论文部分内容阅读
摘 要：解析几何在中学数学中一直是重点、难点，学生往往惧怕其两点，其一是解析几何问题如何从条件中迅速找寻突破口，将问题转化为能解决的数学语言；其二是令人望而生畏的运算. 本文从一个公开课的试题出发，以小见大，探索教学中如何指导学生解决常规的解析几何问题.
关键词：解析几何；探索；韦达定理；数形结合
解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要思想，颇为精妙，但代数语言与几何背景的转化互译对学生的思维能力要求较高，一直以来学生均视之为畏途. 如何才能帮助学生探索其中的规律，学会快速找到解析几何问题的突破口，笔者也一直在探索中. 近期笔者在本市一节公开课中是以以下这则教学片段进行的一次尝试，深刻地挖掘了代数几何之间在圆锥曲线中的联系，广受好评，现与读者一起分享．
■教学片断
……
例题 已知抛物线C：y2=4x，以M（1，2）为直角顶点作该抛物线的内接Rt△MAB．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）过点M作AB的垂线交AB于点N，求点N的轨迹方程．
教师：首先请简要分析题意及问题1．
学生1：点M为Rt△MAB的直角顶点，所以MA⊥MB，则斜率kMA，kMB必存在且有kMA·kMB=－1．
教师：很好，说明你掌握了从条件入手将几何问题代数化的思想，还有谁补充的？
学生2：问题1要求证直线AB过定点，可以先求A，B两点的坐标，然后利用两点式直线方程求直线AB的方程来找定点．
教师：如何求A，B两点的坐标？
学生2：可以设斜率kMA=k，则kMB= －■，得MA，MB的点斜式直线方程，再联立抛物线方程即可．
教师：从问题出发，基本思路已经成形，请大家动笔试算一下． （五分钟后无一人能解出定点，学生一片哗然，感叹运算能力确非一日之功）
教师：那么有没有别的方法来缩减计算量呢？（学生思考中）
■合纵连横
教师：请同学们变换角度思考，看能否找到计算相对简便的方法呢？回想，我们曾经做过一些直线过定点的问题，如：已知直线x my 3m－1=0，求证：无论m取何值，该直线必过定点． 这一题如何解？
学生4：直线过定点（1，－3）．
教师：将此方法类比到问题1，有同学找到思路了吗？
学生5：求证直线AB过定点，是不是也可以设直线AB的含参方程呢？
教师：不妨一试.
学生5：这里kAB有可能不存在，可以设x=my a，m一定存在，可以避免分类讨论．
教师：（鼓掌）精彩，你为大家展现了你的思维过程，而且分析确有依据，那么大家一起沿着这个思路来尝试解题吧．
（5分钟后多数学生遇到了瓶颈）
■显出原形
教师：让我们互相交流看看问题所在．
学生6：我的问题是，消元并提取出韦达定理，但之后就没有方向了．
学生7：（踊跃举手）我之前也有这个问题，但我发现韦达定理反映的是点坐标之间的等量关系，而问题的关键条件MA⊥MB借助平面向量垂直的坐标表示也正可以化为点坐标之间的等量关系，因此，我设了A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），利用■·■=0得到了x1x2－（x1 x2） y1y2－2（y1 y2） 5=0，韦达定理就可以用了．
教师：很好，那么消元并提取出韦达定理的步骤你用了几次？
学生7：（会意地笑了）A，B两点在抛物线C上，所以点坐标满足x=■，所以x1x2，x1 x2用y1y2，y1 y2来表示，消元并提取出韦达定理的步骤只需要用一次．
教师：很好……
学生7：（迫不及待）但我的问题在韦达定理应用后，得到关于a，m的方程a2－6a 5－4m2－8m=0，就不知道怎么办了． （学生一片哑然，无人回答）
教师：解题进行到这里，需要反思，为什么要这样做？设直线AB的含参方程，通过分离参数来求定点，但由于条件所限，我们设的是“双参数方程”，无法直接进入分离系数的步骤了，但却得到了关于a，m的一个等量关系式，等价关系可以起到什么作用？
学生8：消元！
教师：对，消元的本质是用一个变量来表示另一个变量． （环顾四周，已有学生开始演算）
学生9：我把它看成a的一元二次方程，用公式法解出了a关于m的表达式a=3±2（m 1），分别代入直线AB的方程，当a=3 2（m 1）时，得到定点坐标为（5，－2）；当a=3－2（m 1）时定点坐标为（1，2），即点M，应该舍去，所以得证直线AB必过定点（5，－2）． （教师点头赞许了生9，马上又有人举手）
