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纵观近几年的中考题,很多中高档题来源于课本或是课本知识的拓展应用,如何更好的利用好教材,如何在教材基本知识的基础上,挖掘出隐藏在“内部”的潜在知识能量,从能力培养的角度,让学生的思维活跃,养成主动探究的数学学习习惯,是我们数学教育者追求的永恒主题.下面,笔者以同底等高的三角形面积相等,等底的两个三角形的面积比等于高之比为基础来探究课本中的基本“等积体”．
引例在一次测试题中有这样一道题：如果两个三角形中两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是( )
A. 相等 B. 不相等
C. 互余或相等D.互补或相等
此题的得分率非常低,很多同学根本不知道该怎样画图,更不知道怎样去分析.部分学生误认为两个三角形全等,所以选择了A.其实,两个三角形全等仅仅是其中的一种情况,学生不能够想象出另一种情况是因为自己根本不能够画出图形.从另一个角度可以看出,教师在平时的授课中应该注重挖掘知识点内部的能量,真正提高学生分析问题解决问题的能力．
如图1,在△ABD和△ACD中,AB=DC,AD=AD,BF和CE分别是△ABD和△ACD中AD边上高,我们构造了一个图形,满足题意.我们易证四边形ABCD是平行四边形,BD所对的角是∠BAD,AC所对的角是∠ADC, ∠BAD+∠ADC=180°.所以,正确答案应该是D.其实,△ABD和△ACD就是两个等底同高的两个三角形,而且BC∥AD.此题的得分率很低,说明这一数学模型对于学生来讲是一个“漏洞”.需要我们在平时的授课中注重培养学生在这方面知识的积累,真正提高学生探究问题的能力．
探究1正方形ABCD的对角线交点为O,两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形.这一知识点我们已经很熟悉,我们可以在此基础上,让学生利用两个三角形底与高的关系来变式探究四边形内部的面积关系．
变式探究1 平行四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4.试判断S1,S2,S3,S4的关系．
分析如图2,由于四边形ABCD是平行四边形,所以OA＝OC.又△AOB,△BOC的边OA,OC上的高相同,所以,S1＝S2．
同理S2＝S3,S3＝S4,S4＝S1,所以S1＝S2＝S3＝S4．
变式探究2 四边形ABCD的两条对角线互相垂直,交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系．
分析 如图3,由于AC⊥BD,垂足为O,所以S1＝12OA•OB,S2＝12OB•OC,S3＝12OC•OD,S4＝12OD•OA,则有S1S3＝S2S4．
若将变式探究2中四边形ABCD的两条对角线互相垂直这一条件去掉,看一下结论是否仍然成立．
变式探究3四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系．
分析 如图4,设点B到线段AC所在直线的距离为h1,点D到线段AC所在直线的距离为h2,
则S1＝12OA•h1,S2＝12OC•h1,S3＝12OC•h2,S4＝12OA•h2,
所以有S1S3＝S2S4. 由变式探究2和变式探究3可知,无论四边形的形状如何,两条对角线把四边形分割成四部分 ,如图4,则△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4 都存在关系S1S3＝S2S4．
变式探究4 四边形ABCD的两条对角线相等,交点为O,∠BAC＝∠BDC,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试只用S1,S3或只用S2,S4表示四边形ABCD的面积S.
