【摘要】证明三角形全等是初中几何学习中的一种重要的解题方法，在证明三角形全等时有时需添加辅助线，这对学生而言，往往是难点.教师应当善于归纳总结一些常见的辅助线作法，从中找出解题规律，进而有效解决问题.
　　【关键词】全等三角形;辅助线;解题方法
　　一、引 言
　　添加辅助线是平面几何问题求解的重要手段，通过添加辅助线可以将复杂的问题简单化，对于不同情形的几何问题，应当选择适当的方法予以解答.下面介绍证明三角形全等时常见的六种辅助线作法以及相关例题，分别是截长补短法、倍长中线法、作平行线法、补全图形法、角平分线法、作垂线段法.
　　二、截长补短法
　　对于求线段和差的类型题，当题中没有明显的等量关系式时，我们可以将较长的线段截短，或者将较短的线段延长，从而获得相等的线段，为三角形全等的判定增添条件，通过证明三角形全等，进而得出线段的和、差、倍、分关系.
　　图1例1 如图1，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD BC=AB.
　　分析 题中不能直接得出AD BC=AB，所以需要构造相等的线段.在AB上取一点H，使AD=AH，证明 △DAE≌△HAE，得到∠EHA=∠EDA，进而证明△BEH≌△BEC，得到BH=BC，从而证明AD BC=AB.
　　证明 在AB上截取AH=AD，连接EH.
　　∵AE平分∠PAB，
　　∴∠DAE=∠HAE.
　　在△DAE和△HAE中，
　　AD=AH，
　　∠DAE=∠HAE，
　　AE=AE，
　　∴△DAE≌△HAE（SAS），
　　∴∠ADE=∠AHE.
　　∵AD∥BC，
　　∴∠ADE ∠C=180°.
　　∵∠AHE ∠EHB=180°，
　　∴∠EHB=∠C.
　　∵BE平分∠ABC，
　　∴∠EBH=∠EBC.
　　在△BEH和△BEC中，
　　∠EHB=∠C，
　　∠EBH=∠EBC，
　　BE=BE，
　　∴△BEH≌△BEC（AAS），
　　∴BC=BH，
　　∴AD BC=AH BH=AB.
　　總结 截长补短法是证明线段和、差、倍、分关系的有效方法，通过将线段截长或补短，构成相等的线段，从而构造全等三角形，再利用三角形全等的有关性质证明结论.
　　三、倍长中线法
　　在几何问题中，若已知条件中涉及中线或线段中点时，将三角形中线延长一倍，通过两个三角形全等，将各条线段转化到同一个三角形中，利用三角形的三边关系进行分析和判断，得出证明结果.
　　图2例2 如图2，在△ABC中，D为BC的中点.
　　（1）求证AB AC>2AD;
　　（2）若AB=5，AC=3，求AD长的取值范围.
　　分析 将中线AD延长一倍至点F，证明然后△ACD≌△FBD，得到BF=AC，从而将AB，AC和2AD转化到△ABF中，从而得出结论.
　　证明 （1）如图2，延长AD至F，使DF = AD，连接BF.
　　∵D是BC的中点，易证△ADC≌△FDB（SAS），
　　∴AC=BF.
　　∵在△ABF中，AB BF>AF，
　　即AB AC>2AD.
　　解 （2）在△ABF中，AB-BF<2AD　　∵AB=5，AC=3，
　　∴5-3<2AD<5 3，
　　∴1　　总结 对于含有中线或线段中点的三角形问题，通过“倍长中线” 可以构造出两个全等的三角形，进而在求解线段之间的关系时，转化成三角形的三边关系，这为我们解决线段之间的关系问题提供了有效方法.
　　四、作平行线法
　　通过作平行线法将相等的角转化，与等腰三角形中两个相等的底角构成等量关系，形成新的等腰三角形，达到对应角相等的目的，构造全等三角形，为解决问题提供技巧.
　　图3例3 如图3，在△ABC中，点D在AB上，E是AC的延长线上一点，BD=CE，DE交BC于点F，DF=EF，求证：AB=AC.
　　分析 通过作DP∥AC，易证△DPF≌△ECF，得到DP=CE，又由BD=CE等量代换得到BD=DP，即△DBP为等腰三角形，则有∠B=∠DPB=∠ACB，可得AB=AC.
　　证明 作DP∥AC交BC于P.
　　∵DP∥AE，∴∠FDP=∠FEC，∠DPB=∠ACB.
　　在△DFP和△EFC中，
　　∠DFP=∠EFC，
　　DF=EF，
　　∠PDF=∠CEF，
　　∴△DFP≌△EFC（SAS），∴DP=EC.
　　又∵BD=CE，∴DB=DP，
　　∴∠B=∠DPB=∠ACB，
　　∴AB=AC.
