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最新的心理学研究表明，幼儿在学习特定数学内容时要经历一系列不同水平的思维过程；对于不同的数学内容，幼儿所经历的学习过程也各不相同。教师在实施具体的幼儿数学教育活动时。如果不了解幼儿在这一数学内容上“现在是什么水平，下一步向何处发展”，就很难有针对性地设计教育活动序列，为幼儿的数学发展提供关键的学习经验。
在过去的二十余年间。心理学界对“幼儿是怎样学习数学的”进行了广泛而细致的实证研究，幼儿学习各种数学内容的具体路径日渐清晰。根据实证研究得到的幼儿数学“学习路径”来设计“教育路径”、形成“教－学路径图(learning trajectories)”，并将“教－学路径图”作为幼儿数学教育的核心框架，已成为国际数学教育界的广泛共识。2009年，美国国家研究理事会出版了全美幼儿数学教育的纲领性文献《幼儿数学学习：通向卓越与公平之路》，其中倡议：“(美国)各州应开发或修订本州的幼儿学习标准或指南，以反映本报告所述的教－学路径图”，“课程研发人员和出版者应该基于本报告所述的原则和教－学路径图，进行研发和出版”，“要为早期教育的一线教师提供专业发展资源，帮助他们理解必要的数学知识、至关重要的教－学路径图”。
本文将介绍国际数学教育界的这一最新研究成果，并简要分析它对我国幼儿数学教育的启示。
教－学路径图由三部分构成：(1)数学目标；(2)学习路径；(3)教育路径。三者的关系如下图所示。
数学目标
路径图的第一个要素是数学目标(mathematical goals)。在幼儿数学教育的总目标中，发展幼儿的抽象思维能力，培养幼儿运用数学思维解决实际问题的能力，培养幼儿的任务意识、规则意识、坚持性、专注性等重要的学习品质，都必须以必要的数学内容为载体，以“数学目标”的达成为前提。
“数学目标”需满足以下三个条件：数学中核心的、互相联系的概念和技能；适合幼儿的思维水平：对幼儿后续学习有重要的促进作用。以“数的认识”这一内容中的计数为例：能够运用计数的方法，知道一堆物体的准确数量，理解数的实际意义，比较两个集合中物体数量的多少，理解数量守恒，解决“合并”“拿走”等加减运算问题。以上计数能力的发展应作为“数学目标”之一。
学习路径
路径图的第二个要素是学习路径(paths of learning)，它指幼儿发展特定的数学知识和技能、达成相应的数学目标通常所要经历的发展进程。学习路径包含了一系列逐级升高的发展阶段。幼儿在每个阶段均有典型的思维水平和行为表现。美国的Glements和Sarama(2009)根据心理学实证研究的结果描绘了美国儿童的数学学习路径。例如，幼儿计数(包括唱数和点数)的学习路径大致如右表所示：
可以看出，幼儿的数学学习路径并不是从他们的第一次数学活动开始的，而是从出生时(或出生后不久)就开始了。需要指出的是，虽然右表中年龄与发展阶段的对应关系反映的是美国文化背景下多数幼儿的平均水平，但路径图中所列的各个发展阶段的顺序是相对稳定的。因此，“学习路径”对教师最有参考价值的地方不在于“几岁的幼儿能做什么”，而在于为了解班上每个幼儿“现在是什么水平，下一步向何处发展”提供科学的依据。
教育路径
路径图的第三个要素是教育路径(paths of teaching)，即根据学习路径中的发展阶段设计相应的教育活动序列。以帮助幼儿达到相应的思维水平。
Clements和Sarama(2009)经过长期、系统的教学干预实验研究，为一线教师提出了有效、可操作的活动建议。仍以计数为例，对处于“能唱数到5”这一水平的幼儿，活动建议是：请幼儿从1数到10，每数一个就做一个动作，如数“1”(摸头)，“2”(摸肩)，“3”(摸头)，如此反复。对处于“能点数排成一行的5个物体并说出总数”这一水平的幼儿，活动建议是：给小组中的每个幼儿指定一种颜色，让他取5支该颜色的蜡笔。互相检查无误后，让他们把所有蜡笔放到同一个大盒子里。然后，选定一个幼儿扮演“偷东西的小老鼠”，等大家都闭上眼睛后，“小老鼠”悄悄地从盒子里拿走一支蜡笔藏起来。最后请其他幼儿睁开眼睛，数一数他们的蜡笔。看看“小老鼠”拿走的是哪种颜色的蜡笔。对处于“数的守恒”这一水平的幼儿，活动建议是：先用动物玩偶讲故事，如有一只狐狸很狡猾，它告诉其他小动物：“拿食物的时候一定要拿两排中最多的那排。”但事实上他把食物少的那排铺得很分散，食物多的那排没有铺开。讲完故事之后问幼儿：怎样才不会被狐狸骗到?