分析 思路一：已知∠BAC=∠BDC,又∠AOB=∠DOC,那么∠DCA=∠ABD.①如图5,当AB与CD不平行时,必相交于一点,不妨设线段BA与CD的延长线交于点E.已知AC=BD,又∠AEC=∠DEB,所以△AEC≌△DEB(AAS),则AE＝DE,CE＝BE,所以AB＝DC,所以△AOB≌△DOC,则S1＝S3．
由变式探究3可知：S1S3=S2S4,所以S21=S2S4,那么S=S1+S2+S3+S4＝2S1+S2+S4＝S2+S4+2S2S4(或＝(S2+S4)2)
②如图6,当AB与CD平行时,则△ABD与△BAC同底等高,有S1+S2=S1+S4,
则S2＝S4,由于有S1S3=S2S4,所以S22= S1S3,S＝S1+S3+2S2＝S1+S3+2S1S3(或＝(S1+S3)2).由①、②两步可知四边形ABCD的面积S为 S2＋S4+2S2S4或S1+S3+2S1S3．
思路二：在△AOB和△DOC中,已知∠BAC=∠BDC,又∠AOB=∠DOC,那么∠DCA=∠ABD,所以△AOB∽△DOC,则OAOD＝OBOC.设点A到线段BD所在直线的距离为h1,点B到线段AC所在直线的距离为h2,点C到线段BD所在直线的距离为h3,点D到线段AC所在直线的距离为h4.由于S4＝12OA•h4＝12OD•h1,所以OAOD＝h1h4.同理OBOC＝h2h3,那么h1h4＝h2h3.已知AC＝BD,所以S△ABDS△DAC＝S△BACS△CDB,即S1+S4S3+S4＝S1+S2S2+S3,整理得S1S2+S3S4＝S2S3+S1S4,所以有S2(S1－S3)=S4(S1－S3),①当S1≠S3时,有S2＝S4.由于有S1S3＝S2S4,所以S22＝S1S3,那么S＝S1+S3+2S1S3(或＝(S1+S3)2).②当S1＝S3时,同理有S＝S2＋S4+2S2S4(或＝(S2+S4)2).由①、②两步可知四边形ABCD的面积S为 S2＋S4+2S2S4或S1+S3+2S1S3．
探究2 由反比例函数y=kx(k≠0)的定义可知：双曲线上任意一点的横、纵坐标之积为定值k．
根据这一性质,可以得出如下两个结论(也就是k的几何意义)：
1.图象上任意一点向两坐标轴引垂线,与原点所围成的矩形面积为定值|k|．
2.图象上任意一点向某一坐标轴引垂线,与连结原点所构成的直角三角形的面积为定值|k|2.学生对这两个结论掌握的很熟练,应用也很灵活,但我们可在此基础上,再深挖教材,提高学生认识,拓宽学生的思路．
直线与双曲线相交,如图7所示,直线与双曲线交于A、B两点,与x、y轴交于C、D两点,AD与BC有什么关系．
如图7,直线CD与双曲线交于A、B两点,交x、y轴于C、D两点,过A、B两点分别作x、y轴的垂线,垂足分别为E、F两点,并连接EF、OA、OB、BE、AF.因为BF∥x轴、AE∥y轴,所以S△BEF=S△OFB=|k|2、S△AFE=S△AEO=|k|2. 所以S△BEF=S△AEF.所以A、B到直线EF的距离相等,EF∥AB.这样我们就很容易得到：四边形BCEF、AEFD都是平行四边形那么AD=EF, BC=EF,即：AD=BC.
在探究2中,S△BEF=S△OFB=|k|2,S△AFE=S△AEO=|k|2就是应用到了同底等高的两个三角形面积相等,而有S△BEF=S△AEF,得到EF∥AB,也是应用到了同底、面积相等的两个三角形的高相等.从而应用平行四边形的判定与性质得到EF∥AB,同理可证直线与双曲线在第三象限有两个交点时,得到相同的结论．
结论：某直线与双曲线交于A、B两点,与x、y轴交于C、D两点,则AD=BC．
深入探究：在探究2中,若直线与双曲线相交的两个交点在两支上,结论是否还成立？
如图8所示,与探究2的证明类似,S△BEF=S△OFB=|k|2,S△AFE=S△AEO=|k|2,所以S△BEF=S△AEF,得到EF∥AB,同理得到：四边形BCEF、AEFD都是平行四边形那么AD=EF, BC=EF即：AD=BC．
看来,无论直线与双曲线的两个交点在两支上还是在同一支上,我们都可以得到上面结论．
变式训练1 如图9,三角形ABC的面积为a,BD∶DC=2∶1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,那么四边形PDCE的面积为.(用含a的代数式表示)
分析 因为E是AC的中点,所以△ABE和△BCE等底同高,所以△ABE和△BCE的面积相等,又因为BD∶DC=2∶1,△ABD和△ACD的高相同,所以△ABD和△ACD的面积之比是2∶1.所以S△BCE=S△ABE=12a,S△ABD=23a,S△ACD=13a.分析到这个地方我们还是很难求出四边形PDCE的面积,所以我们可以考虑将四边形PDCE的面积分割,如图10,连接PC,设△APE的面积为x,则△PCE的面积为x, S△ACD=13a,S△BCE=12a,S△BCE-S△ACD=16a,所以S△BDP-S△APE=16a,S△BDP=x+16a,又因为S△BDP∶S△PCD=2∶1,所以S△PCD=12(x+16a),由12(x+16a)+x+x=13a,解得x=110a,那么四边形PDCE的面积=13a-110a=730a.