　　总结 作平行线法可以将已知角转化成相等的角，构造两个三角形全等，或通过全等构造相等的角.作平行线法经常应用于以等腰三角形或等边三角形为背景的题目中，通过作平行线构造相等的角，从而构造全等三角形.
　　五、补全图形法
　　在一些三角形的证明问题中，将某两条线段（边）延长并相交于一点，构成一个完整的图形，便于我们找到更多的相等关系，从而构造全等三角形，通过进一步证明解决要求证的问题.
　　图4例4 如图4，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2AE. 　　分析 由角平分线定义和垂直关系想到补全图形，将AE和BO延长相交于点C，易证△ABE≌△CBE.
　　证明 延长AE，BO相交于点C.
　　由BD为∠ABC的平分线，BE⊥AE，易证△ABE≌△CBE（ASA），
　　∴AE=EC= 12 AC.
　　又∠1 ∠C=90°，∠2 ∠C=90°，
　　∴∠1=∠2.
　　又∵∠AOB=∠AOC=90°，AO=BO，
　　∴△AOC≌△BOD（ASA），
　　∴BD=AC=2AE，即BD=2AE.
　　總结 对于整体图形呈现出不完整的多边形的形状，往往将图形补全，在补全图形的过程中构造出相等的量，解题提供更多信息和方法，再根据全等三角形的判定方法，几次证明全等，进一步解决问题.
　　六、 角平分线法
　　利用角平分线的定义和性质可以在证明全等过程中提供更多的想法和思路，比如，过角的平分线上的点在角的两边上截取等长，或向两边作垂线段，这也是几何证明中常用的方法.
　　图5例5 如图5，在四边形ABCD中，BC>AD，AD=CD，BD平分∠ABC，DH⊥BC于点H.求证：（1）∠DAB ∠C=180°;（2）BH= 12（AB BC）.
　　分析 （1）延长BA，过点D作DE⊥BA于点E，由角平分线的性质得DH=DE，易证△DEA≌△DHC，则∠C=∠DAE.（2）在（1）的基础上证明△EBD≌△HBD，从而进一步得到结论.
　　证明 过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E.
　　（1）∵BD平分∠ABC，∴DE=DH.
　　∵∠DEA=∠DHC=90°，AD=CD，
　　∴Rt△DEA≌Rt△DHC（HL），
　　∴∠DAE=∠C.
　　又∠BAD ∠EAD=180°，∴∠DAB ∠C=180°.
　　（2）由Rt△DEA≌Rt△DHC可得AE=HC.
　　∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBH.
　　∵∠DEA=∠DHC=90°，BD=BD，
　　∴△BDE≌△BDH（AAS），∴BE=BH，
　　∴BH= 12（EB BH）= 12（AB AE BH）= 12（AB BC），
　　即BH= 12（AB BC）.
　　总结 利用角平分线的定义和角平分线性质，通过作辅助线构造出全等三角形，这是三角形几何解题中常用的证明方法.
　　七、作垂线段法
　　在有关三角形的几何问题中，可以向两个图形的公共边所在的直线作垂线段，构造直角三角形，由于直角三角形的全等判定定理比较多，所以证明全等的方法也相对全面，有利于构造两个三角形全等，进而解决问题.
　　图6例6 如图6，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF=AC.求证：∠DFE=∠DAC.
　　分析 过点C和点E分别向AD作垂线段，构造两个全等的直角三角形，即△END≌△CMD，从而得到EN=CM，再次全等得到Rt△FEN≌Rt△ACM，最后证明∠DFE=∠DAC.
　　证明 过点C作CM⊥AD于M，过点E作EN⊥AD于N，
　　由D为CE的中点，易证△END≌△CMD（AAS），
　　∴EN=CM.
　　又EF=AC，
　　∴Rt△FEN≌Rt△ACM（HL），
　　∴∠DFE=∠DAC.
　　总结 在图形中作垂线段后，形成两个全等的三角形，为全等的判定增添了一组对应角（直角）相等的条件，也可为直角三角形全等的证明创造条件，从而获得解决问题的方法和思路.
　　八、结束语
　　全等三角形的几何解答题是几何证明或者计算的难点和重点，特别是在原图形中无法直接得到解题思路的时候，常常需要作辅助线来帮助解题.在解题中，辅助线作图其实就是转化的过程，将新知识转化成已经习得的旧知识，新旧知识整合起来，变成新的图式.相信本篇总结的几种辅助线的作法能够为读者的解题研究提供新思路、新方法、新创造.总结思想方法的过程也是自我重塑的过程，所以，我们在今后的教学活动中也要引导学生善于发现、善于思考、善于归纳，为数学核心素养的形成奠定坚实的基础.
　　【参考文献】
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