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题目
如图1，圆O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°,弦BD=
BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长；
（3）求证：BE是圆O的切线.
解析： 命题者把四个直角三角形和一个等腰三角形有机地组合在一个圆上，提出三问，有计算、有证明，所以有综合性.第一问，求证∠BCA=∠BAD.在圆上求角相等，离不开弧和等角.此问利用同一弧上角圆周的与等腰三角形的两个底角相等的性质即可证之，证法既简单又容易，所以本文就不研究它的证法了.第（2）问求DE的长，从DE所在的图形上看，求解的思路甚广：其一利用相似三角形；其二利用勾股定理；其三利用线段的和差关系；其四利用切割线定理.第（3）问求证BE是圆O的切线，观察图形想到连结BO，证明BE⊥BO;因为DE⊥BE
，所以想到证明BO∥ED.下面就分别研究这后两问的多种解证方法.
（2）求DE的长.
解法1： 如题图1，
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°,
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2
=122+52=13，
因为BE⊥DC,所以∠DEB=90°,∠ABC=90°,
所以∠DEB=∠ABC,∠BAC=∠BDC〖FY(=〗m
1 2
BC.
所以△DEB∽△ABC,所以
DE AB
= BD AC .即 DE 12
= 12 13 ，
所以DE= 144 13 .
解法2： 如图2，过点B作BF⊥
AC于点F，
因为BF是Rt△ABC斜边AC上的高.
所以BC2=CF•AC，即S2=CF•13，
所以CF= 25 13 ，在Rt△BFC中，
BF2=BC2-CF2=52-（ 25 13 ）2=
25- 625 169
= 4225-625 169 =
3600 169
,所以BF= 60 13 .
因为∠BCE是圆O内接四边形ABCD的外角.
所以∠BCE=∠BAD=∠BDA=∠BCF,∠BEC=∠BFC=90°,
BC公用，所以Rt△BEC≌Rt△BFC,所以
BE=BF= 60 13 ,
在Rt△BED中，DE2=BD2-BE2=122-
（ 60 13 ）2
= 24336-3600 169
= 20736 169
，
所以DE=
144 13 .
解法3：
如图2，过点B作BF⊥AC于点F.
由解法2知CF= 25 13 .
所以AF=AC-CF=13- 25 13 = 169-25 13
= 144 13 .
在Rt△BDE与Rt△BAF中，BD=BA，∠BED=∠BFA=90°
,
∠BDE=∠BAFm
1 2 BC，
所以
Rt△BED≌Rt△BFA,
所以DE=AF= 144 13 .
解法4 ：如图3，连结并延长BO交AD于G.过点B作BF⊥AC
于点F.
因为OB=OC，所以△OBC是等腰三角形，△BAD也是等腰三角形，所以∠
OCB=∠BDA,
所以∠BOC=∠ABD=∠ACD,所以BG∥ED,
因为DE⊥EB,所以BG⊥EB,BG⊥AD,
因为FO=CO-CF= 13 2
- 25 13 = 169-50 26
= 119 26 .
因为OA=OB，
∠AOG=∠BOF，∠AGO=∠BFO=90°,
所以Rt△AGO≌Rt△BFO,所以OG=FO=
119 26 ,
所以BG=BO+OG=
13 2 +
119 26 = 169+119 26 =
288 26 .
易证DE=BG= 144 13 .
解法5：
如图3，连结并延长BO交AD于G，过点B作BF⊥
AC于点F.
由解法4知OG是△ACD的中位线，且OG=
119 26 ,
所以CD=2OG= 119 13 .由
解法2知CE=
25 13 ,
所以DE=CD+CE= 119 13
+ 25 13
= 144 13 .
解法6：
如图2，过点B作BF⊥
AC于F.
易证 CE=CF= 25 13 ，BE=
BF= 60 13 ，
由第（3）问的结论BE是圆O的切线（其证明如后面）.所以
BE2=CE•DE,即( 60 13 )2=
25 13 DE,
所以DE= 3600 132
× 13 25
,所以DE= 144 13 .
（3）求证：BE是圆O的切线.
证法1 ：
如图3，连结BO，
因为
∠BCE是圆O内接四边形ABCD的外角，
所以∠BCE=∠BAD=∠BDA=∠BCA，因为∠
BEC=∠ABC=90°,所以∠
EBC=∠
BAC=∠ABO.
因为∠ABC=∠ABO+∠OBＣ=90°,所以∠
ＥＢＣ＋∠OBC=90°,
即ＥB⊥BO.因为OB是圆Ｏ的半径，
所以ＢＥ是圆Ｏ的切线.