在整个解题过程中,主要借助等底同高面积相等、若同高,面积之比等于底之比来解决；因为四边形PDCE的面积不能通过现成公式来解决,所以我们通过面积分割,将不规则的四边形转化为三角形来求解.此题充分考查了学生分析问题、解决问题的能力,在解题过程中,要求学生具备根据实际问题背景转化运用已知条件的能力,能够利用面积分割,充分利用“等积体”的基本模型来解决问题．
变式训练2：如图11,在△ABC的面积是10,将AB、BC、CA分别延长一倍到D、E、F,两两连接D、E、F,得到一个新的△DEF, 则△DEF的面积为( )
分析 要解决这一问题必须建立起△ABC和△DEF的关系,而两个三角形之间的联系就是A、B、C分别是FC、AD、BE的中点,因此,我们可以依此为突破口,利用三角形的中线把三角形的面积平分来解决这一问题.如图12所示,连接AE、BF、CD,这样就把△DEF分割成了7部分,而易证每一部分的面积都是10,所以,△DEF的面积为70．
看来有很多知识是隐藏在教材的基本知识之中,这就需要我们教育工作者在日常教学中要深挖知识的内部联系,并在此基础上拓展探究,让学生的思维渐渐开阔,逐步培养起主动探究的学习习惯.让学生在不自觉中提高数学能力,进而体会探究数学问题的无穷乐趣,感受到了成功地喜悦．
作者简介:崔春近,中学数学一级教师,全国数学竞赛优秀辅导教师、淄博市优秀教师、有20多篇文章在省级以上报刊发表；任瑞珍,沂源县优秀教师．
引例在一次测试题中有这样一道题：如果两个三角形中两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是( )
A. 相等 B. 不相等
C. 互余或相等D.互补或相等
此题的得分率非常低,很多同学根本不知道该怎样画图,更不知道怎样去分析.部分学生误认为两个三角形全等,所以选择了A.其实,两个三角形全等仅仅是其中的一种情况,学生不能够想象出另一种情况是因为自己根本不能够画出图形.从另一个角度可以看出,教师在平时的授课中应该注重挖掘知识点内部的能量,真正提高学生分析问题解决问题的能力．
如图1,在△ABD和△ACD中,AB=DC,AD=AD,BF和CE分别是△ABD和△ACD中AD边上高,我们构造了一个图形,满足题意.我们易证四边形ABCD是平行四边形,BD所对的角是∠BAD,AC所对的角是∠ADC, ∠BAD+∠ADC=180°.所以,正确答案应该是D.其实,△ABD和△ACD就是两个等底同高的两个三角形,而且BC∥AD.此题的得分率很低,说明这一数学模型对于学生来讲是一个“漏洞”.需要我们在平时的授课中注重培养学生在这方面知识的积累,真正提高学生探究问题的能力．
探究1正方形ABCD的对角线交点为O,两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形.这一知识点我们已经很熟悉,我们可以在此基础上,让学生利用两个三角形底与高的关系来变式探究四边形内部的面积关系．
变式探究1 平行四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4.试判断S1,S2,S3,S4的关系．
分析如图2,由于四边形ABCD是平行四边形,所以OA＝OC.又△AOB,△BOC的边OA,OC上的高相同,所以,S1＝S2．
同理S2＝S3,S3＝S4,S4＝S1,所以S1＝S2＝S3＝S4．
变式探究2 四边形ABCD的两条对角线互相垂直,交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系．
分析 如图3,由于AC⊥BD,垂足为O,所以S1＝12OA•OB,S2＝12OB•OC,S3＝12OC•OD,S4＝12OD•OA,则有S1S3＝S2S4．
若将变式探究2中四边形ABCD的两条对角线互相垂直这一条件去掉,看一下结论是否仍然成立．
变式探究3四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系．
分析 如图4,设点B到线段AC所在直线的距离为h1,点D到线段AC所在直线的距离为h2,
则S1＝12OA•h1,S2＝12OC•h1,S3＝12OC•h2,S4＝12OA•h2,
所以有S1S3＝S2S4. 由变式探究2和变式探究3可知,无论四边形的形状如何,两条对角线把四边形分割成四部分 ,如图4,则△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4 都存在关系S1S3＝S2S4．
变式探究4 四边形ABCD的两条对角线相等,交点为O,∠BAC＝∠BDC,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试只用S1,S3或只用S2,S4表示四边形ABCD的面积S.
