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近来阅读弗赖登塔尔的教育名著——《作为教育任务的数学》,以及相关的一些书籍和文章,对“再创造”思想有了更深入地了解. 下文阐述对这一思想的一些新认识,提出实现数学有效“再创造”的几条途径.
一、弗赖登塔尔“再创造”思想简介
“再创造”是荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔教授提出的.
弗赖登塔尔有关“再创造”思想的论述十分丰富,主要有以下几点:(1)数学根源于普通常识,数学实质上是人们常识的系统化,因而每个学生都可以在一定的指导下,通过自己的实践活动来获得这些知识;(2)数学是最容易创造的一门科学,每个人都可以结合自己已有的数学现实重新创造数学知识;(3)每个人有不同的“数学现实”,因而可达到不同的水平,每个学生都应充分享有再创造的自由;(4)学生通过再创造学习数学的过程,实际上就是一个做数学的过程;(5)学习数学唯一正确的方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学的东西发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生;(6)再创造应该贯穿于数学教育的全过程.[1]
二、实现数学有效“再创造”的途径
“再创造”的思想传入我国已有多年,对我国数学教育产生了深远的影响. 为了切实贯彻这一思想,提高再创造活动的有效性与针对性,以下几点值得关注.
1. 激发学生再创造的动机,并使其感受到再创造的需要
动机是唤醒和推动创造的原动力.为了使教学符合学生的认知特点,使学生体会到数学“冰冷”美丽下“火热”的思考,需要激发学生再创造的动机,以引起其再创造的欲望.
如何才能激发学生再创造的动机,使其感受到再创造的需要呢?首先,从数学知识发展的需要来考虑. 如南师大附中陶维林老师讲“到角”内容时,带领学生探究问题,最后发现“夹角的概念不够用了,所以我们要引入‘到角’”. 这就是数学知识发展自然而然的要求,学生能真实地感受到引入这个概念的必要性. 其次,从解决问题出发. 可以是源于现实的问题、数学史上的经典问题,或者一些有代表性的常规数学问题. 如通过解决x2+1=0引入虚数,就是数学史上的问题. 第三,运用多媒体技术.合理运用多媒体技术,能够增强再创造的有效性与趣味性,唤起学生的创造热情. 如可以通过几何画板等教学软件动态地演示一些图象的变化,让学生在动态变化中猜想一些结论或者探索不变的规律. 第四,借助数学美. 美好的事物总是令人向往与喜欢的,数学中也不乏美. 如字母表示数的简洁美、黄金分割美、图形对称美、推理严谨美等等.恰当地借助数学美同样可以激发学生再创造的欲望.
使学生感受到再创造的需要,才有可能进行再创造.[2] 借助包含上述方式在内的各种途径,可以在一定程度上引起学生的创造欲望,并使其体验创造的乐趣,从而产生对数学学习的兴趣. 同时,这对于培养学生的创造精神也是有益的.
2. 努力让学生自己提出再创造的课题
数学教学过程中,应该努力引导学生自己提出需要再创造的课题,使学生通过自己的思考发现本节课或本阶段将要解决的问题,即从课题的提出就使学生经历再创造.学生自己提出课题的再创造是最理想的再创造.
以正方形的学习为例,在此之前学生已经学习了平行四边形、矩形、菱形. 教师引导学生思考:研究一种图形可以从哪些方面考虑?怎样算是了解一种图形了?之前是怎么研究的?回忆前几种图形的学习,学生思考后会想到:研究一种图形可以从它的边、角、对角线等方面考虑. 经过认真思考和动手实践之后,他们能够“再创造”出正方形的种种性质:四边相等;对角线垂直、平分且相等;四个角都是90°;对边平行等等.
学完正方形性质之后,教师可以引导学生进一步提出课题. “学完一些知识后,要有一个习惯,就是把它们横向联系起来.我们已经学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形. 接下来你觉得可以研究什么?它们之间有什么关系呢?”一步一步地引导,学生也就能够自己提出课题:对它们的性质进行比较.
3. 运用由远及近的提示语分层指导再创造
再创造是有一定难度的,如何才能避免它仅仅成为优秀学生的再创造,真正让全体学生都参与进来呢?此外,由于每个人有不同的数学现实、知识结构、思维水平,在实施再创造教学时,如何兼顾不同层次的学生呢?实际上,通过分层启发的方式,可以最大限度地促进不同层次学生进行再创造.具体而言,可以运用“由远及近的提示语”指导学生进行再创造.