从以上三个例子不难看出，“教育路径”中的活动可以是精心设计的数学游戏，也可以和健康、语言等领域相结合。事实上，Clements和Sarama(2009)还精心设计了一套涵盖数和运算、几何与空间、测量等数学内容的幼儿数学学习软件，供幼儿在电脑上操作。当然，系统化的数学课程、有组织的集体教学是幼儿数学教育必不可少的途径之一。因此，教育路径实际上涵盖了集体教学、区角活动与游戏、家庭生活等教育途径，从而为幼儿数学学习提供全面的支持系统。
以上是对“教－学路径图”的简单介绍。可以看到，“教－学路径图”构建了从学习目标到教学方法的完整体系，兼顾幼儿数学学习的一般规律与个体差异，为一线教师了解“幼儿现在是什么水平，下一步向何处发展，通过什么方式促进幼儿的发展”提供了有力的指导，有助于教师为所有幼儿提供适合他们的学习经验，为他们走好数学学习之路提供有力的支持。
近年来，“教－学路径图”成为许多“基于实证研究的数学课程”的核心框架(Clements＆Sarama，2004)。例如，美国(Clements＆Sarama,2009)、荷兰(Van denHeuvel-Panhuisen，M.
在过去的二十余年间。心理学界对“幼儿是怎样学习数学的”进行了广泛而细致的实证研究，幼儿学习各种数学内容的具体路径日渐清晰。根据实证研究得到的幼儿数学“学习路径”来设计“教育路径”、形成“教－学路径图(learning trajectories)”，并将“教－学路径图”作为幼儿数学教育的核心框架，已成为国际数学教育界的广泛共识。2009年，美国国家研究理事会出版了全美幼儿数学教育的纲领性文献《幼儿数学学习：通向卓越与公平之路》，其中倡议：“(美国)各州应开发或修订本州的幼儿学习标准或指南，以反映本报告所述的教－学路径图”，“课程研发人员和出版者应该基于本报告所述的原则和教－学路径图，进行研发和出版”，“要为早期教育的一线教师提供专业发展资源，帮助他们理解必要的数学知识、至关重要的教－学路径图”。
本文将介绍国际数学教育界的这一最新研究成果，并简要分析它对我国幼儿数学教育的启示。
教－学路径图由三部分构成：(1)数学目标；(2)学习路径；(3)教育路径。三者的关系如下图所示。
数学目标
路径图的第一个要素是数学目标(mathematical goals)。在幼儿数学教育的总目标中，发展幼儿的抽象思维能力，培养幼儿运用数学思维解决实际问题的能力，培养幼儿的任务意识、规则意识、坚持性、专注性等重要的学习品质，都必须以必要的数学内容为载体，以“数学目标”的达成为前提。
“数学目标”需满足以下三个条件：数学中核心的、互相联系的概念和技能；适合幼儿的思维水平：对幼儿后续学习有重要的促进作用。以“数的认识”这一内容中的计数为例：能够运用计数的方法，知道一堆物体的准确数量，理解数的实际意义，比较两个集合中物体数量的多少，理解数量守恒，解决“合并”“拿走”等加减运算问题。以上计数能力的发展应作为“数学目标”之一。
学习路径