分析 思路一：已知∠BAC=∠BDC,又∠AOB=∠DOC,那么∠DCA=∠ABD.①如图5,当AB与CD不平行时,必相交于一点,不妨设线段BA与CD的延长线交于点E.已知AC=BD,又∠AEC=∠DEB,所以△AEC≌△DEB(AAS),则AE＝DE,CE＝BE,所以AB＝DC,所以△AOB≌△DOC,则S1＝S3．
由变式探究3可知：S1S3=S2S4,所以S21=S2S4,那么S=S1+S2+S3+S4＝2S1+S2+S4＝S2+S4+2S2S4(或＝(S2+S4)2)
②如图6,当AB与CD平行时,则△ABD与△BAC同底等高,有S1+S2=S1+S4,
则S2＝S4,由于有S1S3=S2S4,所以S22= S1S3,S＝S1+S3+2S2＝S1+S3+2S1S3(或＝(S1+S3)2).由①、②两步可知四边形ABCD的面积S为 S2＋S4+2S2S4或S1+S3+2S1S3．
思路二：在△AOB和△DOC中,已知∠BAC=∠BDC,又∠AOB=∠DOC,那么∠DCA=∠ABD,所以△AOB∽△DOC,则OAOD＝OBOC.设点A到线段BD所在直线的距离为h1,点B到线段AC所在直线的距离为h2,点C到线段BD所在直线的距离为h3,点D到线段AC所在直线的距离为h4.由于S4＝12OA•h4＝12OD•h1,所以OAOD＝h1h4.同理OBOC＝h2h3,那么h1h4＝h2h3.已知AC＝BD,所以S△ABDS△DAC＝S△BACS△CDB,即S1+S4S3+S4＝S1+S2S2+S3,整理得S1S2+S3S4＝S2S3+S1S4,所以有S2(S1－S3)=S4(S1－S3),①当S1≠S3时,有S2＝S4.由于有S1S3＝S2S4,所以S22＝S1S3,那么S＝S1+S3+2S1S3(或＝(S1+S3)2).②当S1＝S3时,同理有S＝S2＋S4+2S2S4(或＝(S2+S4)2).由①、②两步可知四边形ABCD的面积S为 S2＋S4+2S2S4或S1+S3+2S1S3．
探究2 由反比例函数y=kx(k≠0)的定义可知：双曲线上任意一点的横、纵坐标之积为定值k．
根据这一性质,可以得出如下两个结论(也就是k的几何意义)：
1.图象上任意一点向两坐标轴引垂线,与原点所围成的矩形面积为定值|k|．
2.图象上任意一点向某一坐标轴引垂线,与连结原点所构成的直角三角形的面积为定值|k|2.学生对这两个结论掌握的很熟练,应用也很灵活,但我们可在此基础上,再深挖教材,提高学生认识,拓宽学生的思路．
直线与双曲线相交,如图7所示,直线与双曲线交于A、B两点,与x、y轴交于C、D两点,AD与BC有什么关系．
如图7,直线CD与双曲线交于A、B两点,交x、y轴于C、D两点,过A、B两点分别作x、y轴的垂线,垂足分别为E、F两点,并连接EF、OA、OB、BE、AF.因为BF∥x轴、AE∥y轴,所以S△BEF=S△OFB=|k|2、S△AFE=S△AEO=|k|2. 所以S△BEF=S△AEF.所以A、B到直线EF的距离相等,EF∥AB.这样我们就很容易得到：四边形BCEF、AEFD都是平行四边形那么AD=EF, BC=EF,即：AD=BC.
