，也就是用一次函数近似代替函数值或者函数值的增量，而线性近似的程度有时并不能够满足问题的精确度要求，所以学生后续还会学习用高次多项式做近似计算的问题——泰勒公式，以此激发学生对后续内容的探索兴趣。
五、梳理内容，归纳小结
在微课程的设计中，小结部分可以起到进一步巩固知识点、总结规律的作用。这部分以板书形式给出，通过粉笔字突出重难点，让学生一目了然。布置微分这节课的典型题目，包括微分计算、近似计算，所有题目在PPT上给出。
思考题：导数与微分的几何意义的区别是什么？
结语
本次微课程设计，借助信息技术手段录制内容丰富、节奏紧凑的短视频。视频中用到了PPT与板书，没有完全抛弃传统的教学手段。多媒体教学能够节省教学时间，加大信息量；板书呈现知识点可以给学生更加直观的感受，容易记住重难点。该微课程涉及到“情境引入，概念讲解，严谨推演，现实应用，内容归纳”五个环节，内容承上启下；能够实现引导学生思考，提升自主学习能力的目标。
参考文献：
[1]同济大学数学系. 高等数学[M]. 高等教育出版社，2007年4月.
作者简介：
秦丹丹（1982—），女，汉族，黑龙江省齐齐哈尔人，空军航空大学，讲师，硕士，主要从事微分方程数值解研究。
黄文竹（1983—），女，汉族，黑龙江省哈尔滨人，贵州医科大学，副教授，博士，主要从事微分方程数值解研究。
【关键词】微分 高等数学 微课程 教学设计
【基金项目】贵州医科大学教学工程项目。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）47-0124-02
高等数学具有知识点多、内容严谨且逻辑性强的特点；是后续课程学习的理论基础；对培养学生提出、分析，解决问题的能力和逻辑思维锻炼有重要作用。因此，教育工作者一直致力于研究高等数学的教学模式改革与教学方法创新。目前，越来越多的教师参与到了微课程的设计与研究中，积极推动了高等数学的教学模式改革，高校也兴起了微课程设计热潮。在高等数学教学设计微分的微课程时，笔者采取了下面的思路：
一、情景设计，趣味引入
引例：摆钟的钟摆受温度变化会发生热胀冷缩现象，从而影响摆钟的精确程度。问钟摆的摆长在冬季缩短0.01cm，这样将使摆钟产生多大的误差？
以热胀冷缩现象为背景，提出一个日常生活中的问题，这样的引入方式能够吸引学生的注意力，增加趣味性，激发学生的学习兴趣并深入探索，更能体现高等数学中很多概念来源于实际的本质，纠正高等数学脱离实际的错误认识。热胀冷缩现象是常识性知识，随着气温的变化，计算结果会受到影响，内容相对容易理解。
二、概念剖析，严谨解读
微分是微积分学中的概念之一，该知识点与前后内容有重要联系。目前，笔者使用的教材为同济大学数学系主编的《高等数学（第七版）》。该教材已经经历多次修订，内容严谨，但学生自学时受知识面的限制，难以从本质上理解微分的概念。如果按照正常顺序陈述的方式，学生经常死记硬背定义，甚至不知道如何应用。
考虑以上原因，笔者在讲授时，以定义式Δy=AΔx+ο（Δx）为出发点，即函数值增量等于自变量增量的线性形式加上自变量的高阶无穷小。由定义式可知，f（x0）和f（x0+Δx）需都有意义。所以，微分的定义要求函数y=f（x）要在x0的某个领域内有定义。还要强调：线性主部中的常数A与自变量增量无关，否则就不是线性形式。
本微课程旨在教会学生学习概念性知识点的方法——先记忆定义式，再分析前提条件。定义式的记忆难度远远小于直接背诵教材上的定义。由定义式分析出所有条件，可以实现理解记忆的目的。此外，只有熟记定义式，学生才能够分析明确微分与其它概念之间的联系。
三、引导思考，详细推理
问题：在一元函数中，导数与微分是什么关系？
方法：问题式教学法。
提示： 从导数和微分的本质出发，在PPT中呈现导数定义式与微分定义式。
结论：对于一元函数，可导与可微等价，且dy=f′（x0）dx，导数 =f′（x0）称为微商。
四、概念回归，注重应用
高等数学来源于实际，反过来又应用到实际生产生活。将概念回归到引例，可以帮助学生深化对概念的理解。同时，用微分解决实际问题，也体现了微分在生产实际与科学研究方面的重要应用，例如近似计算Δy≈f′（x0）Δx。
由于时钟摆动的周期是1秒钟，一个周期的误差为
ΔT≈dT=T′（l0）·Δl= ·Δl= ×（-0.0001）≈-0.0002（s）
那么，一天的誤差就是60×60×24×0.0002=17.28（s）
微课程具有时间短、内容精炼的特点。受时间限制，课堂仅介绍函数值增量的近似计算，提醒学生微分还可以用来近似计算x0点附近的函数值。
最后需要指出微分近似计算的优缺点，微分的应用是线性近似计算，也就是用一次函数近似代替函数值或者函数值的增量，而线性近似的程度有时并不能够满足问题的精确度要求，所以学生后续还会学习用高次多项式做近似计算的问题——泰勒公式，以此激发学生对后续内容的探索兴趣。
五、梳理内容，归纳小结
在微课程的设计中，小结部分可以起到进一步巩固知识点、总结规律的作用。这部分以板书形式给出，通过粉笔字突出重难点，让学生一目了然。布置微分这节课的典型题目，包括微分计算、近似计算，所有题目在PPT上给出。
思考题：导数与微分的几何意义的区别是什么？
结语
本次微课程设计，借助信息技术手段录制内容丰富、节奏紧凑的短视频。视频中用到了PPT与板书，没有完全抛弃传统的教学手段。多媒体教学能够节省教学时间，加大信息量；板书呈现知识点可以给学生更加直观的感受，容易记住重难点。该微课程涉及到“情境引入，概念讲解，严谨推演，现实应用，内容归纳”五个环节，内容承上启下；能够实现引导学生思考，提升自主学习能力的目标。
参考文献：
[1]同济大学数学系. 高等数学[M]. 高等教育出版社，2007年4月.
作者简介：
秦丹丹（1982—），女，汉族，黑龙江省齐齐哈尔人，空军航空大学，讲师，硕士，主要从事微分方程数值解研究。
黄文竹（1983—），女，汉族，黑龙江省哈尔滨人，贵州医科大学，副教授，博士，主要从事微分方程数值解研究。