学生10：老师，我的方法只需要把关于a，m的方程配方为（a－3）2=4（m 1）2，就可以得到a=3±2（m 1）了．
教师：很好，不论公式法还是配凑法，同学们都了解到二元等式消元的作用，它帮助我们实现了已知向未知的转变，那么我们来总结这一小题带来的收获吧．
……
■案例启示
1. 因势利导 自然成行
学生的学习过程就像海绵吸水，一块干的海绵，要让它吸饱水分，不能将它一丢入水盆就迅速捞起，而需要等待片刻，才能看到它逐渐鼓胀． 我们的教学，特别是解题教学，不能采取“注入”的方式，而应采取“浸入”的方式，逐渐让学生自行消化吸收解题时产生的可行性经验． 案例中，学生在多次尝试定式思维后碰壁，教师适时抛出一系列问题与提示，使学生自行反思与优化思维过程，一步步看似进展缓慢，实则在学生头脑中形成了思维风暴，围绕题设条件展开了地毯式搜索，通过不断筛选相关的解题技巧，终使解题思路自然成型． 这种碰壁、折返、修正的曲折的思维过程比教师一气呵成的完整示范更令人印象深刻．
2. 建立信心 一题多试
解析几何“不难也繁”的解题特征容易引发学生一些不良心理现象，如对问题的无端畏惧、对计算的厌恶、解题初获成功便疏忽大意等等． 这就需要教师在课堂教学时去呈现一种水到渠成的解题态势． 本案例中，在教师引导之下学生自行解出答案的整个教学过程其实带给学生一种成功暗示，给学生树立一个范例，“原来这样思考是可以最终解决问题的”，在问题面前首先树立起解题的信心，这很重要． 同时，最终解决方法优于前一种方法，也给学生一种“一题多解亦是有迹可循”的印象，这种印象产生的正能量促使学生在今后解题时从开阔的视野去探寻解题思路，而不是苦苦挣扎于一隅而不得法．
3. 思维聚合 望穿秋水
本案例中，师生对话从开始的师问生答、师点（拨）生（分）析到之后的生问生答与师赞（赏）生辨（析），学生逐渐站在了课堂的主导地位，思维的参与度愈来愈高，且解题的整个思辨过程得以充分暴露，体现了思维本身就是一个不断提问、不断解答、不断追问、不断明朗的过程． 这个过程的最终结果是，学生都通过自身的思维活动真正构建起自己对该题的理解，学生的小结不再是就题论题式的，而是站在了一定高度从“解题观”上进行了自我总结，用自己的语言去理解、概括和提炼了解题中所得到的知识，这就是一种自然思维活动的升华．
关键词：解析几何；探索；韦达定理；数形结合
解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要思想，颇为精妙，但代数语言与几何背景的转化互译对学生的思维能力要求较高，一直以来学生均视之为畏途. 如何才能帮助学生探索其中的规律，学会快速找到解析几何问题的突破口，笔者也一直在探索中. 近期笔者在本市一节公开课中是以以下这则教学片段进行的一次尝试，深刻地挖掘了代数几何之间在圆锥曲线中的联系，广受好评，现与读者一起分享．
■教学片断
……
例题 已知抛物线C：y2=4x，以M（1，2）为直角顶点作该抛物线的内接Rt△MAB．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）过点M作AB的垂线交AB于点N，求点N的轨迹方程．
教师：首先请简要分析题意及问题1．
学生1：点M为Rt△MAB的直角顶点，所以MA⊥MB，则斜率kMA，kMB必存在且有kMA·kMB=－1．
教师：很好，说明你掌握了从条件入手将几何问题代数化的思想，还有谁补充的？
学生2：问题1要求证直线AB过定点，可以先求A，B两点的坐标，然后利用两点式直线方程求直线AB的方程来找定点．
教师：如何求A，B两点的坐标？
学生2：可以设斜率kMA=k，则kMB= －■，得MA，MB的点斜式直线方程，再联立抛物线方程即可．
教师：从问题出发，基本思路已经成形，请大家动笔试算一下． （五分钟后无一人能解出定点，学生一片哗然，感叹运算能力确非一日之功）
教师：那么有没有别的方法来缩减计算量呢？（学生思考中）
■合纵连横
教师：请同学们变换角度思考，看能否找到计算相对简便的方法呢？回想，我们曾经做过一些直线过定点的问题，如：已知直线x my 3m－1=0，求证：无论m取何值，该直线必过定点． 这一题如何解？
学生4：直线过定点（1，－3）．
教师：将此方法类比到问题1，有同学找到思路了吗？
学生5：求证直线AB过定点，是不是也可以设直线AB的含参方程呢？
教师：不妨一试.