下面以“两角差的余弦公式”的推导为例,阐述“由远及近的提示语”在指导学生再创造活动中的简要应用.
师:怎么求cos(45°-30°),它等于多少?
生:不知道.
师:这是一个什么范畴的问题?
生:这是一个关于三角函数的问题.
师:研究三角函数,我们手头有什么工具?或者说我们通常用什么方法?
生:通常可以借助直角坐标系和单位圆.
师:好,下面我们画出图形,并标明相关的元素,在图中进行观察与研究.
师:这与之前学习的知识有什么联系吗?
生:可以运用向量的知识.
师:在向量的知识框架中,它表示什么?
生:它表示45° 与 30°的夹角.
师:很好,具体怎么表示呢?
生:■=(cos 45°,sin 45°); ■=(cos 30°,
sin 30°), ■· ■=|■|·| ■|cos(45°-30°).
师:这与我们要求的问题之间有什么关系? 还可以怎么表示呢?
生:还可以用向量的数量积来表示,得出:cos(45°-30°)= cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
师:好,那你们的结论是什么?
生:cos(45°-30°)=■.
……
至此,学生得出特殊情形下的结论,然后再逐步过渡到一般结论.这一过程中所有提示语的使用都显得很自然,学生的回答也在情理之中. 这样的过程也兼顾了大部分学生的水平,尊重不同学生再创造的需求.
运用“由远及近的提示语”进行再创造教学,既面向全体学生,又能满足不同学生的要求. 这样能够使每位学生或多或少地体验再创造的乐趣,也能使不同层次的学生在原有的数学水平上均有所提高.
4. 及时反馈、积极评价,加强总结、注重反思
再创造的过程往往不是一帆风顺的,经常会出现各种各样的问题,教师该如何处理呢?
首先,及时反馈、积极评价. 反馈一直被认为是有效学习的关键. 对于学生再创造的结果,教师需要及时反馈.及时反馈有助于巩固已形成的正确结论,并更正错误的观念. 值得注意的是,要积极评价学生再创造的成果,保护其积极性. 毕竟,对学生而言,要形成一个正确的观念,需要经历一个从片面到全面、模糊到清晰、表象到实质的复杂思维过程,很难一步到位. 而且,无论正确与否,它都是学生深思熟虑的结果,蕴涵着学生积极主动的智力参与. 更何况,让学生在学习中尽力展示自己的才能,从而获得成就感是再创造教学原则的精髓.
其次,加强总结、注重反思. 再创造结束时,要进行阶段小结,总结成功的经验和存在的不足. 让学生反思再创造过程中走过哪些弯路,有什么好的经验以及其他的心得体会. 比如,对于做题而言,总结本题用了什么方法?蕴涵了什么数学思想?怎么想到的?还有没有其他的方法?对于知识获得而言,思考知识发展的来龙去脉,前后知识有什么关联等. 实践证明:再创造后的总结与反思,既可以使学生深刻地理解和系统地掌握所学知识,又能使学生思维的广阔性、灵活性等多种品质得到锻炼.[3] 这样的总结与反思,有助于提高学生的再创造能力,并逐步形成再创造意识.
5. 对学生进行再创造方法的指导
再创造水平的高低受学生数学现实、知识构成、思维水平的影响,在很大程度上也受学生所掌握的再创造方法的制约.鉴于再创造活动有很大程度的探究成分,因此指导学生获得再创造的一般方法显得特别重要.
创造始于猜想,在数学再创造过程中,猜想有着不可估量的作用. 再创造活动中,往往需要对结论进行合情推理. 归纳与类比是合情推理中最基本、也是最重要的两种形式,是再创造教学中学生猜想常用的推理方法.在数学教学过程中,需要引导学生逐步掌握包括归纳与类比在内的各种进行再创造活动的方法.
比如,学了线面垂直、线面平行的各种性质定理和判定定理以后,可以引导学生自己再创造出面面垂直、面面平行的性质定理以及判定定理,这就是运用合情推理中的类比法.
再创造活动是有指导的再创造.[4]因此,数学教学实践中需要加强数学思想方法的渗透,注重研究问题一般方法(尤其是“从无到有”研究问题方法)的指导,使学生学活数学,学到数学的精髓. 长此以往,学生学到的不仅仅是通过再创造获得的知识,更重要的是学会了再创造的一般方法,这对日后其他知识的学习大有裨益. 同时,对学生进行再创造方法指导的过程,也发展了学生的认识力,促进知识与能力的可持续发展.
