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【摘要】 数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
【关键词】 数形结合
数与形是数学中最古老、最基本的两个研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系，一方面各自独立存在于自己的领域，另一方面两者又完美地结合在一起，在宇宙空间释放着关于空间形式与数量关系的无穷无尽的能量. 著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离”. 数形结合就是把抽象的數学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. “数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略；对学生来说则是一种形成良好的数学意识和思想的重要的学习方法.
一、数形结合，激发兴趣
俗话说“兴趣是最好的老师”，兴趣是一种带有强烈情感色彩的欲望和意向，是形成创新动力的重要基础，是学生学习的内驱力. 心理学研究表明，兴趣是构成小学数学的基础，也是培养创新意识和创新能力的基础，创新与兴趣是紧密联系在一起的. 只有当学生对所学的知识感兴趣后，学生才能自主地、自觉地去观察、研究和探索.
案例1 《鸡兔同笼》
“鸡兔同笼，有１０个头，３４条腿. 鸡、兔各有多少只？”.
这个内容过去是奥赛的题材，现在安排在新教材五年级中，对于五年级的全体学生如何理解“鸡兔同笼”问题呢？教师设计了一个基本的方法——画图法.
先画１０个圆表示１０个头，
假设笼子里都是鸡，每只鸡有２条腿，就用２根竖线表示. 一共画了２０条腿，少了１４条腿.
把兔子看成鸡，每只兔子少了两条腿，再２条２条地画上１４条.
这样一眼看出有７只兔子，３只鸡. 学生也不会因为题目的难度而失去学习的兴趣. 在简单的画的过程，他们对鸡兔同笼中“几个头，几条腿”有了一个最基础的认识，对这类题目的第一感觉就是有趣. 如果我们的课堂能多给孩子一些有趣的感觉，相信我们的数学课堂会更精彩.
二、数形结合，理解算理
小学数学教材中，有相当部分的内容是计算问题. 计算教学要引导学生理解算理. 算理就是计算方法的道理. 学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法？在教学中教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”. 数形结合是帮助小学生正确理解算理的一种很好的方式.
案例2 “两位数乘两位数”
在教学三年级下册两位数乘两位数这一内容时我是把枯燥的计算教学课与图形——“点子图”联系在一起，数与形的有机结合，发散了学生的思维. 我将教材中的情境“一幢新楼共１２层，每层住１４户人家. 这幢高楼一共能住几户人家？” 更改为“三年级同学排队做操”的情境.
（我出示了一幅点子图：）
师：从图中你了解到了哪些数学信息？
生：三年级同学排成１２列纵队做操，每列有１４人.
师：根据这些数学信息你能提出什么数学问题？
生：三年级一共有几人？
师：你能列式解答吗？
生：１４ × １２.
生：１２ × １４.
师：１２ × １４或１４ × １２分别得多少？你能想办法解决吗？
学生利用手中的点子图想出解决这道计算题的策略：
１２ × １４ ＝ １２ × ２ × ７ ＝ １６８（人）.
１２ × １４ ＝ １４ × ２ × ６ ＝ １６８（人）.
１２ × １４ ＝ １４ × ３ × ４ ＝ １６８（人）.
１４ × ２ ＝ ２８（人）.１４ × １０ ＝ １４０（人）.１４０ ＋ ２８ ＝ １６８（人）.
１２ × ４ ＝ ４８（人）.１２ × １０ ＝ １２０（人）.１２０ ＋ ４８ ＝ １６８（人）.
师：４８表示什么？在点子图上指一指.
生：１２ × ４＝４８.
师：１２０表示什么？在点子图上指一指.
生：１２ × １０ ＝ １２０.
师：１６８表示什么？在点子图上指一指.
生：１２０ ＋ ４８ ＝ １６８.
教学中我利用点子图激活学生的形象思维，透过数学潜在的“形”与“数”的关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，让学生借助直观来理解“两位数乘两位数”的算理，进而为培养学生的抽象思维能力打下良好的基础，有效地实现原有知识与新知识之间的链接，激活学生的思维.
三、数形结合，解决问题
以“解决问题”为核心的实际问题的教学，更加注重从学生已有的知识经验与生活背景出发，给学生提供具有一定现实意义和趣味性的应用题素材，为学生创设富有挑战性和开放性的问题情境，使学生的求知欲和探索欲得到满足. 数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以达到问题解决. 数形结合有时可以使我们的数学学习变得更有趣味.
案例3 唐彩斌执教的“归一应用题”
１． 呈现数形素材，提出问题计算.
右图长方形表示１２０，你能提出什么数学问题？并请算一算.
学生经过独立思考后回答：
①阴影部分是多少？计算方法：１２０ ÷ ４ ＝ ３０.
②空白部分是多少？计算方法：１２０ ÷ ４ × ３ ＝ ９０.
教师与学生一起略作质疑，为什么先想到“除以４”，再“乘３”.