证明2：
如图4，连结BO.
因为
∠ABC=90°,所以AC是圆O的直径.
所以∠ADC=90°，所以∠
BAD+∠BCD=180°,
因为∠BAD=∠BDA=∠BCO，
因为OB=OC，
所以∠BCO=∠
CBO,所以∠CBO+∠BCD=
180°.
所以OB∥DE,所以∠DEB+∠EBO=
180°.因为∠DEB=90°.
所以∠OBE=90°,所以EB⊥
BO,因为BO
是圆O的半径，
所以BE是圆O的切线.
证法3：
如图3，连结BO.
因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，由证1知∠BCE=
∠BAD.
又∠OCB=∠BDA=∠BAD.所以∠OBC=∠BCE，
所以OB∥CE,所以CE⊥
BE,所以BE⊥BO,
所以OB是圆O的半径，所以BE是圆O的切线.
证法4：
如图4，连结OB，
因为∠AOB是△OBC的外角，所以∠
AOB=∠OBC+∠OCB,
由证1知∠BCE=∠BCA，所以∠AOB=∠
BCE+∠BCA,
所以∠AOB=∠OCE,所以BO∥EC,因为EC⊥
BE,
所以BE⊥BO,因为OB是圆O的半径，
所以BE是圆O的切线.
证法5： 如图4，连结BO，
由解法4知∠BOC=∠ABD=∠ACD，所以BO∥
EC,
因为CE⊥BE,所以BE⊥BO,
因为BO是圆O的半径，所以BE是圆O的切线.
证法6：
如图3，连结并延长BO交AD于G.
由解法4知BG∥ED,因为∠ABC是直角，
所以AC是圆O的直径，所以∠ADC=90°
,所以ED⊥AD,
所以BG⊥AD,所以∠BED=∠GDE=∠BGD=90°,
因为BEDG是四边形，其内角和为（n-2)180°.
所以四边形BEDG的内角和为(4-2)180°
=360°.
所以∠EBG=360°-(∠BEO+∠GDE+∠BGD)
=360°-(90°+90°+90°)=360°-270°
=90°.
所以BE⊥BO.
因为BO是圆O的半径.所以BE是圆O的切线.
如图1，圆O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°,弦BD=
BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长；
（3）求证：BE是圆O的切线.
解析： 命题者把四个直角三角形和一个等腰三角形有机地组合在一个圆上，提出三问，有计算、有证明，所以有综合性.第一问，求证∠BCA=∠BAD.在圆上求角相等，离不开弧和等角.此问利用同一弧上角圆周的与等腰三角形的两个底角相等的性质即可证之，证法既简单又容易，所以本文就不研究它的证法了.第（2）问求DE的长，从DE所在的图形上看，求解的思路甚广：其一利用相似三角形；其二利用勾股定理；其三利用线段的和差关系；其四利用切割线定理.第（3）问求证BE是圆O的切线，观察图形想到连结BO，证明BE⊥BO;因为DE⊥BE
，所以想到证明BO∥ED.下面就分别研究这后两问的多种解证方法.
（2）求DE的长.
解法1： 如题图1，
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°,
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2
=122+52=13，
因为BE⊥DC,所以∠DEB=90°,∠ABC=90°,
所以∠DEB=∠ABC,∠BAC=∠BDC〖FY(=〗m
1 2
BC.
所以△DEB∽△ABC,所以
DE AB
= BD AC .即 DE 12
= 12 13 ，
所以DE= 144 13 .
解法2： 如图2，过点B作BF⊥
AC于点F，
因为BF是Rt△ABC斜边AC上的高.
所以BC2=CF•AC，即S2=CF•13，
所以CF= 25 13 ，在Rt△BFC中，
BF2=BC2-CF2=52-（ 25 13 ）2=
25- 625 169
= 4225-625 169 =
3600 169
,所以BF= 60 13 .
因为∠BCE是圆O内接四边形ABCD的外角.
所以∠BCE=∠BAD=∠BDA=∠BCF,∠BEC=∠BFC=90°,
BC公用，所以Rt△BEC≌Rt△BFC,所以
BE=BF= 60 13 ,
在Rt△BED中，DE2=BD2-BE2=122-
（ 60 13 ）2
= 24336-3600 169
= 20736 169
，
所以DE=
144 13 .
解法3：
如图2，过点B作BF⊥AC于点F.
由解法2知CF= 25 13 .