6. 处理好教师引导与学生独立再创造的关系
再创造的核心是数学过程的再现,但它并不是简单地由学生自己独立地发现或创造出知识,也不是单纯的教师指导下的学生活动,而是通过教师精心设计,创设问题情境,通过学生自己动手实验研究、合作探讨、探索问题结果并进行组织的一种学习方式.[5]
实施再创造教学时,不能搞一言堂,也不能放任自流. 应遵循“教师是主导,学生是主体”的原则.一方面,在再创造教学环境下,充分发挥学生的能动作用, 让学生自己动手动脑,独立主动地去再创造,使其自由地享受再创造的乐趣. 另一方面,教师则应通过适当的启发,引导学生加强反思,使学生的创造活动由不自觉或盲目的状态,发展为有意识有目的的创造活动.[2]
再创造是一种有指导的再创造.教学过程中应该努力使创造的自由性与指导的约束性,以及学生取得乐趣与满足教师要求之间达到一种微妙的平衡.[4]
三、结束语
对教师而言,再创造是一种教学策略;对学生而言,再创造表现为一定的学习能力.再创造能力的提高、再创造意识的形成不是一蹴而就的,它是一个长期的过程,需要循序渐进,逐步进行. 为了使学生真正形成再创造意识、获得再创造能力、产生持续的再创造欲望,教师需要将再创造活动进行到底,将它贯穿于数学教学过程的始终,即教学中应该秉承对再创造活动的坚持.
当然,我们并不期待所有知识都通过再创造的方式让学生获得,也不要求一节课从头到尾都是再创造.其实,再创造可以只是某节课的一个片断、一个环节,甚至只是再创造思想的提及.总之,应该尽可能更早地、更多地让学生体验再创造.
作为教育任务的数学需要再创造,21世纪人才的培养呼唤再创造.
参考文献:
[1] 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平,等译. 上海:上海教育出版社,1995.
[2] 唐瑞芬. 数学教学理论选讲[M]. 上海:华东师范大学出版社,2000:38,123.
[3] 尹成江. 新课程理念下的再创造活动探讨[J]. 数学通报,2004(8):7.
[4] 弗赖登塔尔. 数学教育再探——在中国的讲学[M]. 刘意竹,等译. 上海:上海教育出版社,1999:62-68.
[5] 张奠宙,宋乃庆,等. 数学教育概论[M]. 北京:高等教育出版社,2004:169.
一、弗赖登塔尔“再创造”思想简介
“再创造”是荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔教授提出的.
弗赖登塔尔有关“再创造”思想的论述十分丰富,主要有以下几点:(1)数学根源于普通常识,数学实质上是人们常识的系统化,因而每个学生都可以在一定的指导下,通过自己的实践活动来获得这些知识;(2)数学是最容易创造的一门科学,每个人都可以结合自己已有的数学现实重新创造数学知识;(3)每个人有不同的“数学现实”,因而可达到不同的水平,每个学生都应充分享有再创造的自由;(4)学生通过再创造学习数学的过程,实际上就是一个做数学的过程;(5)学习数学唯一正确的方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学的东西发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生;(6)再创造应该贯穿于数学教育的全过程.[1]
二、实现数学有效“再创造”的途径
“再创造”的思想传入我国已有多年,对我国数学教育产生了深远的影响. 为了切实贯彻这一思想,提高再创造活动的有效性与针对性,以下几点值得关注.
1. 激发学生再创造的动机,并使其感受到再创造的需要
动机是唤醒和推动创造的原动力.为了使教学符合学生的认知特点,使学生体会到数学“冰冷”美丽下“火热”的思考,需要激发学生再创造的动机,以引起其再创造的欲望.
如何才能激发学生再创造的动机,使其感受到再创造的需要呢?首先,从数学知识发展的需要来考虑. 如南师大附中陶维林老师讲“到角”内容时,带领学生探究问题,最后发现“夹角的概念不够用了,所以我们要引入‘到角’”. 这就是数学知识发展自然而然的要求,学生能真实地感受到引入这个概念的必要性. 其次,从解决问题出发. 可以是源于现实的问题、数学史上的经典问题,或者一些有代表性的常规数学问题. 如通过解决x2+1=0引入虚数,就是数学史上的问题. 第三,运用多媒体技术.合理运用多媒体技术,能够增强再创造的有效性与趣味性,唤起学生的创造热情. 如可以通过几何画板等教学软件动态地演示一些图象的变化,让学生在动态变化中猜想一些结论或者探索不变的规律. 第四,借助数学美. 美好的事物总是令人向往与喜欢的,数学中也不乏美. 如字母表示数的简洁美、黄金分割美、图形对称美、推理严谨美等等.恰当地借助数学美同样可以激发学生再创造的欲望.