学生5：这里kAB有可能不存在，可以设x=my a，m一定存在，可以避免分类讨论．
教师：（鼓掌）精彩，你为大家展现了你的思维过程，而且分析确有依据，那么大家一起沿着这个思路来尝试解题吧．
（5分钟后多数学生遇到了瓶颈）
■显出原形
教师：让我们互相交流看看问题所在．
学生6：我的问题是，消元并提取出韦达定理，但之后就没有方向了．
学生7：（踊跃举手）我之前也有这个问题，但我发现韦达定理反映的是点坐标之间的等量关系，而问题的关键条件MA⊥MB借助平面向量垂直的坐标表示也正可以化为点坐标之间的等量关系，因此，我设了A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），利用■·■=0得到了x1x2－（x1 x2） y1y2－2（y1 y2） 5=0，韦达定理就可以用了．
教师：很好，那么消元并提取出韦达定理的步骤你用了几次？
学生7：（会意地笑了）A，B两点在抛物线C上，所以点坐标满足x=■，所以x1x2，x1 x2用y1y2，y1 y2来表示，消元并提取出韦达定理的步骤只需要用一次．
教师：很好……
学生7：（迫不及待）但我的问题在韦达定理应用后，得到关于a，m的方程a2－6a 5－4m2－8m=0，就不知道怎么办了． （学生一片哑然，无人回答）
教师：解题进行到这里，需要反思，为什么要这样做？设直线AB的含参方程，通过分离参数来求定点，但由于条件所限，我们设的是“双参数方程”，无法直接进入分离系数的步骤了，但却得到了关于a，m的一个等量关系式，等价关系可以起到什么作用？
学生8：消元！
教师：对，消元的本质是用一个变量来表示另一个变量． （环顾四周，已有学生开始演算）
学生9：我把它看成a的一元二次方程，用公式法解出了a关于m的表达式a=3±2（m 1），分别代入直线AB的方程，当a=3 2（m 1）时，得到定点坐标为（5，－2）；当a=3－2（m 1）时定点坐标为（1，2），即点M，应该舍去，所以得证直线AB必过定点（5，－2）． （教师点头赞许了生9，马上又有人举手）
学生10：老师，我的方法只需要把关于a，m的方程配方为（a－3）2=4（m 1）2，就可以得到a=3±2（m 1）了．
教师：很好，不论公式法还是配凑法，同学们都了解到二元等式消元的作用，它帮助我们实现了已知向未知的转变，那么我们来总结这一小题带来的收获吧．
……
■案例启示
1. 因势利导 自然成行
学生的学习过程就像海绵吸水，一块干的海绵，要让它吸饱水分，不能将它一丢入水盆就迅速捞起，而需要等待片刻，才能看到它逐渐鼓胀． 我们的教学，特别是解题教学，不能采取“注入”的方式，而应采取“浸入”的方式，逐渐让学生自行消化吸收解题时产生的可行性经验． 案例中，学生在多次尝试定式思维后碰壁，教师适时抛出一系列问题与提示，使学生自行反思与优化思维过程，一步步看似进展缓慢，实则在学生头脑中形成了思维风暴，围绕题设条件展开了地毯式搜索，通过不断筛选相关的解题技巧，终使解题思路自然成型． 这种碰壁、折返、修正的曲折的思维过程比教师一气呵成的完整示范更令人印象深刻．
2. 建立信心 一题多试
解析几何“不难也繁”的解题特征容易引发学生一些不良心理现象，如对问题的无端畏惧、对计算的厌恶、解题初获成功便疏忽大意等等． 这就需要教师在课堂教学时去呈现一种水到渠成的解题态势． 本案例中，在教师引导之下学生自行解出答案的整个教学过程其实带给学生一种成功暗示，给学生树立一个范例，“原来这样思考是可以最终解决问题的”，在问题面前首先树立起解题的信心，这很重要． 同时，最终解决方法优于前一种方法，也给学生一种“一题多解亦是有迹可循”的印象，这种印象产生的正能量促使学生在今后解题时从开阔的视野去探寻解题思路，而不是苦苦挣扎于一隅而不得法．
3. 思维聚合 望穿秋水
本案例中，师生对话从开始的师问生答、师点（拨）生（分）析到之后的生问生答与师赞（赏）生辨（析），学生逐渐站在了课堂的主导地位，思维的参与度愈来愈高，且解题的整个思辨过程得以充分暴露，体现了思维本身就是一个不断提问、不断解答、不断追问、不断明朗的过程． 这个过程的最终结果是，学生都通过自身的思维活动真正构建起自己对该题的理解，学生的小结不再是就题论题式的，而是站在了一定高度从“解题观”上进行了自我总结，用自己的语言去理解、概括和提炼了解题中所得到的知识，这就是一种自然思维活动的升华．