路径图的第二个要素是学习路径(paths of learning)，它指幼儿发展特定的数学知识和技能、达成相应的数学目标通常所要经历的发展进程。学习路径包含了一系列逐级升高的发展阶段。幼儿在每个阶段均有典型的思维水平和行为表现。美国的Glements和Sarama(2009)根据心理学实证研究的结果描绘了美国儿童的数学学习路径。例如，幼儿计数(包括唱数和点数)的学习路径大致如右表所示：
可以看出，幼儿的数学学习路径并不是从他们的第一次数学活动开始的，而是从出生时(或出生后不久)就开始了。需要指出的是，虽然右表中年龄与发展阶段的对应关系反映的是美国文化背景下多数幼儿的平均水平，但路径图中所列的各个发展阶段的顺序是相对稳定的。因此，“学习路径”对教师最有参考价值的地方不在于“几岁的幼儿能做什么”，而在于为了解班上每个幼儿“现在是什么水平，下一步向何处发展”提供科学的依据。
教育路径
路径图的第三个要素是教育路径(paths of teaching)，即根据学习路径中的发展阶段设计相应的教育活动序列。以帮助幼儿达到相应的思维水平。
Clements和Sarama(2009)经过长期、系统的教学干预实验研究，为一线教师提出了有效、可操作的活动建议。仍以计数为例，对处于“能唱数到5”这一水平的幼儿，活动建议是：请幼儿从1数到10，每数一个就做一个动作，如数“1”(摸头)，“2”(摸肩)，“3”(摸头)，如此反复。对处于“能点数排成一行的5个物体并说出总数”这一水平的幼儿，活动建议是：给小组中的每个幼儿指定一种颜色，让他取5支该颜色的蜡笔。互相检查无误后，让他们把所有蜡笔放到同一个大盒子里。然后，选定一个幼儿扮演“偷东西的小老鼠”，等大家都闭上眼睛后，“小老鼠”悄悄地从盒子里拿走一支蜡笔藏起来。最后请其他幼儿睁开眼睛，数一数他们的蜡笔。看看“小老鼠”拿走的是哪种颜色的蜡笔。对处于“数的守恒”这一水平的幼儿，活动建议是：先用动物玩偶讲故事，如有一只狐狸很狡猾，它告诉其他小动物：“拿食物的时候一定要拿两排中最多的那排。”但事实上他把食物少的那排铺得很分散，食物多的那排没有铺开。讲完故事之后问幼儿：怎样才不会被狐狸骗到?
从以上三个例子不难看出，“教育路径”中的活动可以是精心设计的数学游戏，也可以和健康、语言等领域相结合。事实上，Clements和Sarama(2009)还精心设计了一套涵盖数和运算、几何与空间、测量等数学内容的幼儿数学学习软件，供幼儿在电脑上操作。当然，系统化的数学课程、有组织的集体教学是幼儿数学教育必不可少的途径之一。因此，教育路径实际上涵盖了集体教学、区角活动与游戏、家庭生活等教育途径，从而为幼儿数学学习提供全面的支持系统。
以上是对“教－学路径图”的简单介绍。可以看到，“教－学路径图”构建了从学习目标到教学方法的完整体系，兼顾幼儿数学学习的一般规律与个体差异，为一线教师了解“幼儿现在是什么水平，下一步向何处发展，通过什么方式促进幼儿的发展”提供了有力的指导，有助于教师为所有幼儿提供适合他们的学习经验，为他们走好数学学习之路提供有力的支持。
近年来，“教－学路径图”成为许多“基于实证研究的数学课程”的核心框架(Clements＆Sarama，2004)。例如，美国(Clements＆Sarama,2009)、荷兰(Van denHeuvel-Panhuisen，M.