使学生感受到再创造的需要,才有可能进行再创造.[2] 借助包含上述方式在内的各种途径,可以在一定程度上引起学生的创造欲望,并使其体验创造的乐趣,从而产生对数学学习的兴趣. 同时,这对于培养学生的创造精神也是有益的.
2. 努力让学生自己提出再创造的课题
数学教学过程中,应该努力引导学生自己提出需要再创造的课题,使学生通过自己的思考发现本节课或本阶段将要解决的问题,即从课题的提出就使学生经历再创造.学生自己提出课题的再创造是最理想的再创造.
以正方形的学习为例,在此之前学生已经学习了平行四边形、矩形、菱形. 教师引导学生思考:研究一种图形可以从哪些方面考虑?怎样算是了解一种图形了?之前是怎么研究的?回忆前几种图形的学习,学生思考后会想到:研究一种图形可以从它的边、角、对角线等方面考虑. 经过认真思考和动手实践之后,他们能够“再创造”出正方形的种种性质:四边相等;对角线垂直、平分且相等;四个角都是90°;对边平行等等.
学完正方形性质之后,教师可以引导学生进一步提出课题. “学完一些知识后,要有一个习惯,就是把它们横向联系起来.我们已经学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形. 接下来你觉得可以研究什么?它们之间有什么关系呢?”一步一步地引导,学生也就能够自己提出课题:对它们的性质进行比较.
3. 运用由远及近的提示语分层指导再创造
再创造是有一定难度的,如何才能避免它仅仅成为优秀学生的再创造,真正让全体学生都参与进来呢?此外,由于每个人有不同的数学现实、知识结构、思维水平,在实施再创造教学时,如何兼顾不同层次的学生呢?实际上,通过分层启发的方式,可以最大限度地促进不同层次学生进行再创造.具体而言,可以运用“由远及近的提示语”指导学生进行再创造.
下面以“两角差的余弦公式”的推导为例,阐述“由远及近的提示语”在指导学生再创造活动中的简要应用.
师:怎么求cos(45°-30°),它等于多少?
生:不知道.
师:这是一个什么范畴的问题?
生:这是一个关于三角函数的问题.
师:研究三角函数,我们手头有什么工具?或者说我们通常用什么方法?
生:通常可以借助直角坐标系和单位圆.
师:好,下面我们画出图形,并标明相关的元素,在图中进行观察与研究.
师:这与之前学习的知识有什么联系吗?
生:可以运用向量的知识.
师:在向量的知识框架中,它表示什么?
生:它表示45° 与 30°的夹角.
师:很好,具体怎么表示呢?
生:■=(cos 45°,sin 45°); ■=(cos 30°,
sin 30°), ■· ■=|■|·| ■|cos(45°-30°).
师:这与我们要求的问题之间有什么关系? 还可以怎么表示呢?
生:还可以用向量的数量积来表示,得出:cos(45°-30°)= cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
师:好,那你们的结论是什么?
生:cos(45°-30°)=■.
……
至此,学生得出特殊情形下的结论,然后再逐步过渡到一般结论.这一过程中所有提示语的使用都显得很自然,学生的回答也在情理之中. 这样的过程也兼顾了大部分学生的水平,尊重不同学生再创造的需求.
运用“由远及近的提示语”进行再创造教学,既面向全体学生,又能满足不同学生的要求. 这样能够使每位学生或多或少地体验再创造的乐趣,也能使不同层次的学生在原有的数学水平上均有所提高.
4. 及时反馈、积极评价,加强总结、注重反思
再创造的过程往往不是一帆风顺的,经常会出现各种各样的问题,教师该如何处理呢?
首先,及时反馈、积极评价. 反馈一直被认为是有效学习的关键. 对于学生再创造的结果,教师需要及时反馈.及时反馈有助于巩固已形成的正确结论,并更正错误的观念. 值得注意的是,要积极评价学生再创造的成果,保护其积极性. 毕竟,对学生而言,要形成一个正确的观念,需要经历一个从片面到全面、模糊到清晰、表象到实质的复杂思维过程,很难一步到位. 而且,无论正确与否,它都是学生深思熟虑的结果,蕴涵着学生积极主动的智力参与. 更何况,让学生在学习中尽力展示自己的才能,从而获得成就感是再创造教学原则的精髓.