在探究2中,S△BEF=S△OFB=|k|2,S△AFE=S△AEO=|k|2就是应用到了同底等高的两个三角形面积相等,而有S△BEF=S△AEF,得到EF∥AB,也是应用到了同底、面积相等的两个三角形的高相等.从而应用平行四边形的判定与性质得到EF∥AB,同理可证直线与双曲线在第三象限有两个交点时,得到相同的结论．
结论：某直线与双曲线交于A、B两点,与x、y轴交于C、D两点,则AD=BC．
深入探究：在探究2中,若直线与双曲线相交的两个交点在两支上,结论是否还成立？
如图8所示,与探究2的证明类似,S△BEF=S△OFB=|k|2,S△AFE=S△AEO=|k|2,所以S△BEF=S△AEF,得到EF∥AB,同理得到：四边形BCEF、AEFD都是平行四边形那么AD=EF, BC=EF即：AD=BC．
看来,无论直线与双曲线的两个交点在两支上还是在同一支上,我们都可以得到上面结论．
变式训练1 如图9,三角形ABC的面积为a,BD∶DC=2∶1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,那么四边形PDCE的面积为.(用含a的代数式表示)
分析 因为E是AC的中点,所以△ABE和△BCE等底同高,所以△ABE和△BCE的面积相等,又因为BD∶DC=2∶1,△ABD和△ACD的高相同,所以△ABD和△ACD的面积之比是2∶1.所以S△BCE=S△ABE=12a,S△ABD=23a,S△ACD=13a.分析到这个地方我们还是很难求出四边形PDCE的面积,所以我们可以考虑将四边形PDCE的面积分割,如图10,连接PC,设△APE的面积为x,则△PCE的面积为x, S△ACD=13a,S△BCE=12a,S△BCE-S△ACD=16a,所以S△BDP-S△APE=16a,S△BDP=x+16a,又因为S△BDP∶S△PCD=2∶1,所以S△PCD=12(x+16a),由12(x+16a)+x+x=13a,解得x=110a,那么四边形PDCE的面积=13a-110a=730a.
在整个解题过程中,主要借助等底同高面积相等、若同高,面积之比等于底之比来解决；因为四边形PDCE的面积不能通过现成公式来解决,所以我们通过面积分割,将不规则的四边形转化为三角形来求解.此题充分考查了学生分析问题、解决问题的能力,在解题过程中,要求学生具备根据实际问题背景转化运用已知条件的能力,能够利用面积分割,充分利用“等积体”的基本模型来解决问题．
变式训练2：如图11,在△ABC的面积是10,将AB、BC、CA分别延长一倍到D、E、F,两两连接D、E、F,得到一个新的△DEF, 则△DEF的面积为( )
分析 要解决这一问题必须建立起△ABC和△DEF的关系,而两个三角形之间的联系就是A、B、C分别是FC、AD、BE的中点,因此,我们可以依此为突破口,利用三角形的中线把三角形的面积平分来解决这一问题.如图12所示,连接AE、BF、CD,这样就把△DEF分割成了7部分,而易证每一部分的面积都是10,所以,△DEF的面积为70．
看来有很多知识是隐藏在教材的基本知识之中,这就需要我们教育工作者在日常教学中要深挖知识的内部联系,并在此基础上拓展探究,让学生的思维渐渐开阔,逐步培养起主动探究的学习习惯.让学生在不自觉中提高数学能力,进而体会探究数学问题的无穷乐趣,感受到了成功地喜悦．
作者简介:崔春近,中学数学一级教师,全国数学竞赛优秀辅导教师、淄博市优秀教师、有20多篇文章在省级以上报刊发表；任瑞珍,沂源县优秀教师．