所以AF=AC-CF=13- 25 13 = 169-25 13
= 144 13 .
在Rt△BDE与Rt△BAF中，BD=BA，∠BED=∠BFA=90°
,
∠BDE=∠BAFm
1 2 BC，
所以
Rt△BED≌Rt△BFA,
所以DE=AF= 144 13 .
解法4 ：如图3，连结并延长BO交AD于G.过点B作BF⊥AC
于点F.
因为OB=OC，所以△OBC是等腰三角形，△BAD也是等腰三角形，所以∠
OCB=∠BDA,
所以∠BOC=∠ABD=∠ACD,所以BG∥ED,
因为DE⊥EB,所以BG⊥EB,BG⊥AD,
因为FO=CO-CF= 13 2
- 25 13 = 169-50 26
= 119 26 .
因为OA=OB，
∠AOG=∠BOF，∠AGO=∠BFO=90°,
所以Rt△AGO≌Rt△BFO,所以OG=FO=
119 26 ,
所以BG=BO+OG=
13 2 +
119 26 = 169+119 26 =
288 26 .
易证DE=BG= 144 13 .
解法5：
如图3，连结并延长BO交AD于G，过点B作BF⊥
AC于点F.
由解法4知OG是△ACD的中位线，且OG=
119 26 ,
所以CD=2OG= 119 13 .由
解法2知CE=
25 13 ,
所以DE=CD+CE= 119 13
+ 25 13
= 144 13 .
解法6：
如图2，过点B作BF⊥
AC于F.
易证 CE=CF= 25 13 ，BE=
BF= 60 13 ，
由第（3）问的结论BE是圆O的切线（其证明如后面）.所以
BE2=CE•DE,即( 60 13 )2=
25 13 DE,
所以DE= 3600 132
× 13 25
,所以DE= 144 13 .
（3）求证：BE是圆O的切线.
证法1 ：
如图3，连结BO，
因为
∠BCE是圆O内接四边形ABCD的外角，
所以∠BCE=∠BAD=∠BDA=∠BCA，因为∠
BEC=∠ABC=90°,所以∠
EBC=∠
BAC=∠ABO.
因为∠ABC=∠ABO+∠OBＣ=90°,所以∠
ＥＢＣ＋∠OBC=90°,
即ＥB⊥BO.因为OB是圆Ｏ的半径，
所以ＢＥ是圆Ｏ的切线.
证明2：
如图4，连结BO.
因为
∠ABC=90°,所以AC是圆O的直径.
所以∠ADC=90°，所以∠
BAD+∠BCD=180°,
因为∠BAD=∠BDA=∠BCO，
因为OB=OC，
所以∠BCO=∠
CBO,所以∠CBO+∠BCD=
180°.
所以OB∥DE,所以∠DEB+∠EBO=
180°.因为∠DEB=90°.
所以∠OBE=90°,所以EB⊥
BO,因为BO
是圆O的半径，
所以BE是圆O的切线.
证法3：
如图3，连结BO.
因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，由证1知∠BCE=
∠BAD.
又∠OCB=∠BDA=∠BAD.所以∠OBC=∠BCE，
所以OB∥CE,所以CE⊥
BE,所以BE⊥BO,
所以OB是圆O的半径，所以BE是圆O的切线.
证法4：
如图4，连结OB，
因为∠AOB是△OBC的外角，所以∠
AOB=∠OBC+∠OCB,
由证1知∠BCE=∠BCA，所以∠AOB=∠
BCE+∠BCA,
所以∠AOB=∠OCE,所以BO∥EC,因为EC⊥
BE,
所以BE⊥BO,因为OB是圆O的半径，
所以BE是圆O的切线.
证法5： 如图4，连结BO，
由解法4知∠BOC=∠ABD=∠ACD，所以BO∥
EC,
因为CE⊥BE,所以BE⊥BO,
因为BO是圆O的半径，所以BE是圆O的切线.
证法6：
如图3，连结并延长BO交AD于G.
由解法4知BG∥ED,因为∠ABC是直角，
所以AC是圆O的直径，所以∠ADC=90°
,所以ED⊥AD,
所以BG⊥AD,所以∠BED=∠GDE=∠BGD=90°,
因为BEDG是四边形，其内角和为（n-2)180°.
所以四边形BEDG的内角和为(4-2)180°
=360°.
所以∠EBG=360°-(∠BEO+∠GDE+∠BGD)
=360°-(90°+90°+90°)=360°-270°
=90°.
所以BE⊥BO.
因为BO是圆O的半径.所以BE是圆O的切线.