其次,加强总结、注重反思. 再创造结束时,要进行阶段小结,总结成功的经验和存在的不足. 让学生反思再创造过程中走过哪些弯路,有什么好的经验以及其他的心得体会. 比如,对于做题而言,总结本题用了什么方法?蕴涵了什么数学思想?怎么想到的?还有没有其他的方法?对于知识获得而言,思考知识发展的来龙去脉,前后知识有什么关联等. 实践证明:再创造后的总结与反思,既可以使学生深刻地理解和系统地掌握所学知识,又能使学生思维的广阔性、灵活性等多种品质得到锻炼.[3] 这样的总结与反思,有助于提高学生的再创造能力,并逐步形成再创造意识.
5. 对学生进行再创造方法的指导
再创造水平的高低受学生数学现实、知识构成、思维水平的影响,在很大程度上也受学生所掌握的再创造方法的制约.鉴于再创造活动有很大程度的探究成分,因此指导学生获得再创造的一般方法显得特别重要.
创造始于猜想,在数学再创造过程中,猜想有着不可估量的作用. 再创造活动中,往往需要对结论进行合情推理. 归纳与类比是合情推理中最基本、也是最重要的两种形式,是再创造教学中学生猜想常用的推理方法.在数学教学过程中,需要引导学生逐步掌握包括归纳与类比在内的各种进行再创造活动的方法.
比如,学了线面垂直、线面平行的各种性质定理和判定定理以后,可以引导学生自己再创造出面面垂直、面面平行的性质定理以及判定定理,这就是运用合情推理中的类比法.
再创造活动是有指导的再创造.[4]因此,数学教学实践中需要加强数学思想方法的渗透,注重研究问题一般方法(尤其是“从无到有”研究问题方法)的指导,使学生学活数学,学到数学的精髓. 长此以往,学生学到的不仅仅是通过再创造获得的知识,更重要的是学会了再创造的一般方法,这对日后其他知识的学习大有裨益. 同时,对学生进行再创造方法指导的过程,也发展了学生的认识力,促进知识与能力的可持续发展.
6. 处理好教师引导与学生独立再创造的关系
再创造的核心是数学过程的再现,但它并不是简单地由学生自己独立地发现或创造出知识,也不是单纯的教师指导下的学生活动,而是通过教师精心设计,创设问题情境,通过学生自己动手实验研究、合作探讨、探索问题结果并进行组织的一种学习方式.[5]
实施再创造教学时,不能搞一言堂,也不能放任自流. 应遵循“教师是主导,学生是主体”的原则.一方面,在再创造教学环境下,充分发挥学生的能动作用, 让学生自己动手动脑,独立主动地去再创造,使其自由地享受再创造的乐趣. 另一方面,教师则应通过适当的启发,引导学生加强反思,使学生的创造活动由不自觉或盲目的状态,发展为有意识有目的的创造活动.[2]
再创造是一种有指导的再创造.教学过程中应该努力使创造的自由性与指导的约束性,以及学生取得乐趣与满足教师要求之间达到一种微妙的平衡.[4]
三、结束语
对教师而言,再创造是一种教学策略;对学生而言,再创造表现为一定的学习能力.再创造能力的提高、再创造意识的形成不是一蹴而就的,它是一个长期的过程,需要循序渐进,逐步进行. 为了使学生真正形成再创造意识、获得再创造能力、产生持续的再创造欲望,教师需要将再创造活动进行到底,将它贯穿于数学教学过程的始终,即教学中应该秉承对再创造活动的坚持.
当然,我们并不期待所有知识都通过再创造的方式让学生获得,也不要求一节课从头到尾都是再创造.其实,再创造可以只是某节课的一个片断、一个环节,甚至只是再创造思想的提及.总之,应该尽可能更早地、更多地让学生体验再创造.
作为教育任务的数学需要再创造,21世纪人才的培养呼唤再创造.
参考文献:
[1] 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平,等译. 上海:上海教育出版社,1995.
[2] 唐瑞芬. 数学教学理论选讲[M]. 上海:华东师范大学出版社,2000:38,123.
[3] 尹成江. 新课程理念下的再创造活动探讨[J]. 数学通报,2004(8):7.
[4] 弗赖登塔尔. 数学教育再探——在中国的讲学[M]. 刘意竹,等译. 上海:上海教育出版社,1999:62-68.
[5] 张奠宙,宋乃庆,等. 数学教育概论[M]. 北京:高等教育出版社,2004:169.