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《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)指出:“数学教学应该从学生已有生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径,也为解决现实问题提供重要工具,可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。因此,在数学教学活动中,教师应采取有效措施,加强数学建模思想的渗透。现结合自己的教学实践,谈谈具体做法。
一、提供概念例证,建构数学模型,理解数学概念,感知数学建模的意义
在概念教学过程中,教师要以学生的感性经验为基础,提供大量的能反映概念本质属性的例证来创设课堂教学情境;引导学生对这些具体例证进行分析、归纳、抽象,摒弃与数学无关的具体情节,抽象出本质属性,建立数学模型;再把这一模型推广到同类事物之中,让学生进行不断的选择、判断,获得数学概念,感知数学建模的意义。
案例1 “正比例的意义”教学片断
(一)研究具体事例
1.课件展示例1,进行例1的教学。
例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表:
师:表中有哪几种量?
生:时间、路程。
师:当时间是1时时,路程是多少?当时间是2时时,路程是多少?……这说明时间这种量变化了,路程这种量怎么样了?
生:当时间是1时时,路程是90千米;当时间是2时时,路程是180千米……说明时间这种量变化了,路程这种量也随着变化。
师:像这样一种量变化另一种量也随着变化,我们就说这两种量是相关联的量,时间和路程是两种相关联的量。那么,路程是怎样随着时间变化而变化的呢?
教师指着表格,进行从左到右和从右到左观察,回答。
师:路程随着时间的变化而变化,时间扩大,路程也随着扩大;时间缩小,路程也随着缩小。扩大、缩小的规律是什么?
让每位同学选一组相对应的数据,计算比值。教师板书:90∶1=90,180∶2=90;270∶3=90……
师:请同学们观察这些比和比值,看有什么规律?
生:相对应的两个数的比值一定,都是90。
师:比值是90,实际是火车的什么?你能将这些式子表示的意义写成一个关系式吗?
生:路程∶时间=速度(一定)
小结:路程和时间是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,路程和时间的变化规律是:路程∶时间=速度(一定)。
2.课件展示例2,进行例2的教学。(略)
(二)抽象概括正比例的意义
师:请同学们比较一下刚才这两个例题,回答:
1.都有几种量?
2.这两种量有没有联系?
3.这两种量的比值是怎样?
学生经过分析、思考、比较后,逐一回答上述问题。进而总结出上述两个例子的共同特点:都是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的比值(商)一定,像这样的两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
接着教师问:如果我们用字母x、y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值,你能将正比例关系用字母表示出来吗?
生:y∶x=k(一定)
在这个课例中,教师出示两个具体事例,让学生观察、计算、分析、比较、归纳,从不同的事例中抽象出反映数学问题的本质特征,再概括正比例的意义,数学表达式为y∶x=k(一定)。这个过程实际上是将实际问题进行数学“形式化”的过程,建立数学模型的过程。
二、以学生原有知识为基础,与例证相结合,建构数学模型,理解数学规则,让学生逐步形成数学建模的技能
教学时,教师要引导学生回忆原有的与新知识相关的知识,立足最近发展区,激活学生原认知结构;提供能表现新规则内容实质的例子,例证尽量涵盖各种典型类别;引导学生对例证进行分析、比较,抽象、概括出新规则,达成数学“形式化”,建立数学模型;再利用正反例,帮助学生明确规则条件、适用范围,进一步理解规则。通过这种教学,有效渗透数学建模思想,让学生逐步形成数学建模技能,提高建模能力。
案例2“长方形面积计算”教学片段
师:我们已经知道,长方形的面积就是指长方形含有的面积单位数,所以求长方形的面积就是求长方形所含有的面积单位数。
下面我们用1平方厘米的面积单位来研究长方形的面积的计算方法。
1.教师拿出12个1平方厘米的面积单位,请同学们摆一摆,可以拼成几种不同的长方形?它们的长、宽和面积各是多少?
学生通过讨论、交流、拼摆得出:一是长是12厘米,宽1厘米,面积是12平方厘米;二是长是6厘米,宽2厘米,面积是12平方厘米;三是长是4厘米,宽3厘米,面积是12平方厘米。并且长、宽是数出来的,面积也是数长方形内有多少个1平方厘米的面积单位数。
2.这里有一个长5厘米,宽3厘米的长方形,它的面积是多少呢?
生1:将这个长方形分成1平方厘米的小方格,分成多少个这样的小方格,它的面积就是多少。我分后一个一个的数是15个,所以它的面积是15平方厘米。
生2:我也分成1平方厘米的小方格,我分后5个5个的数是15个,所以它的面积是15平方厘米。
生3:我是用5×3=15算出来的。
师:用乘法算的根据是:因为“每行有5个小方块,共有3行”,所以总共有15个小方块,即面积是15平方厘米。
师:要知道每行5个小方块,共有3行,是不是非得把长方形分成小方格不可呢?