２． 教师又呈现下面素材：
右图中阴影部分是１８０，你又能提出什么数学问题？
学生独立思考计算后回答：
①空白部分是多少？列式计算：１８０ ÷ ３ × ５ ＝ ３００.
②整个图形（梯形）是多少？列式计算：１８０ ÷ ３ × ８ ＝ ４８０. 学生回答后，再让学生把数据填入下表：
３． 教师又呈现下面素材：
下图长方形中浅色部分（单线条阴影部分）是６３，你又能提出什么数学问题？
学生同样是经过独立思考后，反馈得出：
①深色部分是多少？列式是：６３ ÷ ７ × ５ ＝ ４５；
②空白部分是多少？列式是：６３ ÷ ７ × 12 ＝ 108；
③整个长方形是多少？列式是：６３ ÷ ７ × ２４ ＝ ２１６；
④深色与浅色部分合起来是多少？６３ ÷ ７ × １２ ＝ １０８.
４． 教师引导学生归纳以上素材的解答过程，使学生从中总结出：用除法先求出一小部分（即“单一量”），然后通过“一份量 × 份数”计算出所要求的问题.
５． 揭示生活问题，引发迁移求解.
师：以上我们通过图形的份数与数量的关系，提出了问题计算，下面我们能否根据生活中的已知条件，提出问题计算呢？（师出示）：某商场一种商品价格不变，现在知道要买４件这样的商品要２００元. 你能联想到求什么问题吗？
学生独立思考后，有如下的回答：
①如果要买６件这样商品要多少钱？列式：２００ ÷ ４ × ６ ＝３００（元）.
②如果带６００元钱能买几件这样的商品？６００ ÷ （２００ ÷ ４） ＝ １２（件）或６００ ÷ ２００ × ４ ＝ １２（件）.
……
再接着教师又提供了行程中的归一问题、工作生产中的归一问题等，学生积极地投入到思考解答中.
整堂课中唐彩斌老师通过数形结合用直观的图形来教学归一问题和归总问题，让抽象的数量关系、解题思路形象地外显了，降低了思维的难度，学生易于理解.
总而言之，“数形结合”作为一种基本的数学思想方法在数学学习中是至关重要的. 对于学生来说“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，随时随地发生作用，使他们受益终生. ”在数学教学中我们要充分利用数形结合，增添学生学习的兴趣，调动思维的积极性，变抽象的问题形象化，从而使数学教学收到事半功倍的良好效果.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】 数形结合
数与形是数学中最古老、最基本的两个研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系，一方面各自独立存在于自己的领域，另一方面两者又完美地结合在一起，在宇宙空间释放着关于空间形式与数量关系的无穷无尽的能量. 著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离”. 数形结合就是把抽象的數学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. “数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略；对学生来说则是一种形成良好的数学意识和思想的重要的学习方法.
一、数形结合，激发兴趣
俗话说“兴趣是最好的老师”，兴趣是一种带有强烈情感色彩的欲望和意向，是形成创新动力的重要基础，是学生学习的内驱力. 心理学研究表明，兴趣是构成小学数学的基础，也是培养创新意识和创新能力的基础，创新与兴趣是紧密联系在一起的. 只有当学生对所学的知识感兴趣后，学生才能自主地、自觉地去观察、研究和探索.
案例1 《鸡兔同笼》
“鸡兔同笼，有１０个头，３４条腿. 鸡、兔各有多少只？”.
这个内容过去是奥赛的题材，现在安排在新教材五年级中，对于五年级的全体学生如何理解“鸡兔同笼”问题呢？教师设计了一个基本的方法——画图法.
先画１０个圆表示１０个头，
假设笼子里都是鸡，每只鸡有２条腿，就用２根竖线表示. 一共画了２０条腿，少了１４条腿.
把兔子看成鸡，每只兔子少了两条腿，再２条２条地画上１４条.
这样一眼看出有７只兔子，３只鸡. 学生也不会因为题目的难度而失去学习的兴趣. 在简单的画的过程，他们对鸡兔同笼中“几个头，几条腿”有了一个最基础的认识，对这类题目的第一感觉就是有趣. 如果我们的课堂能多给孩子一些有趣的感觉，相信我们的数学课堂会更精彩.
二、数形结合，理解算理
小学数学教材中，有相当部分的内容是计算问题. 计算教学要引导学生理解算理. 算理就是计算方法的道理. 学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法？在教学中教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”. 数形结合是帮助小学生正确理解算理的一种很好的方式.
案例2 “两位数乘两位数”
在教学三年级下册两位数乘两位数这一内容时我是把枯燥的计算教学课与图形——“点子图”联系在一起，数与形的有机结合，发散了学生的思维. 我将教材中的情境“一幢新楼共１２层，每层住１４户人家. 这幢高楼一共能住几户人家？” 更改为“三年级同学排队做操”的情境.