生:只要用长度单位厘米量一量长方形的长与宽就可以了,长有几厘米就有几个小方块,宽有几厘米就有几行,它们相乘的积就是长方形的面积。
3.总结长方形面积公式:长方形的面积=长×宽
在此例中,教师提示了前提性知识后,让学生自己拼摆长方形,生成多种例子,丰富学生感知;其次引导学生求长方形的面积:学生采取直接计量法,1个1个的数、5个5个数方格,经历知识形成过程,深入理解知识;最后概括出长方形的面积公式,形成数学模型。
一、提供概念例证,建构数学模型,理解数学概念,感知数学建模的意义
在概念教学过程中,教师要以学生的感性经验为基础,提供大量的能反映概念本质属性的例证来创设课堂教学情境;引导学生对这些具体例证进行分析、归纳、抽象,摒弃与数学无关的具体情节,抽象出本质属性,建立数学模型;再把这一模型推广到同类事物之中,让学生进行不断的选择、判断,获得数学概念,感知数学建模的意义。
案例1 “正比例的意义”教学片断
(一)研究具体事例
1.课件展示例1,进行例1的教学。
例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表:
师:表中有哪几种量?
生:时间、路程。
师:当时间是1时时,路程是多少?当时间是2时时,路程是多少?……这说明时间这种量变化了,路程这种量怎么样了?
生:当时间是1时时,路程是90千米;当时间是2时时,路程是180千米……说明时间这种量变化了,路程这种量也随着变化。
师:像这样一种量变化另一种量也随着变化,我们就说这两种量是相关联的量,时间和路程是两种相关联的量。那么,路程是怎样随着时间变化而变化的呢?
教师指着表格,进行从左到右和从右到左观察,回答。
师:路程随着时间的变化而变化,时间扩大,路程也随着扩大;时间缩小,路程也随着缩小。扩大、缩小的规律是什么?
让每位同学选一组相对应的数据,计算比值。教师板书:90∶1=90,180∶2=90;270∶3=90……
师:请同学们观察这些比和比值,看有什么规律?
生:相对应的两个数的比值一定,都是90。
师:比值是90,实际是火车的什么?你能将这些式子表示的意义写成一个关系式吗?
生:路程∶时间=速度(一定)
小结:路程和时间是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,路程和时间的变化规律是:路程∶时间=速度(一定)。
2.课件展示例2,进行例2的教学。(略)
(二)抽象概括正比例的意义
师:请同学们比较一下刚才这两个例题,回答:
1.都有几种量?
2.这两种量有没有联系?
3.这两种量的比值是怎样?
学生经过分析、思考、比较后,逐一回答上述问题。进而总结出上述两个例子的共同特点:都是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的比值(商)一定,像这样的两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
接着教师问:如果我们用字母x、y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值,你能将正比例关系用字母表示出来吗?
生:y∶x=k(一定)
在这个课例中,教师出示两个具体事例,让学生观察、计算、分析、比较、归纳,从不同的事例中抽象出反映数学问题的本质特征,再概括正比例的意义,数学表达式为y∶x=k(一定)。这个过程实际上是将实际问题进行数学“形式化”的过程,建立数学模型的过程。
二、以学生原有知识为基础,与例证相结合,建构数学模型,理解数学规则,让学生逐步形成数学建模的技能
教学时,教师要引导学生回忆原有的与新知识相关的知识,立足最近发展区,激活学生原认知结构;提供能表现新规则内容实质的例子,例证尽量涵盖各种典型类别;引导学生对例证进行分析、比较,抽象、概括出新规则,达成数学“形式化”,建立数学模型;再利用正反例,帮助学生明确规则条件、适用范围,进一步理解规则。通过这种教学,有效渗透数学建模思想,让学生逐步形成数学建模技能,提高建模能力。
案例2“长方形面积计算”教学片段
师:我们已经知道,长方形的面积就是指长方形含有的面积单位数,所以求长方形的面积就是求长方形所含有的面积单位数。
下面我们用1平方厘米的面积单位来研究长方形的面积的计算方法。
1.教师拿出12个1平方厘米的面积单位,请同学们摆一摆,可以拼成几种不同的长方形?它们的长、宽和面积各是多少?
学生通过讨论、交流、拼摆得出:一是长是12厘米,宽1厘米,面积是12平方厘米;二是长是6厘米,宽2厘米,面积是12平方厘米;三是长是4厘米,宽3厘米,面积是12平方厘米。并且长、宽是数出来的,面积也是数长方形内有多少个1平方厘米的面积单位数。
2.这里有一个长5厘米,宽3厘米的长方形,它的面积是多少呢?
生1:将这个长方形分成1平方厘米的小方格,分成多少个这样的小方格,它的面积就是多少。我分后一个一个的数是15个,所以它的面积是15平方厘米。
生2:我也分成1平方厘米的小方格,我分后5个5个的数是15个,所以它的面积是15平方厘米。
生3:我是用5×3=15算出来的。
师:用乘法算的根据是:因为“每行有5个小方块,共有3行”,所以总共有15个小方块,即面积是15平方厘米。
师:要知道每行5个小方块,共有3行,是不是非得把长方形分成小方格不可呢?
生:只要用长度单位厘米量一量长方形的长与宽就可以了,长有几厘米就有几个小方块,宽有几厘米就有几行,它们相乘的积就是长方形的面积。
3.总结长方形面积公式:长方形的面积=长×宽
在此例中,教师提示了前提性知识后,让学生自己拼摆长方形,生成多种例子,丰富学生感知;其次引导学生求长方形的面积:学生采取直接计量法,1个1个的数、5个5个数方格,经历知识形成过程,深入理解知识;最后概括出长方形的面积公式,形成数学模型。