（我出示了一幅点子图：）
师：从图中你了解到了哪些数学信息？
生：三年级同学排成１２列纵队做操，每列有１４人.
师：根据这些数学信息你能提出什么数学问题？
生：三年级一共有几人？
师：你能列式解答吗？
生：１４ × １２.
生：１２ × １４.
师：１２ × １４或１４ × １２分别得多少？你能想办法解决吗？
学生利用手中的点子图想出解决这道计算题的策略：
１２ × １４ ＝ １２ × ２ × ７ ＝ １６８（人）.
１２ × １４ ＝ １４ × ２ × ６ ＝ １６８（人）.
１２ × １４ ＝ １４ × ３ × ４ ＝ １６８（人）.
１４ × ２ ＝ ２８（人）.１４ × １０ ＝ １４０（人）.１４０ ＋ ２８ ＝ １６８（人）.
１２ × ４ ＝ ４８（人）.１２ × １０ ＝ １２０（人）.１２０ ＋ ４８ ＝ １６８（人）.
师：４８表示什么？在点子图上指一指.
生：１２ × ４＝４８.
师：１２０表示什么？在点子图上指一指.
生：１２ × １０ ＝ １２０.
师：１６８表示什么？在点子图上指一指.
生：１２０ ＋ ４８ ＝ １６８.
教学中我利用点子图激活学生的形象思维，透过数学潜在的“形”与“数”的关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，让学生借助直观来理解“两位数乘两位数”的算理，进而为培养学生的抽象思维能力打下良好的基础，有效地实现原有知识与新知识之间的链接，激活学生的思维.
三、数形结合，解决问题
以“解决问题”为核心的实际问题的教学，更加注重从学生已有的知识经验与生活背景出发，给学生提供具有一定现实意义和趣味性的应用题素材，为学生创设富有挑战性和开放性的问题情境，使学生的求知欲和探索欲得到满足. 数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以达到问题解决. 数形结合有时可以使我们的数学学习变得更有趣味.
案例3 唐彩斌执教的“归一应用题”
１． 呈现数形素材，提出问题计算.
右图长方形表示１２０，你能提出什么数学问题？并请算一算.
学生经过独立思考后回答：
①阴影部分是多少？计算方法：１２０ ÷ ４ ＝ ３０.
②空白部分是多少？计算方法：１２０ ÷ ４ × ３ ＝ ９０.
教师与学生一起略作质疑，为什么先想到“除以４”，再“乘３”.
２． 教师又呈现下面素材：
右图中阴影部分是１８０，你又能提出什么数学问题？
学生独立思考计算后回答：
①空白部分是多少？列式计算：１８０ ÷ ３ × ５ ＝ ３００.
②整个图形（梯形）是多少？列式计算：１８０ ÷ ３ × ８ ＝ ４８０. 学生回答后，再让学生把数据填入下表：
３． 教师又呈现下面素材：
下图长方形中浅色部分（单线条阴影部分）是６３，你又能提出什么数学问题？
学生同样是经过独立思考后，反馈得出：
①深色部分是多少？列式是：６３ ÷ ７ × ５ ＝ ４５；
②空白部分是多少？列式是：６３ ÷ ７ × 12 ＝ 108；
③整个长方形是多少？列式是：６３ ÷ ７ × ２４ ＝ ２１６；
④深色与浅色部分合起来是多少？６３ ÷ ７ × １２ ＝ １０８.
４． 教师引导学生归纳以上素材的解答过程，使学生从中总结出：用除法先求出一小部分（即“单一量”），然后通过“一份量 × 份数”计算出所要求的问题.
５． 揭示生活问题，引发迁移求解.
师：以上我们通过图形的份数与数量的关系，提出了问题计算，下面我们能否根据生活中的已知条件，提出问题计算呢？（师出示）：某商场一种商品价格不变，现在知道要买４件这样的商品要２００元. 你能联想到求什么问题吗？
学生独立思考后，有如下的回答：
①如果要买６件这样商品要多少钱？列式：２００ ÷ ４ × ６ ＝３００（元）.
②如果带６００元钱能买几件这样的商品？６００ ÷ （２００ ÷ ４） ＝ １２（件）或６００ ÷ ２００ × ４ ＝ １２（件）.
……
再接着教师又提供了行程中的归一问题、工作生产中的归一问题等，学生积极地投入到思考解答中.
整堂课中唐彩斌老师通过数形结合用直观的图形来教学归一问题和归总问题，让抽象的数量关系、解题思路形象地外显了，降低了思维的难度，学生易于理解.
总而言之，“数形结合”作为一种基本的数学思想方法在数学学习中是至关重要的. 对于学生来说“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，随时随地发生作用，使他们受益终生. ”在数学教学中我们要充分利用数形结合，增添学生学习的兴趣，调动思维的积极性，变抽象的问题形象化，从而使数学教学收到事半功倍的良好效果.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文